傳遞矩陣法在結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析中的應(yīng)用

武 鵬

（中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司沈陽發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，遼寧沈陽110015）

0 引言

經(jīng)典傳遞矩陣法是20 世紀(jì)20 年代建立起來的用于研究彈性構(gòu)件組成的一維線性系統(tǒng)振動(dòng)問題的方法。 經(jīng)過多年的發(fā)展和完善，已經(jīng)可以用于求解多圓盤軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問題、梁的彎曲振動(dòng)模態(tài)、軸的橫向振動(dòng)問題、系統(tǒng)的靜態(tài)響應(yīng)和扭矩載荷響應(yīng)問題、以及一維結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析和復(fù)合梁的振動(dòng)特性等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題。 并且，由于傳遞矩陣法建模靈活、計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)，已在包括光學(xué)、聲學(xué)、電子學(xué)、機(jī)器人學(xué)、機(jī)械、兵器、航空、航天等諸多現(xiàn)代工程技術(shù)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用[1]。

應(yīng)用傳遞矩陣法進(jìn)行分析的一般步驟為：1）結(jié)構(gòu)離散化；2）建立系統(tǒng)傳遞矩陣；3）特征方程求解。

1 結(jié)構(gòu)離散化

航空發(fā)動(dòng)機(jī)低壓轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型見圖1：

圖1 低壓轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型

其主要組件為壓氣機(jī)、渦輪和低壓軸。 低壓轉(zhuǎn)子通過前、中、后3個(gè)支點(diǎn)與發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相連[2]。

將該結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化處理[3－5]，并將各支點(diǎn)簡(jiǎn)化為線彈性體后，得到圖2 所示模型。

圖2 離散化模型及節(jié)點(diǎn)編號(hào)

離散化處理后， 整個(gè)低壓轉(zhuǎn)子的質(zhì)量將被轉(zhuǎn)換為分布式質(zhì)量節(jié)點(diǎn)。 表1 給出了離散化后各質(zhì)量節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量分布情況。

表1 模型質(zhì)量分布

2 建立系統(tǒng)傳遞矩陣

將連續(xù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化處理后，實(shí)體結(jié)構(gòu)將被簡(jiǎn)化成等剛性無質(zhì)量梁?jiǎn)卧胺植假|(zhì)量點(diǎn)。

圖3 梁?jiǎn)卧胺植假|(zhì)量點(diǎn)[6]

如圖3 中所示，梁?jiǎn)卧挥谙噜彽膬蓚€(gè)質(zhì)量點(diǎn)i-1 和i 之間，長(zhǎng)度為li。

無質(zhì)量懸臂梁的受力及變形如圖4 所示。

圖4 中，w 為撓曲變形量，φ 為撓曲變形角度；V 為切向力，M 為彎矩。

由梁?jiǎn)卧獌啥耸芰ζ胶鈼l件可得出如下方程：

工業(yè)視頻內(nèi)窺鏡檢測(cè)設(shè)備主要由光導(dǎo)纖維、插入管和視頻成像系統(tǒng)組成，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)管材內(nèi)部視場(chǎng)范圍內(nèi)的監(jiān)視、記錄、存儲(chǔ)和圖像分析。

應(yīng)用基本梁變形計(jì)算公式可得如下方程：

將節(jié)點(diǎn)jL和節(jié)點(diǎn)j-1R之間受力及撓曲變形關(guān)系用矩陣形式表示為：

分布質(zhì)量點(diǎn)mi兩端的無質(zhì)量梁間，梁的撓曲變形、撓曲角度及彎矩時(shí)連續(xù)傳遞的，由此可得:

當(dāng)分布質(zhì)量點(diǎn)處于振動(dòng)狀態(tài)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生與質(zhì)量和振動(dòng)角速度相關(guān)的內(nèi)力，如圖5 所示，這將導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)兩端的無質(zhì)量梁間切向力不連續(xù)。

圖5 自由狀態(tài)下分布質(zhì)量單元受力示意圖[6]

此時(shí)，由力平衡方程可得：

將其轉(zhuǎn)化為矩陣形式，表示為：

當(dāng)梁支承在彈簧上時(shí)（圖6），可得另一種節(jié)點(diǎn)傳遞矩陣。

圖6 彈性支承上的梁[6]

轉(zhuǎn)化為矩陣形式為：

下一步是消除中間節(jié)點(diǎn)向量并選擇頻率因子。

將關(guān)系式（3）、（6）、（7）應(yīng)用于整個(gè)轉(zhuǎn)子，可得：

從而得出轉(zhuǎn)子兩端的節(jié)點(diǎn)向量之間的關(guān)系式：

將方程式（9）以矩陣形式表示為：

然后將邊界條件帶入方程式（10）以求得頻率因子。

簡(jiǎn)支梁兩端的邊界條件為：

wn＝0，Mn＝0，w0＝0，M0＝0

3 特征方程求解

以轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速做為變量，在不同剛度參數(shù)下對(duì)特征值進(jìn)行求解。 在某一給定剛度下轉(zhuǎn)速在0RPM～10000RPM 區(qū)間內(nèi)，對(duì)特征值的計(jì)算結(jié)果如圖7 所示。

圖7 給定剛度下臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果(Matlab)

在圖7 中，給定的轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)，特征值為“0”的點(diǎn)有4 個(gè)，這4 個(gè)“0”點(diǎn)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速即為在此支承剛度下轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。通過改變支承剛度，得到如下結(jié)果：

表2 模型臨界轉(zhuǎn)速

圖8 轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速

如圖8 中所示，此模型在0RPM～20000RPM 轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)共存在四階臨界轉(zhuǎn)速，隨支承剛度變化，各階臨界轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)以下變化趨勢(shì)：

1）K＜1.0×107N/m 時(shí)，第一階和第二階臨界轉(zhuǎn)速隨支承剛度上升而逐漸上升，第三階和第四階臨界轉(zhuǎn)速基本保持不變；

2）1.0×107N/m＜K＜1.0×109N/m 時(shí)， 各階臨界轉(zhuǎn)速都隨支承剛度增加而上升；

3）1.0×109N/m＜K 時(shí)，前3 階臨界轉(zhuǎn)速趨于穩(wěn)定，第四階臨界轉(zhuǎn)速仍隨支承剛度增加而增加。

4 小結(jié)

本文以發(fā)動(dòng)機(jī)低壓轉(zhuǎn)子為例， 建立了發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子離散化模型，通過求解系統(tǒng)傳遞矩陣得出轉(zhuǎn)子在不同支承剛度下的臨界轉(zhuǎn)速。在計(jì)算中未考慮風(fēng)扇軸與渦輪軸間套齒聯(lián)軸器、軸承阻尼特性和陀螺力矩等影響， 并且為簡(jiǎn)化計(jì)算步驟將三個(gè)支點(diǎn)的支承剛度設(shè)置為了相同值。在后續(xù)的深入研究過程中， 將以發(fā)動(dòng)機(jī)的整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為分析對(duì)象，通過離散化處理，建立整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的傳遞矩陣，以求得轉(zhuǎn)子-支承-機(jī)匣的復(fù)合振動(dòng)響應(yīng)特征。

［1］芮筱亭，戎保.多體系統(tǒng)傳遞矩陣法研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展，2012,42(1)：4-17.

［2］Rolls-Royce Ltd. The Jet Engine[M].6thedition, Rolls-Royce, 2005.

［3］Pilkey W D, Chang P Y. Modern Formulas for Statics and Dynamics [M]. New York: McGraw-Hill Book Company, 1978.

［4］蔣書運(yùn)，陳照波，須根法，等.用整體傳遞矩陣法計(jì)算航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)臨界轉(zhuǎn)速特性[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1998,30(1):32-38.

［5］Lee U. Vibration analysis of one-dimensional structuresusing the spectral transfer matrix method[J]. Engineering Structures, 2000,22: 681-690.

［6］Pestel, Eduard C., Matrix Methods in Elastomechanics[M].McGraw-Hill, 1963.