“線性代數在線智能學習系統”的建立與探索

◆閻家斌 宋叔尼 秦宏超 孫艷蕊

(東北大學理學院)

線性代數是高等學校理工科各專業(yè)和經濟管理類專業(yè)的一門重要基礎課，它不但是學習數值分析、最優(yōu)化方法、離散數學和微分方程等數學課程的基礎，也廣泛地應用于工程學、計算機科學、物理學、生物學、經濟學、統計學、力學、信號與信號處理、系統控制、通信、航空等學科和領域。線性代數包含行列式、矩陣、向量、線性組合、線性相關、秩、線性方程組、線性空間、線性變換、基、維數、坐標、向量正交、二次型、慣性指數等大量的抽象數學概念，也包含行列式計算、矩陣求逆、矩陣作初等變換、矩陣和向量組求秩、向量組求極大無關組、線性方程組求解、線性空間求基、維數和坐標、將矩陣相似對角化、二次型化標準形等大量的具體計算。由于學生計算能力較差，邏輯思維能力不是很強，導致學生在學的過程中不知所措，學完之后很快忘記。為了適應學生學習線性代數課程，我們制作了“線性代數在線智能學習系統”，使學生可以利用網絡資源在線進行學習和測試，提高了學生學習興趣，改善了學習效果。

一、“線性代數在線智能學習系統”的建立背景

由于線性代數課程中存在大量計算問題。例如，行列式的計算、求矩陣的逆矩陣、對矩陣作初等變換、求矩陣和向量組的秩、求向量組的極大無關組、求線性方程組的解、求線性空間的基、維數和坐標、將矩陣相似對角化、化二次型為標準形等。讓學生掌握這些問題的計算方法無疑是重要的，也是學習線性代數課程的最基本的要求。然而，由于線性代數課程課時比較少，學習周期比較短，課程中又有很多抽象的概念，使得學生很難在短時間內消化所學的知識，對這些大量的計算問題也很難找到其中的規(guī)律。又由于眾所周知的原因，現在的線性代數課程都采用大班上課，學生和教師溝通的機會相對較少，使得線性代數課程的教學效果并不是很好。

為了讓學生學好這門課程，任課教師采用一系列教學方法。比如，按時布置并批改作業(yè)，按時安排課程答疑，但由于學生常年養(yǎng)成的被動式學習方法，答疑時很少有學生提出具體的問題，作業(yè)也是為了應付教師的要求，甚至有不少抄作業(yè)現象，而任課教師很難解決這些問題。要想有效解決這些問題就要對教學方法作進一步改革。

我國大學應當扭轉重理論教育輕實踐教育的風氣。加強實訓基地建設，根據學科專業(yè)教育特點，努力在校內和校外建立持久穩(wěn)定、質量有充分保障的實訓基地，使學生能夠有充分的機會將所學的理論和知識用于實踐中。原教育部副部長周遠清教授說:“教學方法偏死在中國是長期存在的難題。我們提出培養(yǎng)創(chuàng)新能力，如果教學方法不改革，不能有效地開展啟發(fā)式教學、案例教學，如何培養(yǎng)創(chuàng)新人才?”隨著計算機技術的飛速發(fā)展，人類社會正在進入網絡信息時代，同時，信息技術本身也正在對教育的改革產生深遠的影響，并且成為教育現代化的核心和成功的關鍵。為了適應時代的發(fā)展，充分利用網絡資源是教學改革的重要手段，也可以有效提高學生的創(chuàng)新能力。在此背景下，我們建立了“線性代數在線智能學習系統”。

二、“線性代數在線智能學習系統”的內容和功能

由于線性代數課程中存在大量計算問題，而很多問題都有著內在的規(guī)律性。我們將各類具有相同規(guī)律的問題歸納到一起，構造成具體的線性代數問題，其中大量參數可以隨機生成。這樣，每一個問題又有著大量的隨機性，而求解思路和過程都是固定的，對每個問題都可以給出一個具體的、系統的解題方法，使得每一類問題有一個統一的解題方法，而每一類問題又都有著大量的變化。例如，系統可以隨機生成一個向量組，利用矩陣秩的計算方法求出向量組的秩，再利用向量組的秩判定向量組的線性相關性，進一步求出向量組的一個極大線性無關組，并把不屬于極大無關組的向量用極大無關組線性表示，系統會給出每一步的具體計算過程。由于向量組生成的隨機性，向量組的秩和其它結果都是變化的，這就解決了線性代數習題的單一性，相當于給出一個大題庫。通過大量細致的工作，我們把線性代數各章內容都歸納出一些常見的、典型的、具有一定代表性的問題，組成100分值的計算題，形成了“線性代數在線智能學習系統”，通過和網絡進行鏈接，學生在任何環(huán)境下，只要登錄到校園網進入系統就可以進行自主學習。

“線性代數在線智能學習系統”分為在線學習和測試兩個功能。進入在線學習系統，學生可以按章節(jié)自由生成相應題目練習，系統可以隨時對每個題目給出詳細的解答方法，學生可以根據解題方法分步檢驗自己對相應內容的掌握情況，系統可以重復生成同種類型但結果可能完全不同的其它題目，供學生練習。而且可以一直進行下去，直到完全掌握題目的解答方法為止。從而達到學習的目的。進入測試系統，系統對應教材按章分類，每一章對應100分值的題目，學生解答完畢后，只要提交，系統就會自動打分。學生可以通過打分了解自己對該部分內容的掌握情況。系統會自動對所有學生提交的題目打分并保留結果，系統也會對所有提交的題目按錯誤進行分類保存，教師就可以容易地了解全班學生的學習狀況，教師可以通過查詢結果，了解學生對每一類題目的掌握情況，并及時反饋到教學中，從而達到提高教學質量的目的。

三、“線性代數在線智能學習系統”在教學中的應用

我們將“線性代數在線智能學習系統”應用到線性代數課程的教學中，要求學生以測試系統題目作為作業(yè)，必需按時提交，而且按系統給出的分數作為平時成績，否則沒有平時成績。這樣就促使學生必需要作。而由于系統中任何一道題都是隨機生成的，在一段時間內生成完全相同的題幾乎是不可能的，這就避免了抄襲作業(yè)的現象。而學生為了取得較好的平時成績，就要先按學習系統題目進行練習，把內容掌握以后再進入測試系統測試提交，這就增加了學生自主學習的動力。

由于線性代數課程采用大班教學，使得教師難于對每個學生的作業(yè)進行認真批改，也就很難對每個學生的學習作全面了解。應用“線性代數在線智能學習系統”后，由于系統對提交的內容有嚴格的審核、給分標準，這就代替了教師批改作業(yè)的工作。教師可以隨時進入系統查看每個班學生提交的題目，由于系統會對提交的題目按錯誤進行分類保存，教師就可以容易地了解全班學生的學習狀況，減輕了工作強度，也就提高了工作效率。

線性代數課程涉及學生專業(yè)很廣，結合這個特點我們編制了相應的教材，教師也根據不同專業(yè)學生的特點，引入大量相應的應用例題，編制了相應的多媒體教學課件。注重引導學生如何探索和發(fā)現知識，以具體的應用實例出發(fā)引入相應的概念及解決方法。增加了學生對課程的興趣和對知識的渴望。

為了更好地體現線性代數課程與計算機等現代教學設備的聯系，我們還開發(fā)了線性代數計算機考試系統，系統可以隨機生成不同考題，而試題覆蓋了線性代數課程的各章節(jié)的內容，包含了線性代數的各類計算方法，完全由學生自我考核，即提高了學生的動手能力，也提高了學生學習線性代數課程的興趣，也提高了學生應用計算機解決實際問題的能力。而且試題完全由計算機自動打分，學生提交試題就能看到自己的成績，并可以看到哪些試題出現了什么樣的錯誤，便于學生學習。

現在，我們有了“線性代數在線智能學習系統”，與教材、多媒體課件以及線性代數計算機考試系統有機地結合到一起，形成了完整的教學、考試體系，而學生只要登錄到計算機網絡平臺，就可以同時查看課程的多媒體教學課件、線性代數在線智能學習系統、線性代數教學大綱、線性代數各年考試試題、線性代數各年研究生入學考試試題等學習資源。學生還可以通過提問、留言等形式與教師進行溝通，大大提高了學生學習線性代數課程的興趣。實踐證明，這一套教學體系得到學生的歡迎與認可，提高了學生的學習成績。

從線性代數課程的角度來看，學生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)主要通過應用數學方法解決具體實例來體現。李大潛院士指出:“數學的教學不能和其它科學和外部世界隔離開來，只是一個勁地在數學內部的概念、方法和理論中打圈子，這不利于了解數學的概念、方法和理論的來龍去脈，不利于啟發(fā)學生自覺運用數學工具來解決各種各樣的現實問題，不利于提高學生的數學素養(yǎng)”。在高等學校，線性代數教學涉及專業(yè)廣，涉及學生人數眾多，加強課程與計算機的結合，加強課程的實際應用，讓學生通過具體實踐去認識、掌握所學的知識，并運用所學的知識去解決實際問題，無疑是重要的，也需要我們去進一步探索、實踐。

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