步進(jìn)電機(jī)加減速曲線的算法研究

崔 潔，楊 凱，肖雅靜，顏向乙

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第四十五研究所，北京 100176)

步進(jìn)電機(jī)作為數(shù)字控制系統(tǒng)完成數(shù)模轉(zhuǎn)化的執(zhí)行元件，功能是把電脈沖信號(hào)變換為相應(yīng)角位移或直線位移。步進(jìn)電機(jī)角位移量或線位移量與其接收電脈沖數(shù)成正比，轉(zhuǎn)速或線速度與脈沖頻率成正比。在負(fù)載能力范圍內(nèi)這些正比關(guān)系不會(huì)因電壓、環(huán)境條件等波動(dòng)而變化，因此應(yīng)用步進(jìn)電機(jī)的開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)大大簡(jiǎn)化。所以在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，步進(jìn)電機(jī)因具有無(wú)需反饋就能對(duì)位置和速度進(jìn)行控制，快速啟停和低成本等優(yōu)勢(shì)，在工業(yè)自動(dòng)化控制系統(tǒng)中有極其廣泛應(yīng)用。

在步進(jìn)電機(jī)實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，其良好動(dòng)態(tài)運(yùn)行性能是控制系統(tǒng)可靠穩(wěn)定工作的重要前提。尤其是在實(shí)時(shí)性、快速響應(yīng)要求高的自動(dòng)化控制系統(tǒng)中，如何保證步進(jìn)電機(jī)在高速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中頻繁啟停、方向改變和頻率突變時(shí)不發(fā)生丟步、堵轉(zhuǎn)和過(guò)沖等現(xiàn)象成為關(guān)鍵。失步和過(guò)沖的發(fā)生與步進(jìn)電機(jī)運(yùn)行速度的變化規(guī)律，即步進(jìn)電機(jī)的加減速控制曲線密切相關(guān)。因此，針對(duì)自動(dòng)化控制系統(tǒng)步進(jìn)電機(jī)的實(shí)際應(yīng)用，研究步進(jìn)電機(jī)曲線控制的加減速算法具有重要意義。

1 步進(jìn)電機(jī)的控制系統(tǒng)

圖1 步進(jìn)電機(jī)控制系統(tǒng)

從步進(jìn)電機(jī)的控制過(guò)程可以看出設(shè)計(jì)一個(gè)好的加減速控制曲線對(duì)規(guī)劃電機(jī)實(shí)時(shí)快速、準(zhǔn)確平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，充分發(fā)揮步進(jìn)電機(jī)優(yōu)勢(shì)起到了重要作用。下面對(duì)常用的曲線加減速算法進(jìn)行分析。

2 常用曲線加減速算法

步進(jìn)電機(jī)的加減速過(guò)程一般分加速、勻速和減速三個(gè)階段，根據(jù)目標(biāo)位移的長(zhǎng)度S不同，加減速規(guī)劃過(guò)程也會(huì)不同。假設(shè)加速到最大目標(biāo)速度Vmax的位移為Sacc，從目標(biāo)速度減速到停止的位移為Sdec，會(huì)有以下三種具體情況：

（1）Sacc+Sdec

（2）Sacc+Sdec>S時(shí)，加減速曲線僅有加速和減速兩段，電機(jī)運(yùn)行速度小于Vmax。

（3）Sacc+Sdec=S時(shí)，加減速曲線也只有加速和減速兩段，但電機(jī)的運(yùn)行速度能達(dá)到目標(biāo)速度Vmax，即電機(jī)加速到目標(biāo)速度后即刻進(jìn)行減速運(yùn)動(dòng)，無(wú)勻速運(yùn)動(dòng)段。

品質(zhì)得分在54.70以上的為優(yōu)質(zhì)一級(jí)烤鴨，市售優(yōu)質(zhì)烤鴨中檢測(cè)到的9種雜環(huán)胺總含量水平為5 757.02～6 859.31ng·g-1。

根據(jù)步進(jìn)電機(jī)的運(yùn)動(dòng)控制過(guò)程，目前常用的步進(jìn)電機(jī)的加減速曲線算法主要有梯形曲線、指數(shù)曲線和S形曲線算法。

2.1 梯形曲線

梯形曲線算法的加減速過(guò)程分勻加速、勻速和勻減速三個(gè)階段。該算法的速度與時(shí)間曲線由于呈梯形狀，屬直線型，故名梯形曲線或直線曲線，如圖2所示，同時(shí)，圖中也給出了加速度時(shí)間關(guān)系。速度時(shí)間曲線的數(shù)學(xué)方程式為：

其中，v為t時(shí)刻的速度，Vs為起始速度，A為加速度。

圖2 梯形曲線關(guān)系圖

由圖2可知，曲線的速度變化不夠光滑，存在突變。在電機(jī)運(yùn)行過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)該算法存在噪聲較大，穩(wěn)定性不好等缺點(diǎn)，因此該算法不適用短距離、高精度、高速啟停的場(chǎng)合。但由于其算法控制簡(jiǎn)單，易于計(jì)算實(shí)現(xiàn)，節(jié)省資源等優(yōu)點(diǎn)，該曲線算法廣泛應(yīng)用于長(zhǎng)距離升降速要求不高的場(chǎng)合。

2.2 指數(shù)曲線

與梯形曲線類似，指數(shù)曲線是由于其加減速變化曲線按指數(shù)規(guī)律變化而得名，速度時(shí)間、加速度時(shí)間變化曲線如圖3所示。

圖3 指數(shù)曲線關(guān)系圖

與梯形曲線相比，指數(shù)曲線算法光滑性好，運(yùn)行精度高，但仍然存在速度突變，因此對(duì)高速精準(zhǔn)要求場(chǎng)合不能很好滿足。另外，由于其在加減速控制過(guò)程中有大量指數(shù)運(yùn)算，所以使得該算法計(jì)算實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，對(duì)硬件的運(yùn)行能力有較高要求。

2.3 S形曲線

從圖2、圖3可以看出，梯形和指數(shù)加速度曲線不連續(xù)，均有不同程度的加減速突變。而S形曲線克服了這方面的缺點(diǎn)，保證了加速度曲線的連續(xù)性。這樣，S曲線通過(guò)對(duì)加加速度的控制最大程度減少了速度的沖擊和抖動(dòng)現(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)了對(duì)電機(jī)的快速平穩(wěn)控制。一般，S曲線的加速度階段分為加加速、勻加速和減加速控制三個(gè)階段；減速階段分為減減速、勻減速和加減速三個(gè)階段。這樣，加上勻速階段，S曲線通常分為七個(gè)階段，如圖4所示。由圖可以看出速度曲線在加減速階段呈S形，因此得名S形加減速算法。

圖4 S曲線關(guān)系圖

雖然相比梯形和指數(shù)加減速，S形加減速在減少速度沖擊方面有了很大進(jìn)步，適用于較高要求的加減速過(guò)程。但由于其涉及階段較多，實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜，另外其加加速度的不連續(xù)性限制了柔性進(jìn)一步控制。因此本文介紹一種三角曲線加減速算法，該算法既有計(jì)算簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)方便等優(yōu)點(diǎn)，又能提高系統(tǒng)加減速柔性，滿足更高設(shè)備系統(tǒng)的應(yīng)用需求。

3 三角曲線加減速算法設(shè)計(jì)

3.1 數(shù)學(xué)函數(shù)的構(gòu)造

由S曲線的缺點(diǎn)可知，設(shè)計(jì)三角曲線加減速算法最重要的一點(diǎn)是變速過(guò)程中要滿足加加速度曲線連續(xù)。綜上可知，構(gòu)造的三角曲線必須滿足以下幾個(gè)基本條件：

（1）速度變化曲線變化平穩(wěn)，不存在速度突變沖擊；

（2）加速度變化曲線連續(xù)；

（3）加加速度變化曲線連續(xù)；

（4）速度曲線加速變化段的起始和終止、勻速整段、減速變化段的起始和終止加速度均為0，并滿足邊界速度要求。

結(jié)合以上要求，現(xiàn)構(gòu)造三角曲線的加減速數(shù)學(xué)函數(shù)。設(shè)速度從Vs經(jīng)時(shí)間Tm變化（加速或減速）到Ve，則根據(jù)三角函數(shù)的移動(dòng)變換關(guān)系，可以構(gòu)造變速階段三角曲線數(shù)學(xué)函數(shù)如式(2)：可簡(jiǎn)化為：

其中，t∈[0，Tm]。當(dāng) t=0 時(shí)，V(t)=Vs；當(dāng) t=Tm時(shí)，V(t)=Ve，滿足速度邊界條件。對(duì)公式(3)求導(dǎo)，可得加速度數(shù)學(xué)函數(shù)為：

顯然A(0)=0，A(Tm)=0，滿足加速度邊界條件。對(duì)公式(4)求導(dǎo)，易得加加速度數(shù)學(xué)函數(shù)為：

另外，正、余弦三角函數(shù)具有平滑連續(xù)可導(dǎo)特性。因此綜上分析，構(gòu)造的數(shù)學(xué)函數(shù)滿足三角曲線加減速算法設(shè)計(jì)的基本條件。

3.2 算法加減速過(guò)程分析

根據(jù)加減速運(yùn)動(dòng)控制過(guò)程可知，加減速產(chǎn)生的位移對(duì)規(guī)劃運(yùn)動(dòng)過(guò)程起決定性作用。對(duì)公式(3)積分可得算法位移時(shí)間關(guān)系式：

在三角曲線加減速控制整個(gè)過(guò)程中，假設(shè)能達(dá)到的最大速度為Vm，加速起始速度Vs，減速終止速度Ve，總加速時(shí)間Tma，總減速時(shí)間Tmd，則加、減速的位移公式分別為：

目標(biāo)位移S與Sa(Tma)、Sd(Tmd)間的關(guān)系，決定電機(jī)如何根據(jù)三角加減速算法規(guī)劃運(yùn)動(dòng)。為了方便研究，我們?cè)O(shè)加速初始速度與減速終止速度相等，加速時(shí)間與減速時(shí)間相同，即Ve=Vs，Tma=Tmd=Tm。這樣，由式(4)易得加速最大加速度Ama與減速最大減速度Amd大小相等，即Ama=Amd=Am。同時(shí)，加速與減速兩個(gè)過(guò)程發(fā)生的總位移SAD=Sa(Tma)+Sd(Tmd)可簡(jiǎn)化為：易知 A(t)≤Am，另外，結(jié)合式(4)可得如下關(guān)系式：

解(10)得

從系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間最短考慮，可用式(11)來(lái)保證運(yùn)行時(shí)間最短。并且加速階段加速度時(shí)間關(guān)系圖關(guān)于時(shí)間軸對(duì)稱。

結(jié)合公式(11)、(3)和(6)可得速度變化關(guān)系式(12)和位移時(shí)間關(guān)系式(13)，根據(jù)式(9)和式(11)可以推得式(14)。

綜上可知，由于Vs為已知值，所以只要給定最大加速度Am、目標(biāo)速度Vm與目標(biāo)位移S就可得到三角曲線加減速算法具體規(guī)劃運(yùn)動(dòng)。當(dāng) S>SAD，即。電機(jī)有加速、勻速和減速三階段運(yùn)動(dòng)；同理當(dāng)，電機(jī)僅有加速和減速兩階段運(yùn)動(dòng)。

4 結(jié) 論

加減速控制算法在步進(jìn)電機(jī)運(yùn)動(dòng)過(guò)程控制中起著不可替代作用，在工業(yè)控制系統(tǒng)中有著廣泛應(yīng)用。不同的加減速控制算法有不同的控制要求和特點(diǎn)，本文主要對(duì)梯形曲線、指數(shù)曲線和S形曲線等常用控制算法進(jìn)行了分析研究，并針對(duì)以上算法的不足介紹了一種速度柔性更強(qiáng)的三角曲線算法，表1為上述幾種加減速算法在速度、加速度、加加速度、計(jì)算量及實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度上的具體情況。

表1 步進(jìn)電機(jī)加減速算法對(duì)比表

根據(jù)表1所述加減速算法的不同特點(diǎn)，為了更好地發(fā)揮各算法的控制優(yōu)勢(shì)，不同的應(yīng)用場(chǎng)合可以使用不同的算法。在半導(dǎo)體設(shè)備控制系統(tǒng)中，以物料系統(tǒng)的步進(jìn)電機(jī)控制為例。

對(duì)運(yùn)動(dòng)精度與平穩(wěn)性要求不高的場(chǎng)合，如長(zhǎng)距離送料等輔助控制中，我們可以選用梯形曲線加減速算法控制；而對(duì)于精度、平滑性要求較高場(chǎng)合，如上下料步進(jìn)定位，S曲線加減速算法控制可以滿足要求；而對(duì)于速度平穩(wěn)性，精度要求更高場(chǎng)合，如搜索料過(guò)程，則三角曲線算法控制為最好選擇。

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