連續(xù)梁橋隨機(jī)響應(yīng)的影響因素分析

霍學(xué)晉

(清華大學(xué)土木工程系，北京 100084)

1 概述

隨著列車運(yùn)行速度的不斷提高、交通密度的日益增加、荷載的逐漸增大，車輛與結(jié)構(gòu)的相互作用問題越來越突出，影響到運(yùn)行的安全性和平穩(wěn)性，這就形成了車橋耦合問題。車橋耦合振動(dòng)是一個(gè)集隨機(jī)性、時(shí)變性、非線性于一體的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題。針對該問題的研究起源于歐美國家及日本，20世紀(jì)70年代以后，隨著電子計(jì)算機(jī)和有限元方法的問世和發(fā)展，車橋耦合振動(dòng)的研究有了飛速的進(jìn)步。國內(nèi)外許多學(xué)者展開了系統(tǒng)的研究工作，在車輛模型、橋梁模型及分析方法等方面均取得了較為顯著的成就，考慮的因素更加全面，王貴春［1]等在研究大跨度斜拉橋的車橋耦合振動(dòng)時(shí)考慮了結(jié)構(gòu)的幾何非線性，并和線性分析結(jié)果進(jìn)行了對比;張楠［2]等在高速鐵路鋼橋的車橋耦合分析中考慮了風(fēng)的作用。在車橋系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析方面也取得了較大的進(jìn)展，張志超［3]等利用虛擬激勵(lì)—精細(xì)積分法分析了車橋耦合系統(tǒng)的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng);晉智斌［4]提出了車-橋垂向隨機(jī)振動(dòng)分析的方法，并通過與Monte Carlo法的對比驗(yàn)證了方法的精度。

若不考慮風(fēng)和地震，車橋系統(tǒng)可視為自激系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)與軌道不平順、行車速度、列車長度、載重、梁體剛度、跨度等諸多因素有關(guān)，這些因素不同程度地影響著橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。針對該問題的理論分析和試驗(yàn)測試均較多［5-12]，但通常是從時(shí)域的角度考察，根據(jù)橋梁響應(yīng)振幅的大小來確定各種因素對響應(yīng)的影響程度，但由于響應(yīng)本身是一個(gè)隨機(jī)過程，響應(yīng)振幅不具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，值的離散性較大，不能全面地表征振動(dòng)的強(qiáng)度。若從本質(zhì)上考察各參數(shù)對響應(yīng)的影響規(guī)律，需利用隨機(jī)振動(dòng)的基本理論對結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析，從隨機(jī)統(tǒng)計(jì)的角度探索影響橋梁車振響應(yīng)的因素及其影響程度。由于線性體系在正態(tài)隨機(jī)干擾下的反應(yīng)仍然是正態(tài)的隨機(jī)過程，反應(yīng)的概率分布或聯(lián)合概率分布由反應(yīng)的前二階矩唯一確定，因此本文計(jì)算中假設(shè)車橋耦合系統(tǒng)的隨機(jī)激勵(lì)具有正態(tài)特性，通過求解二階矩進(jìn)行體系的隨機(jī)反應(yīng)分析。

2 車橋系統(tǒng)模型的建立

2.1 車輛運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)

車輛采用二系懸掛系統(tǒng)的空間模型，包括1個(gè)車體，2個(gè)轉(zhuǎn)向架，4個(gè)輪對，共31個(gè)自由度，表示如下。

車體的自由度

轉(zhuǎn)向架的自由度

輪對的自由度

式中，y表示橫擺;z表示浮沉;φ表示側(cè)滾;ψ表示搖頭;θ表示點(diǎn)頭。

車輛運(yùn)動(dòng)方程的建立采用拉格朗日方程［7]

式中，T為車輛總動(dòng)能;V為總勢能;Q為總耗散能;q為廣義自由度。

車輛系統(tǒng)的總動(dòng)能T如式(2)所示

式中，Tc是車體的動(dòng)能;Ttj是轉(zhuǎn)向架的動(dòng)能;Tl是輪對的動(dòng)能。

式(2)展開可寫為

車輛系統(tǒng)的總勢能如式(4)所示

式中，Vct是二系彈簧的總勢能;Vtk是一系彈簧的總勢能。

式(4)展開可寫為

車輛系統(tǒng)的阻尼耗散能如式(6)所示

式(2)～式(6)中，m、I分別表示質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，下標(biāo)c、t、k分別表示車體、轉(zhuǎn)向架和輪對;為一系豎向彈簧剛度為一系橫向彈簧剛度為二系豎向彈簧剛度為二系橫向彈簧剛度為一系豎向阻尼系數(shù)為一系橫向阻尼系數(shù)為二系豎向阻尼系數(shù)為二系橫向阻尼系數(shù);h1為車體重心至二系彈簧的垂直距離;h2為二系彈簧至轉(zhuǎn)向架重心的垂直距離;h3為轉(zhuǎn)向架重心至軸箱重心的垂直距離;h4為軸箱重心至梁體重心的垂直距離;a為一系彈簧之間水平距離的一半;b為二系彈簧之間水平距離的一半。

2.2 輪軌接觸力

由線性蠕滑理論［8]可推導(dǎo)出輪軌橫向力。由于蠕滑力正比于接觸點(diǎn)上輪軌的相對線速度和角速度，并與車輪速度成反比，考慮橫向和橫轉(zhuǎn)蠕滑，得到左右輪軌橫向力的表達(dá)式如下［8]

式中，QL、QR分別為左右輪軌橫向力;ybL、ybR分別為左右輪軌接觸點(diǎn)處橋梁的橫向位移(包括橫向不平順);w為軸重;λw為踏面斜率;f11為縱向蠕滑力系數(shù);f22為橫向蠕滑力系數(shù);f23為橫轉(zhuǎn)蠕滑力系數(shù);f33為旋轉(zhuǎn)蠕滑力系數(shù)。

根據(jù)線性化赫茲接觸理論［8]建立輪軌垂向作用力表達(dá)式如下

式中，PL、PR為左右輪軌垂向力;Kh為輪軌接觸剛度;zbL、zbR為左右輪軌接觸點(diǎn)處橋梁的垂向位移;ηL、ηR為左右軌道垂向不平順。

2.3 橋梁有限元模型

橋梁結(jié)構(gòu)采用空間梁單元進(jìn)行有限元離散，阻尼采用Rayleigh阻尼。

橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中，［Mb]、［Cb]、［Kb]分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;{qb}{˙qb}{¨qb}分別為節(jié)點(diǎn)位移、速度和加速度列向量;{Fb(t)}為隨時(shí)間變化的外力向量。

3 隨機(jī)響應(yīng)的求解方法

車橋系統(tǒng)的振動(dòng)是固體間的接觸耦合振動(dòng)，車輛系統(tǒng)與橋梁系統(tǒng)振動(dòng)特性的差別較大，耦合點(diǎn)有限，耦合關(guān)系明確。針對該問題的求解通常有以下兩種方法，一是將車輛模型與橋梁模型的所有自由度通過輪軌關(guān)系耦聯(lián)在一起，消除不獨(dú)立的自由度，建立統(tǒng)一的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程組，進(jìn)行同步求解，由于車橋體系具有時(shí)變性，系統(tǒng)的質(zhì)量陣、阻尼陣及剛度陣隨著車輛在橋梁上位置的不同而變化，分析中每一時(shí)步必須對系數(shù)矩陣進(jìn)行重新組集，工作量較大，但結(jié)果相對較為精確;二是將車橋系統(tǒng)以輪軌接觸面為界，分為車輛與橋梁兩個(gè)子系統(tǒng)，分別建立車輛與橋梁的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，兩者之間通過輪軌接觸面的位移協(xié)調(diào)條件與輪軌相互作用力的平衡關(guān)系相聯(lián)系，采用迭代法求解系統(tǒng)響應(yīng)，橋梁子系統(tǒng)對車輛子系統(tǒng)的作用是通過幾何位移關(guān)系實(shí)現(xiàn)的，車輛子系統(tǒng)對橋梁子系統(tǒng)的作用是通過輪軌作用力實(shí)現(xiàn)的，這樣車輛及橋梁各自運(yùn)動(dòng)方程的系數(shù)矩陣在各時(shí)步保持不變，從而減小了計(jì)算工作量。本文采用第一種方法通過輪軌接觸力將車橋子系統(tǒng)連接起來，利用動(dòng)態(tài)剛度法編寫計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行逐步積分求解響應(yīng)。

通常假設(shè)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)是平穩(wěn)過程且為各態(tài)歷經(jīng)性的，一個(gè)響應(yīng)樣本的統(tǒng)計(jì)特性代表了隨機(jī)響應(yīng)總體的特性，但這種假設(shè)具有很大的近似性。為了使所研究橋跨結(jié)構(gòu)的響應(yīng)近似為平穩(wěn)過程，程序中在車輛上橋之前，先虛擬運(yùn)行一段與橋梁部分相同線路條件的距離，待平穩(wěn)后再進(jìn)入橋跨結(jié)構(gòu)，一般在橋兩側(cè)各取相當(dāng)于全橋長度的運(yùn)行距離，并假設(shè)此段距離上的軌道不平順和橋上的不平順度具有相同的統(tǒng)計(jì)特性，這樣基本保證了作為研究對象的橋跨響應(yīng)是平穩(wěn)過程。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一種隨機(jī)信號，由于平穩(wěn)隨機(jī)過程的能量是無限的，本身的傅立葉變換不存在，通常用功率譜密度函數(shù)來描述隨機(jī)響應(yīng)特性。

由著名的Parseval等式

可得

式中，x(t)為隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)樣本;X(ω)為傅里葉變換，下標(biāo)T表示樣本x(t)實(shí)際記錄的時(shí)間長度。式(12)等號左邊代表隨機(jī)信號的平均功率，即平均功率是曲線在頻域下覆蓋的面積就是功率譜密度函數(shù)PSD，表示隨機(jī)振動(dòng)在單位頻帶內(nèi)諧波分量的平均功率按頻率分布的度量。如果給出平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)過程的譜密度曲線，就可以直觀地從曲線上了解此過程的某些特性，例如曲線下圖形的面積等于過程的均方值，即平均功率，代表過程所包含的能量。

①應(yīng)該按照設(shè)計(jì)圖紙的要求將給水管道安裝好，并檢查管道間的連接點(diǎn)，以保證給水管道順利供水；②應(yīng)根據(jù)供水的性質(zhì)，選擇適合的管道材料，如消防管道材料不應(yīng)使用黑鐵管；③給水管道應(yīng)做好防腐措施，還應(yīng)嚴(yán)格掌控地下管道走向、直徑及規(guī)格，對地下管道的支架點(diǎn)位應(yīng)進(jìn)行永久凍土處理。

4 橋梁隨機(jī)響應(yīng)影響因素分析

本文以1座5跨鐵路連續(xù)梁橋的車橋耦合計(jì)算為背景，針對各種因素對結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響及其規(guī)律進(jìn)行研究。選擇的車輛模型為由輕軌車輛組成的列車，車輛的平均輕車軸重為101 kN，重車軸重為132 kN，車輛豎向和橫向自振頻率分別為1.04 Hz和0.68 Hz。橋梁模型為5 m×35 m的箱形截面連續(xù)梁橋，跨中截面豎向抗彎剛度為33.215×106kN·m2。

4.1 不同軌道譜下橋梁的隨機(jī)響應(yīng)分析

在實(shí)際線路上存在的各種軌道不平順是由不同波長、不同相位和不同幅值的隨機(jī)不平順波疊加而成的，是與線路里程有關(guān)的復(fù)雜的隨機(jī)過程。對軌道不平順隨機(jī)特性的統(tǒng)計(jì)描述主要是不平順功率譜密度函數(shù)。車橋耦合問題的解法一般采用時(shí)域的逐步積分法，所以必須將軌道不平順轉(zhuǎn)化為時(shí)域樣本，轉(zhuǎn)化的方法很多，本文采用三角級數(shù)法［7]。以美國六級高低不平順譜為例，采用三角級數(shù)法模擬的軌道不平順曲線如圖1所示。

圖1 軌道不平順時(shí)程曲線

為了分析軌道不平順對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，分別將美國五級譜和六級譜作為激勵(lì)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同軌道譜下響應(yīng)的PSD曲線

圖2表明以美國六級譜作為激勵(lì)的情況下橋梁的動(dòng)力響應(yīng)更加平穩(wěn)，而五級譜輸入系統(tǒng)的能量較高，行車平穩(wěn)性相對較差，對橋梁結(jié)構(gòu)的破壞更為嚴(yán)重。同時(shí)也說明軌道不平順的確是車橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)的激勵(lì)源之一。

近年來我國鐵路交通運(yùn)輸系統(tǒng)迅速發(fā)展，列車的運(yùn)行速度越來越快，線路質(zhì)量已成為制約提速空間的關(guān)鍵。軌道不平順作為評價(jià)線路質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，軌道的平順度越好，線路就具有更大的提速潛力。由減載率公式為輪軌垂向動(dòng)態(tài)附加荷載，α為線路缺陷系數(shù)，和軌道不平順有關(guān))可見，當(dāng)軸重、簧下質(zhì)量、行車速度一定時(shí)，輪重減載率的大小與軌道不平順狀況成正比，在減載率一定時(shí)，軌道不平順狀況與行車速度成反比，這就意味著要保證列車高速運(yùn)行，必須提高軌道的平順度。由此可見軌道不平順是影響列車提速和橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)的非常重要的因素。

4.2 橋梁中跨與邊跨跨中的隨機(jī)響應(yīng)分析

對于等跨的連續(xù)梁，由于每跨兩側(cè)約束條件的不同，中跨和邊跨的動(dòng)力響應(yīng)也會(huì)不同，如圖3所示。

由PSD曲線可見，橋梁中跨的振動(dòng)能量較大，即在車橋耦合振動(dòng)中，中跨響應(yīng)相比其他跨更加劇烈，受到的沖擊更大。對連續(xù)梁橋來說，隨著橋跨與中跨的距離越遠(yuǎn)，跨中響應(yīng)存在遞減的趨勢。

圖3 中跨和邊跨的響應(yīng)PSD曲線

4.3 不同車長下橋梁的隨機(jī)響應(yīng)分析

圖4 車長與跨中撓度幅值的關(guān)系

由圖4可見，跨中響應(yīng)隨著列車車廂的增加而增大，但由于相關(guān)性的降低，增長的趨勢在列車達(dá)到一定長度后逐漸趨于平緩。圖5示出了10節(jié)和30節(jié)車廂情況下跨中撓度的PSD曲線。

圖5 不同車長的響應(yīng)PSD曲線

由圖5看出，速度不變的情況下，列車越長在橋上運(yùn)行的時(shí)間就越長，所以向系統(tǒng)輸入的能量就越多，整體上使得振動(dòng)強(qiáng)度較高。

4.4 不同懸掛剛度下橋梁的隨機(jī)響應(yīng)分析

轉(zhuǎn)向架與車體和輪對之間均通過懸掛系統(tǒng)連接，聯(lián)接剛度越大車輛的整體剛性越強(qiáng)，對橋跨結(jié)構(gòu)的動(dòng)力沖擊作用也會(huì)不同。不同懸掛剛度的計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同懸掛剛度下響應(yīng)的PSD曲線

由圖6可見，增大懸掛系統(tǒng)的剛度會(huì)使結(jié)構(gòu)的振動(dòng)加強(qiáng)，所以適當(dāng)減小懸掛剛度可以降低車輛對橋梁結(jié)構(gòu)的沖擊作用，但剛度不能無限降低，低剛度會(huì)影響車輛運(yùn)行的平穩(wěn)性和安全性。因此在確定機(jī)車的設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)，要兼顧兩方面的考慮。懸掛系統(tǒng)在振動(dòng)的傳遞過程中起到濾波器的作用，改變懸掛剛度會(huì)改變?yōu)V波器特性，從圖6看出不同懸掛剛度下PSD在頻域上的分布也發(fā)生了變化。

4.5 不同載重下橋梁的隨機(jī)響應(yīng)分析

實(shí)際運(yùn)行中，無論是客運(yùn)列車還是貨運(yùn)列車均會(huì)以不同的載重通過橋梁，不同載重情況下車輛對結(jié)構(gòu)的動(dòng)力沖擊作用如圖7所示。

圖7 不同載重下響應(yīng)的PSD曲線

圖7表明，隨著載重的增加，橋梁跨中響應(yīng)更加劇烈，對橋梁結(jié)構(gòu)的沖擊作用更加明顯，因此為了保證橋上的行車安全，車輛載重也需作相應(yīng)的限制。

4.6 不同簧下質(zhì)量下橋梁的隨機(jī)響應(yīng)分析

要保證列車在高速運(yùn)行時(shí)的安全性，需采取各種措施減小車輛對結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用，減小簧下質(zhì)量就是其中一種措施。

圖8 不同簧下質(zhì)量下響應(yīng)的PSD曲線

4.7 不同輪軌接觸下橋梁的隨機(jī)響應(yīng)分析

和減小簧下質(zhì)量類似，使用彈性輪對也是減小動(dòng)力沖擊作用的一種措施。

由動(dòng)量定理可知輪軌力F=M·Δv/Δt，其中M為簧下質(zhì)量，可見降低輪對剛度使作用時(shí)間Δt延長，從而可以減小輪軌間的作用力。從圖9還可看出，輪軌接近剛性接觸時(shí)，橋梁振動(dòng)非常劇烈，而彈性輪顯示出很好的濾波效果，向橋梁輸入的能量集中于低頻段。由此可見彈性輪能夠有效地緩解車輛對橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與沖擊作用。

圖9 不同輪軌接觸下響應(yīng)的PSD曲線

5 結(jié)論

(1)平順度較好的軌道具有更大的提速空間，并且能夠有效地降低車輛的沖擊作用;

(2)減小載重和簧下質(zhì)量，可以減小橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng);

(3)降低車輛懸掛系統(tǒng)的剛度有利于控制橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng);

(4)彈性輪能夠有效地緩沖車輛對橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與沖擊作用。

［1]王貴春，潘家英，張欣.大跨度鐵路斜拉橋車橋耦合振動(dòng)非線性分析［J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25(3):524-528.

［2]張楠，夏禾，郭薇薇，等.京滬高速鐵路南京大勝關(guān)長江大橋風(fēng)-車-橋耦合振動(dòng)分析［J].中國鐵道科學(xué)，2009，30(1):41-47.

［3]張志超，張亞輝，林家浩.車橋耦合系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析的虛擬激勵(lì)-精細(xì)積分法［J].工程力學(xué)，2008，25(11):197-203.

［4]晉智斌.車-線-橋耦合系統(tǒng)及車-橋隨機(jī)振動(dòng)［D].成都:西南交通大學(xué)，2007.

［5]馬繼兵，蒲黔輝，夏招廣.鐵路尼爾森體系提籃拱橋動(dòng)載試驗(yàn)與車橋耦合振動(dòng)分析［J].振動(dòng)與沖擊，2008，27(7):174-177.

［6]羅浩，郭向榮.多跨斜交簡支T梁橋車橋耦合振動(dòng)分析［J].中國鐵道科學(xué)，2009，30(4):36-40.

［7]夏禾，張楠.車輛與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用［M].2版.北京:科學(xué)出版社，2005.

［8]葛玉梅.斜拉橋在考慮風(fēng)效應(yīng)時(shí)的車-橋耦合振動(dòng)［D].成都:西南交通大學(xué)，2001.

［9]徐勛倩.車-鋼橋面鋪裝耦合振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力效應(yīng)分析［J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26(3):501-506.

［10]韓萬水，馬麟，院素靜，等.路面粗糙度非一致激勵(lì)對車橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)影響分析［J].土木工程學(xué)報(bào)，2011，44(10):81-90.

［11]肖祥，任偉新.基于橋梁基準(zhǔn)有限元模型的列車-橋梁空間耦合振動(dòng)分析［J].中國鐵道科學(xué)，2011，32(2):41-47.

［12]崔圣愛，單德山，祝兵.南廣高速鐵路郁江大橋車橋耦合振動(dòng)仿真分析［J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，46(3):385-390.