嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣最小特征值下界的改進(jìn)＊

蔣建新，李艷艷*

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山663000)

下面給出一些特殊矩陣的定義與記號(hào)。

Cn×n(Rn×n)表示n × n 復(fù)(實(shí))矩陣的集合，N = {1，2，…，n}。

集合Zn×n= {A = (aij)| A ∈Rn×n，aij≤0，?i，j ∈N，i ≠j}中的矩陣為Z-矩陣;若A 為Z-矩陣且A-1≥0 (A-1為非負(fù)矩陣)，則A 為非奇異M-矩陣。

設(shè)A = (aij)∈Cn×n，如果i = 1，2，…，n，則稱A 為行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。

設(shè)M-矩陣A = (aij)∈Cn×n分裂為A = D -C(D = diag(a11，a22，…，ann))，稱JA= D-1C 為A的迭代矩陣。

引理1［1］設(shè)A = (aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M 矩陣，

1)對(duì)于A-1= (αij)≥0 的非主對(duì)角元素滿足

引理2 設(shè)A = (aij)∈Mn是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A-1= (αij)滿足

證明 因?yàn)锳 為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M 矩陣，則A-1存在且A-1＞0(A-1的元素為正)，A·A-1= I(I 是單位矩陣)，寫成分量形式，應(yīng)用(1)式放縮得

同樣的方法可得(6)式成立。

注釋 由pji與nji的定義知它們的大小沒(méi)有可比性，則(5)式與(6)式也無(wú)法比較大小。

引理3［2］設(shè)A = (aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

引理4［2］設(shè)A = (aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，A-1= (αij)，則

引理5［3］設(shè)M = (βij)是非奇異的M-矩陣，N =(γij)是與M 具有相同階數(shù)的非負(fù)矩陣，N =M - A，則M-1N = JA，且滿足下面的不等式

1 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣最小特征值的下界

這部分一方面給出嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣最小特征值下界的幾個(gè)估計(jì)式，一方面證明所得的估計(jì)式提高了文獻(xiàn)［2］中的相應(yīng)結(jié)果。

定理1 設(shè)A = (aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

證明 因?yàn)橛忠驗(yàn)镴A= D-1C，C = D -A 是非負(fù)矩陣，則由引理5 知

將上述結(jié)果代入引理4 知

與定理1 同樣的證明方法可得定理2。

定理2 設(shè)A = (aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

下面證明定理2，定理3 中的估計(jì)式提高了文獻(xiàn)［2］中給出的相應(yīng)結(jié)果(見本文引理3)。

定理3 設(shè)A = (aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

證明 由φi，ξi的定義知

即

定理4 設(shè)A = (aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

定理5 設(shè)A = (aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M-矩陣，則

得

又因?yàn)镴A= D-1C，C = D -A 是非負(fù)矩陣，則由引理5 知

同樣將上述結(jié)果代入引理 4 有 τ(A)≥

同樣的方法可得式(14)～(16)成立。數(shù)值算例

設(shè)

容易驗(yàn)證A 是非奇異的M-矩陣，應(yīng)用參考文獻(xiàn)［2］定理4.1 知τ(A)≥0.00688007。

應(yīng)用(9)，(10)，(13)～(16)式分別得:τ(A)≥0.0079，τ(A)≥0.0084，τ(A)≥0.0128，τ(A)≥0.0107 ，τ(A)≥0.0125 ，τ(A)≥0.0119。

真值為τ(A)= 1.1617 。

通過(guò)此例發(fā)現(xiàn)本文所得的估計(jì)式提高了引理1。

［1］李艷艷. M 矩陣特征值的新界［J］. 貴州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，31(3):8 -10.

［2］Chaoqian Li，Yaotang Li，Ruijuan Zhao. New inequalities for the minimum eigenvalue of M-matrices［J］.Linear and Multilinear Algebra，2013，61(9):1267 -1279.

［3］Tian Guixian，Huang Tingzhu. Inequalities for the minimum eigenvalue of M-matrices［J］. Electronic Journal of Linear Algebra，2010，78(20):291 -302.