基于Probit等效阻抗的配對組合Logit路徑選擇模型

李 軍,賴信君,余 志

(中山大學智能交通研究中心,廣東省智能交通系統(tǒng)重點實驗室,廣州510275)

基于Probit等效阻抗的配對組合Logit路徑選擇模型

李 軍*,賴信君,余 志

(中山大學智能交通研究中心,廣東省智能交通系統(tǒng)重點實驗室,廣州510275)

原有的組合配對Logit模型(Paired Combinatorial Logit,PCL)中相似性系數(shù)的確定方法缺乏必要的理論依據(jù),模型的同一分布假設導致它難以表征道路感知誤差的異方差特質(zhì).為克服這些不足,本文提出了基于Probit等效阻抗的配對組合Logit路徑選擇模型.模型分上下兩層:下層的每一配對采用Probit二元選擇法,引入正態(tài)分布以表征感知誤差的異方差性并提高了計算的準確性;提出隨機等效阻抗的概念并以Clark公式計算每一配對的等效阻抗,為相似性系數(shù)的計算提供了清晰的理論依據(jù);上層模型采用計算簡便的多項Logit模型,利用相對阻抗來緩解Logit模型的長短路缺陷,通過條件概率計算路徑的選擇概率.新模型綜合了Probit模型計算準確及Logit模型計算簡便的優(yōu)點,在兩者之間取得了合理的平衡.經(jīng)典路網(wǎng)的數(shù)值計算結(jié)果表明,該模型比傳統(tǒng)Logit模型更為合理.

綜合交通運輸;組合配對Logit模型;Probit模型;隨機等效阻抗;相對阻抗

1 引 言

Logit和Probit隨機路徑選擇模型是兩種最受到研究者關注的隨機路徑選擇模型.多項Logit模型(MNL)假設隨機效用服從于二重指數(shù)分布,模型存在解析解且計算簡便[1,2].MNL模型在交通選擇行為建模中得到了廣泛應用[3,4],但在路徑選擇的應用中卻因其固有特性受到限制:第一個缺陷來自于模型假設各個選擇項之間相互獨立(IIA特性),致使有重疊路徑時不能得到正確的結(jié)果;第二個缺陷源于MNL模型假設路徑的感知誤差與路徑阻抗無關,使得在路徑阻抗相差較大的情況下得到不合理的結(jié)果,亦稱同方差缺陷或“長短路”問題.Probit服從正態(tài)分布,它不具有Logit模型的兩大缺陷并能得到較合理的計算結(jié)果,可惜Probit模型計算復雜[5],對2條路徑以上的問題缺少有效的分析解法.

不少學者針對MNL模型的IIA特性進行了改進[6-11],代表性的模型包括:C-Logit模型[6]引進“共用項(commonality factor)”以表征路徑重疊程度;PSL(Path Size Logit)模型[8]基于C-Logit模型相似思路進行改良,引進“路徑規(guī)模項”來取消路徑重疊影響;PCL(Paired Combinatorial Logit)模型[7,12-15]通過對可選路徑兩兩組對,并分別定義路徑對之間的相似性來克服IIA特性.在這些改良方法中,PCL模型被認為是較好的改進方法之一. PCL模型與C-Logit及PSL模型對重疊路徑的處理有較相似的思路,但不需對全路網(wǎng)路段遍歷來確定路徑集的協(xié)方差,模型需要估計的參數(shù)也較少. PCL模型分上下兩層,模型下層將選擇集內(nèi)的路徑兩兩組對,并以相似性系數(shù)表征路徑對之間的重疊程度;最后某一路徑i的選擇概率為包含i的所有上層邊緣概率與下層條件概率之積的和.PCL模型對兩兩組合的路徑對定義相似性系數(shù),能很好地解釋路徑對之間的重疊關系[16-18].PCL模型的缺點之一是它假設隨機效用服從同一分布,與駕駛員對道路的感知誤差具有異方差性這一特質(zhì)不符;第二個缺陷是PCL模型中相似性系數(shù)的確定缺乏理論依據(jù)[19].

不少學者為解決Logit模型的同方差缺陷(也是PCL模型的第一個缺陷),引進了除二重指數(shù)分布以外的其他分布進行建模[20-22].最具代表性的是Mixed Logit[20]模型,它引進了正態(tài)分布對原有模型進行改進,但這卻大大增加了模型的復雜度及參數(shù)標定的難度.如何在引進其它分布消除同方差性的同時,保持模型的計算及標定簡便,仍是學者不斷嘗試及努力的方向.

隨機等效阻抗的提出為解決PCL模型的第二個缺陷提供了較好的解決辦法[23],基于隨機等效阻抗的PCL模型(簡稱“LPCL”模型)以Logit等效阻抗代替相似性系數(shù)減少了參數(shù)標定的復雜度.另外,LPCL采用對參數(shù)無量綱的方式以解決PCL模型的第一個缺陷[24],但模型對參數(shù)變化的反應仍過于敏感,數(shù)值變化過大.

借鑒LPCL模型解決相似性系數(shù)的辦法,本文進一步參考Mixed Logit模型,在引進正態(tài)分布以表征判斷誤差的同時,保持原有PCL模型的計算難度不變,并進一步提高模型的準確性及穩(wěn)定性.本文提出一種基于Probit等效阻抗的改進PCL模型(簡稱“PPCL”模型),能較好地克服傳統(tǒng)PCL模型及LPCL模型的缺點.

2 PPCL路徑選擇模型

PPCL模型與傳統(tǒng)PCL模型架構(gòu)相似,模型分為上下兩層.模型的下層實際上是一個二元選擇模型,由于二元Probit模型計算準確且簡單,因此可以用Probit模型替代原有的二元Logit選擇模型,以解決下層模型的同方差問題.提出路徑對等效阻抗以代替原模型的相似性系數(shù),將選擇集內(nèi)的路徑兩兩組對并表征路徑對之間的重疊部分以改進IIA特性,利用基于正態(tài)分布假設的Clark等效法計算每一路徑對的等效阻抗.每個路徑對的等效阻抗將應用于模型上層,利用相對阻抗的多項Logit進行計算以解決上層模型的“長短路”問題.每一個路徑的選擇概率,由邊緣概率及條件概率得出.

2.1 基于Probit的等效阻抗計算

傳統(tǒng)PCL模型相似性系數(shù)的確定缺乏理論依據(jù),為修正這個缺點,PPCL模型將以等效阻抗代替?zhèn)鹘y(tǒng)PCL模型中的相似性系數(shù).由于Probit模型在考慮效用誤差項時假設其方差與路徑阻抗成正比,且Probit模型在3個選擇項情況下能有較簡便的等效計算方法,適用于計算PCL模型下層路徑對的等效阻抗.

假設OD之間有兩個路徑i及j,它們的阻抗分別是Li和Lj,假設現(xiàn)有第三條虛擬路徑(i,j)連接OD且阻抗為.若在Probit模型下選擇i及j的概率之和等于選擇(i,j)的概率,則認為為路徑i及j的Probit等效阻抗.以Clark法等效計算Probit選擇模型下的路徑(i,j)選擇概率為

2.2 相對阻抗的計算

基于Probit的等效阻抗將進一步應用于模型的上層邊緣概率計算.由于上層模型所采用的MNL模型具有同方差性并引致了“長短路”問題.本文采用相對阻抗的概念對模型進行改良.假設出行路徑集為A且共有n條可供選擇的路徑,根據(jù)定義,模型下層為兩兩組對的路徑對,則共有n(n-1)/2組路徑對.任意路徑對i及j的Probit等效阻抗為L(i,j),其相對阻抗為

2.3 改進的PCL模型架構(gòu)

改進的PCL模型架構(gòu)分上下兩層,上層用于計算選擇某一路徑對(i,j)的邊緣概率,而下層條件概率以兩項Probit模型計算從i、j兩個路徑中選擇i的概率,在更好地表征路徑對之間的重疊關系的同時,也消除了原PCL及LPCL模型中由于應用MNL計算而產(chǎn)生的同方差問題.

從路徑對i和j中選擇i的條件概率表示為

同理,選擇j的條件概率為

假設可供選擇的路徑共有n條,從n(n-1)/2組路徑對中選擇某一路徑對(i,j)的邊緣概率為

隨機路徑選擇模型對駕駛員的判斷誤差進行了表征,具體表現(xiàn)在隨機誤差分布的方差上.Probit模型服從參數(shù)為β的正態(tài)分布,判斷誤差的均值為0,方差為模型服從參數(shù)為θ的二重指數(shù)分布,相對阻抗下的Logit型模型的方差為,θ越小,表明駕駛員的判斷誤差越大,對路網(wǎng)的熟悉程度越低.假設兩種分布下,駕駛員對最短路的感知誤差沒有差別,令兩種分布的方差相等即,得參數(shù)間的關系為

任意路徑i的選擇概率為

本文沿用了LPCL模型的等效阻抗概念,并用基于正態(tài)分布的Probit模型代替原有的Logit方法以計算等效阻抗,更好地表征了駕駛員對路徑判斷誤差的異方差性.等效阻抗的計算有更充分的理論依據(jù)及明確的物理意義,避免了傳統(tǒng)PCL模型中相似性系數(shù)的確定.由于在計算Probit等效阻抗時為三個選擇項的概率計算問題,采用Clark等效法能獲得較準確的計算結(jié)果.在上層邊緣概率中使用相對阻抗的MNL計算,在下層條件概率中應用兩項Probit選擇,緩解了上層計算中原模型的同方差性缺陷.

3 數(shù)值檢驗

在兩個經(jīng)典路網(wǎng)中比較PPCL與LPCL、PCL、MNL、C-Logit、PSL及Probit模型的計算結(jié)果.由于Probit模型服從正態(tài)分布且利用協(xié)方差表征選擇項之間的相似關系,因此把Probit曲線看作理想的路徑選擇曲線.

圖1所示路網(wǎng)被廣泛應用于檢驗計算路徑重疊問題的有效性,路徑1為L1,路徑2為L2及L4,路徑3為L3及L4,其中重疊的路段L4的阻抗為10-x.路段L2及L3的等效阻抗為

根據(jù)駕駛員對道路熟悉程度的不同,令判斷誤差的參數(shù)θ分別取值為1、1.5及2,以考查不同模型對參數(shù)變化的敏感度.不同參數(shù)下MNL、PCL、 LPCL、Probit、C-Logit、PSL及PPCL對路網(wǎng)1路徑2的選擇概率如圖2所示.

圖1 路網(wǎng)1 Fig.1 Network 1

隨機路徑選擇模型對駕駛員的判斷誤差進行了表征,具體表現(xiàn)在隨機誤差分布的方差上.Probit模型及PPCL模型涉及到參數(shù)為β的正態(tài)分布,判斷誤差的均值為0,方差為σ2=βLmin.LPCL、MNL及PCL模型涉及到參數(shù)為θ的二重指數(shù)分布,相對阻抗下的Logit模型的方差為θ越小,表明駕駛員的判斷誤差越大,對路網(wǎng)的熟悉程度越低.由于對比涉及了兩種不同的分布,需要對不同模型間參數(shù)進行統(tǒng)一.令兩種分布的方差相等,得.根據(jù)駕駛員對道路熟悉程度的不同,令判斷誤差的參數(shù)θ分別取值為1、1.5及2,以考查不同模型對參數(shù)變化的敏感度.不同參數(shù)下MNL、PCL、LPCL、Probit、C-Logit、PSL及PPCL對路網(wǎng)1路徑2的選擇概率如圖2所示.

圖2 路網(wǎng)1路徑2的選擇概率Fig.2 Choice probabilities of middle route in network 1

第二個路網(wǎng)如圖3所示,OD間共3個路徑5個路段,路徑1由L2及L5組成,同樣對不同模型進行不同參數(shù)下的計算,其選擇概率如圖4所示.

在兩個路網(wǎng)的比對中,PPCL模型仍然能取得與理想結(jié)果較為吻合的曲線,明顯較MNL及PCL模型要優(yōu)秀.在路網(wǎng)1中,新模型與Probit曲線同樣呈現(xiàn)上凸的形態(tài),能表征隨著x增大,路徑2選擇概率先快速上升再緩慢上升這種變化趨勢,LPCL及C-Logit模型均不能重現(xiàn)這種變化.在路網(wǎng)1中,當θ=2時, PSL模型的計算結(jié)果要比新模型好,但差別不算明顯;在路網(wǎng)2中,PSL的計算結(jié)果與理想值差別相當大;綜合兩個路網(wǎng)的計算結(jié)果,PPCL的計算結(jié)果要比PSL的更為穩(wěn)定和可靠.

圖3 路網(wǎng)2Fig.3 Network 2

圖4 路網(wǎng)2路徑1的選擇概率Fig.4 Choice probabilities of upper route in network 2

從兩個路網(wǎng)的檢驗中可發(fā)現(xiàn),新模型能較好地修正原PCL模型對參數(shù)不敏感、LPCL對參數(shù)過于敏感的問題,這兩個舊模型對駕駛員路網(wǎng)熟悉程度的表征顯得不夠,忽視或過分強調(diào)了判斷誤差在路徑選擇中的作用.在兩個路網(wǎng)中,PCL模型對參數(shù)的調(diào)整幾乎沒有任何變化;在兩個路網(wǎng)中當θ從1增大至1.5時,LPCL模型對參數(shù)的變化都極為敏感從而數(shù)值變化過大.新模型能表征隨著判斷誤差變化,駕駛員選擇結(jié)果也隨之變化這一特征,且數(shù)值變動在合理的范圍之內(nèi),能得到準確及穩(wěn)定的計算結(jié)果,是一次較為成功的嘗試.

新模型主要有兩點創(chuàng)新:

(1)不需計算原PCL模型中的相似性系數(shù),簡化了模型;

(2)引進Probit方法以結(jié)合Probit與Logit模型的優(yōu)勢并取得平衡.

對于第一點,PPCL模型的計算首先具有更明確的理論依據(jù),在計算結(jié)果上新模型比原來的PCL模型要好,這種改善應歸功于新模型更明晰的推導計算方法.

對于第二點,新模型引進Probit方法,更改了LPCL模型兩處原來利用Logit計算的地方:

①相似性系數(shù)的等效計算;

②下層模型的條件概率的計算.由于這兩點改進只涉及三項以下的Probit計算,能充分發(fā)揮Probit計算準確的優(yōu)勢但并不增加計算難度.

實驗結(jié)果也表明這種嘗試是成功的,計算結(jié)果是穩(wěn)定的,也是能在計算準確及計算復雜性之間取得合理平衡的.新模型能很好地克服原PCL模型的IIA缺陷及同方差性問題,取得合理穩(wěn)定的計算結(jié)果.但由于PCL模型配對組合的特性,PPCL及LPCL這兩種模型仍存在固有缺陷,在路網(wǎng)1的計算中,這三種基于配對組合的模型在計算結(jié)果中仍存在跳變,這是值得再深入探索并改進的問題.

4 研究結(jié)論

基于Probit等效的組合配對Logit模型繼承了傳統(tǒng)PCL模型的優(yōu)點,也進一步克服了原模型的缺陷.模型的上層利用相對阻抗使Logit模型無量綱化,解決了原上層模型存在的“長短路”問題;模型下層所運用的Probit模型假設認知誤差與路段阻抗成比例,在更好地模擬判斷誤差的同時也能充分表征路徑間的重疊關系.模型下層皆為兩個選擇項的概率計算,使用兩項Probit模型進行計算在得到準確結(jié)果的同時也保證了計算的簡便性.另外,3個選擇項的Clark等效計算較為簡單,計算精度也相應較高,適合運用于本模型中計算等效阻抗.本模型的另一個優(yōu)點為以清晰物理概念的等效阻抗,代替原PCL模型中缺乏理論依據(jù)的相似性系數(shù)并減少了參數(shù)估計的復雜性.兩個路網(wǎng)的數(shù)值檢驗顯示,PPCL模型能較好地克服原模型的缺陷,計算結(jié)果更接近理想值,較大程度上改進了LPCL及PCL模型對參數(shù)過分敏感的缺點,取得合理的結(jié)果.

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A Paired Combinatorial Logit Route Choice Model with Probit-Based Equivalent Impedance

LI Jun,LAI Xin-jun,YU Zhi
(Guangdong Provincial Key Laboratory of Intelligent Transportation System,Research Center of Intelligent Transportation System,Sun Yat-sen University,Guangzhou 510275,China)

An improved paired combinatorial Logit route choice model with Probit-based equivalent route impedance is proposed to simplify the calculation and resolve the homoscedasticity problem of the Logit model.The model comprises a two-level structure:the lower level employs a binary Probit choice model to address the problem of route overlapping.Clark's approximation for normal distribution is employed to compute the equivalent impendence for each route pair in the upper level.The homoscedasticity problem is resolved through the introduction of the normal distribution.The upper level is a classical multinomial Logit model with relative impedance that reduces the defect of variance-homogeneity in the upper level.Theprobability of route selection is determined by marginal and conditional probabilities.The proposed model combines the advantages of both Probit and Logit models with close-form formulations,which can be easily calculated.Two numerical tests,which were performed on the well-known examples,indicate that the proposed model produces more reasonable and stable results.

integrated transportation;paired combinatorial Logit model;Probit model;stochastic equivalent impendence;relative impedance

U491.1+22Document code: A

U491.1+22

A

1009-6744(2013)04-0100-06

2012-11-13

2012-12-17錄用日期:2013-01-09

國家自然科學基金(51178475).

李軍(1968-),男,湖北江陵人,副教授,博士.

*通訊作者:stslijun@mail.sysu.edu.cn