3PRS－f并聯(lián)機器人工作空間的建模與仿真

熊志勇，胡亞波

（1寧波敏實汽車零部件技術研發(fā)公司，浙江 寧波315800；2湖北交通職業(yè)技術學院，湖北 武漢430079）

機器人工作空間又稱為可達工作空間或總工作空間，是指機器人輸出機構參考點在空間所能達到的區(qū)域，目前有關串聯(lián)機器人工作空間的研究已經(jīng)相當成熟，但對于并聯(lián)機器人，由于其本身結構比較復雜，工作空間的求解難度較大［1］.并聯(lián)機器人的工作空間都是三維空間區(qū)域，其邊界都是空間曲面.對于空間區(qū)域的描述，可以認為是經(jīng)由許多平行的平面截取而得到一組二維曲線的組合；對于空間曲面，可以用一些離散的點來描述［1－2］.并聯(lián)機器人工作空間的求解大多都采用數(shù)值解法，本文基于一種3PRS－f并聯(lián)機器人，擬定一種空間搜索方式，利用位置反解來對工作空間進行描述，并進行仿真.

1 3PRS－f機器人結構

3PRS－f機器人（圖1）由三角動平臺a1a2a3及其拓展點P、3個支撐桿Li以及由步進電機與絲桿螺母副組成的三個移動裝置（移動副P）組成.點P為機器人的末端執(zhí)行器，它到三角動平臺的垂直距離為f，隨著動平臺一起運動.三角動平臺的端點分別用3個球鉸與3個等長的支撐桿連接（球副S）.3個支撐桿的另一端分別通過銷軸和螺母相連（轉(zhuǎn)動副R），其中銷軸的方向分別垂直于對應的支撐桿.機器人的底座上垂直安裝有3個立柱，3個移動裝置分別固定在這3個立柱上，其絲桿的軸線方向垂直于底板.立柱上3個滑塊位移的起點構成了三角靜平臺.O－XYZ為靜坐標系；c－xyz為動坐標系，固定在動平臺上.

機器人中的f參數(shù)，在實際應用中是很有意義的.對于并聯(lián)加工機床而言，P為刀具加工點，f即為加工點到動平臺的距離；對于醫(yī)療機器人而言，P可能為激光治療點或是超聲聚焦點，f即為能量聚焦點到到動平臺的距離.

圖1 3PRS－f并聯(lián)機器人結構簡圖

2 影響工作空間的要素

3PRS－f機器人中，對工作空間影響比較大的要素表現(xiàn)為滑塊的位移范圍、定長桿的長度、球鉸的轉(zhuǎn)角和桿間干涉等.而且只有通過求出這些約束條件，才能和機構的位置反解一起求出工作空間.

2.1 滑塊位移的限制

根據(jù)滑塊在軌道上的行程，其位移S必須滿足

這里的Smin與Smax表示滑塊位移的最小值和最大值，本機構中的Smin取0，Smax為275mm.

2.2 定長桿的長度約束

本機構中的三個桿均為定長桿，當桿長選定后，則工作空間的大小也就決定了，只能是桿的運動能夠達到的范圍.本機構中的定長桿桿長Li＝L＝290mm （i＝1，2，3）.

2.3 球鉸轉(zhuǎn)角的約束

球鉸連接著動平臺和定長桿，其轉(zhuǎn)角φ對工作空間的影響非常大.本機器人中，球鉸豎著安裝在動平臺下端，轉(zhuǎn)角φ＝50°.圖2是機構處于初始狀態(tài)時的狀況.

根據(jù)本機構的幾何尺寸，可得出初始狀況是定長桿與動平臺的反向法矢的夾角φ0＝10.77°；另外定長桿與靜平臺的夾角θ0＝79.23°，定長桿與立柱（即絲杠）的夾角γ0＝10.77°.設定長桿與動平臺的反向法矢的夾角（即向量li和τ的夾角）為φi（i＝1，2，3），則

這里φi的約束條件是0≤φi≤φmax.其中，φmax＝的自由度為3，故已知動平臺的位姿中相關的3個參數(shù)，即可求出輸入端參數(shù)和一些過程參數(shù).由于本文的研究重點在于工作空間，故這里不再贅述.

本文對工作空間的搜索方式如圖3所示，其中P與c分別是超聲聚焦點和動平臺中心點，動平臺的法矢τ（也就是cP方向的方向向量）與Z軸的夾角為α，P3D與X軸的交角為β.于是有

圖3 工作空間求解方法

圖2 球鉸的約束

給定參數(shù)Zc、α、β3個參數(shù)的值，來求解末端執(zhí)行點P的位置，該位置的集合即為3PRS－f的工作空間.搜索方式從外到內(nèi)分3層來理解，先給定一個動平臺中心c的縱坐標步距ΔZc，使Zc從Zc，min到Zc，max變化（Zc，min和Zc，max，的值可由3PRS運動反解方程求出）每增加一個步距，并依次用Z＝Zc（ΔZc）的水平面切割空間一次；在某一水平面內(nèi)，β值都將以步距Δβ來一個從0到360°的掃描，如圖4所示（工作空間的各截面的俯視圖），并依次使每一個豎直平面Y＝（tanβ）X切割空間一次；某一豎直平面內(nèi)，給定α一個步距Δα，讓α從0到αmax掃描，同時考查上文的約束條件，從而可以上文的方程得出P點的運動軌跡.

2.4 桿間干涉

在3PRS－f并聯(lián)機器人中，由于轉(zhuǎn)動副分布的限制，不會出現(xiàn)桿間干涉的情況.

3 工作空間的建模

機器人工作空間的求取，實際上就是按照一定方式在空間掃描，求取末端執(zhí)行器所能到達的的集合.本文將3PRS－f機器人的工作空間進行分層次地搜索，并基于機器人的反解方法以及約束條件，求取末端執(zhí)行器所能達到的一些離散點，這些點的集合就是所求的工作空間.文獻［3－5］研究了3PRS并聯(lián)機構的運動反解方程的求法，即根據(jù)PRS并聯(lián)機構

圖4 在步長Δβ下工作空間的切割圖

3PRS－f機器人的工作空間具體的算法框圖如圖5所示.

圖5 工作空間求解算法流程圖

4 工作空間的仿真

根據(jù)上文的算法模型，利用Matlab軟件求出工作空間所有離散的點，這些點的集合就是3PRS并聯(lián)平臺機構工作空間.下面給出一組求工作空間的參數(shù)：

還給出3PRS－f并聯(lián)機器人的其他參數(shù)：上下平臺的尺寸r＝106mm，R＝162mm（圖1）；f＝270 mm.

為了便于直觀且使計算機更加快捷地計算，在不影響其結果的情況下，只計算出邊框點.圖6～圖9列出了機器人末端執(zhí)行器P點的三維工作空間圖及其在XOY／XOZ／YOZ中的截面圖（用小圓圈表示離散點）.

5 結束語

本文以3PRS－f并聯(lián)機器人為研究對象，從滑塊位移、定長桿長度、球鉸轉(zhuǎn)角、桿間干涉等方面分析了影響其工作空間的約束條件.本文得出了末端執(zhí)行點P與動平臺中心c的關系，并在此基礎上利用3PRS并聯(lián)機構的運動學反解方程，提出了一種空間點的搜索方式，建立了工作空間的求取模型.最后用Matlab軟件的仿真功能，對工作空間進行了仿真，生成了一些工作空間的相關圖形，使工作空間更直觀.

［1］黃 真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機器人機構學理論及控制［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1997.

［2］李 方，南仁東.一種分析并聯(lián)機器人工作空間的解析幾何法［J］.機械制造，2003（3）：12－14.

［3］莫 賢，陳文家，陳淑艷.一種3－PRS并聯(lián)機器人的姿態(tài)空間分析［J］.揚州大學學報（自然科學版），2009，12（3）：60－64.

［4］劉宏偉，馬質(zhì)璞.3－PRS并聯(lián)機構運動分析及仿真［J］.機械設計與制造2012（1）：216－218.

［5］李王英，徐尤南，劉治強，等.3－PRS型三足并聯(lián)機器人位置逆解分析［J］.機械工程師，2008（3）：58－59.