有效應(yīng)力下多孔介質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的分形特征

李 瑋，徐艷坤，閆 鐵，王茂盛，張紅衛(wèi)

（1.東北石油大學(xué) 石油工程學(xué)院，黑龍江 大慶163318；2.大慶油田勘探開(kāi)發(fā)研究院，黑龍江 大慶163712）

多孔介質(zhì)廣泛分布在地殼的淺層及深層，如地表的土壤、深層的巖石等。在結(jié)構(gòu)上是由相互連接的固體顆粒和顆粒間的孔隙組成。多孔介質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、非均質(zhì)性受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究，研究發(fā)現(xiàn)孔隙結(jié)構(gòu)的空間分布具有統(tǒng)計(jì)自相似性。Pfeifer等首先用分子吸附法研究了多孔介質(zhì)的孔隙結(jié)構(gòu)，并得出其微觀結(jié)構(gòu)具有分形性的結(jié)論［1］。Katz等利用掃描電鏡（SEM）對(duì)不同類型的砂巖進(jìn)行研究，結(jié)果表明砂巖孔隙空間具有分形特征［2］。Friesen等用壓汞儀測(cè)試了煤的孔隙結(jié)構(gòu)，并根據(jù)測(cè)試得到的毛管壓力數(shù)據(jù)計(jì)算了煤顆粒分布的分形維數(shù)［3］。

通常情況下，多孔介質(zhì)會(huì)受到外部應(yīng)力和內(nèi)部應(yīng)力的共同作用，其自身的微觀孔隙結(jié)構(gòu)在有效應(yīng)力作用下發(fā)生變化。這種變化直接影響孔隙介質(zhì)的大小、形狀、分布、孔隙度和滲透率等。Terzaghi首先研究了多孔介質(zhì)骨架中有效應(yīng)力和孔隙中流體壓力對(duì)總應(yīng)力的分配問(wèn)題，給出了經(jīng)典的有效應(yīng)力原理［4］。為了更好地解釋多孔介質(zhì)自身結(jié)構(gòu)與有效應(yīng)力之間的關(guān)系，少數(shù)學(xué)者提出了對(duì)Terzaghi方程的修正［5－8］。黃遠(yuǎn)智等研究了不同巖樣的滲透率隨有效壓力的變化規(guī)律，并給出有效圍壓與巖樣滲透率關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式［9］。鄭玲麗等研究發(fā)現(xiàn)有效應(yīng)力系數(shù)與圍壓和孔隙流體壓力有關(guān)，且表現(xiàn)出明顯的非線性特征［10］。本文以分形幾何理論為基礎(chǔ)，通過(guò)建立有效應(yīng)力的分形計(jì)算模型，計(jì)算分析和討論多孔介質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和有效應(yīng)力之間的關(guān)系，從微觀角度上揭示有效應(yīng)力對(duì)多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律。

1 多孔介質(zhì)有效應(yīng)力的分形計(jì)算模型

根據(jù)分形幾何理論，在DT維的歐式空間中存在一個(gè)多孔介質(zhì)，則多孔介質(zhì)中孔隙直徑r和累積數(shù)目N（r＜L）存在冪律關(guān)系［11］

式中：C1為常數(shù)；L為物體大小；Df為分形維數(shù)。

若孔隙直徑的最大和最小值分別為rmax和rmin，可得到多孔介質(zhì)中孔隙度φ［12］

在多孔介質(zhì)中任取一單元截面（圖1）。其截面邊長(zhǎng)為l，在該截面上對(duì)多孔介質(zhì)施加一總應(yīng)力σOV，若固體顆粒上的基巖應(yīng)力為σ，則根據(jù)受力平衡有

圖1 多孔介質(zhì)中各應(yīng)力之間的關(guān)系圖Fig.1 The relation figure of all stresses in porous media

式中：A為孔隙和固體顆粒的總截面積，A＝l2；A1為巖石顆粒接觸面積；A2為截面上孔隙的面積；且A＝A1＋A2；pp為孔隙壓力。

對(duì)于所選單元截面的孔隙度為

將式（4）帶入式（3）可得

將式（2）帶入式（5）得

上式為多孔介質(zhì)有效應(yīng)力的分形計(jì)算模型。由模型中參數(shù)可知，應(yīng)力環(huán)境會(huì)改變多孔介質(zhì)的孔隙大小及孔隙結(jié)構(gòu)分布的分形維數(shù)。

2 有效應(yīng)力下孔隙大小分布的分形模型

在三軸應(yīng)力σ1、σ2和σ3作用下的多孔介質(zhì)發(fā)生變形，其體積應(yīng)變?yōu)?/p>

式中：σm＝ （σ1＋σ2＋σ3）／3；K 為體積模量。

三軸應(yīng)力條件下多孔介質(zhì)變形后孔隙大小為

式中：C2為系數(shù)。

對(duì)平面應(yīng)力條件，εz＝0，σz＝0，σx＝σy，其應(yīng)變?yōu)?/p>

由廣義胡克定律和式（5）可知

平面應(yīng)力條件下多孔介質(zhì)變形后孔隙大小為

式中：C3為系數(shù)。

變形后的多孔介質(zhì)孔隙微觀結(jié)構(gòu)分布依然是分形。以平面應(yīng)力條件為例，由此式（1）形式變?yōu)?/p>

式中：C4為系數(shù)；Df為變形后孔隙微觀結(jié)構(gòu)分布的分形維數(shù)。

根據(jù)式（10），單位體積多孔介質(zhì)中存在的孔洞總數(shù)為

考慮多孔介質(zhì)孔隙大小是連續(xù)分布的，將式（10）對(duì)x求導(dǎo)，可得到孔隙大小分布的密度函數(shù)f（x）的表達(dá)式

由此可得多孔介質(zhì)中孔隙的平均半徑

多孔介質(zhì)的總孔隙體積為

3 分析與討論

在有效應(yīng)力作用下，多孔介質(zhì)的孔隙大小及其分布分形維數(shù)會(huì)發(fā)生變化。如式（7）和式（9）分別給出了三軸應(yīng)力條件下和平面應(yīng)力條件下多孔介質(zhì)孔隙大小變形的關(guān)系式。式（8）中多孔介質(zhì)的變形量中存在孔隙度結(jié)構(gòu)參數(shù)，這說(shuō)明多孔介質(zhì)在有效應(yīng)力作用下的變形是耦合過(guò)程。

由式（6）可得

由式（15）可知，隨著有效應(yīng)力的增大，孔隙的最大尺寸和最小尺寸變小，大小分布的分形維數(shù)將發(fā)生變化。

圖2 孔隙度和分形維數(shù)之間的關(guān)系Fig.2 The relationship between porosity and fractal dimension

根據(jù)式（2）可以繪制不同孔隙大小比值下孔隙度和分形維數(shù)之間的關(guān)系。圖2表明，在一定的分形維數(shù)下，rmin／rmax比值越小，孔隙度越大；不同rmin／rmax比值孔隙度隨著分形維數(shù)呈指數(shù)遞減。當(dāng)Df→3，多孔介質(zhì)被固體充滿，孔隙完全閉合。Fripiat［13］在分析多孔介質(zhì)孔隙率與等溫吸附分形時(shí)，得到了當(dāng)Df＝3時(shí)孔隙度為零的結(jié)論。由式（15）繪制圖3，可知作用在多孔介質(zhì)上的有效應(yīng)力增大，分形維數(shù)Df→3，由圖2知孔隙度呈φ→0。Pfreifer認(rèn)為不規(guī)則的無(wú)序的多孔介質(zhì)在Df→3時(shí)，其孔隙度不等于零［14］。作者認(rèn)為，式（6）雖可直接用于分析有效應(yīng)力對(duì)多孔介質(zhì)孔隙分形維數(shù)的影響分析，但Df→3，只是σ→∞時(shí)才會(huì)出現(xiàn)。劉俊亮等的研究［15］表明，多孔介質(zhì)孔隙率應(yīng)表現(xiàn)為Df的減函數(shù)而非增函數(shù)，對(duì)于rmin／rmax≠0的無(wú)序的多孔介質(zhì)，其孔隙度將微偏離嚴(yán)格固相分形體模型。

圖3 有效應(yīng)力和分形維數(shù)之間的關(guān)系Fig.3 The relationship between effective stress and fractal dimension

Louis給出有效應(yīng)力和孔隙之間的關(guān)系式［16］，即指數(shù)型數(shù)學(xué)模型

式中：φ0為初始孔隙度；C5為壓實(shí)系數(shù)。

隨著地層深度的增加，作用在多孔介質(zhì)上的有效應(yīng)力增大，其孔隙度呈指數(shù)遞減趨勢(shì)。式（15）分析結(jié)果與壓實(shí)規(guī)律相符。文獻(xiàn)［1，16］的試驗(yàn)表明，隨著有效應(yīng)力的增加，多孔介質(zhì)的孔隙度和滲透率呈不同程度的下降。

圖4 有效應(yīng)力對(duì)總孔隙數(shù)的影響Fig.4 The influence of effective stress on the total pore number

由式（11）可以繪制圖4。圖4表明隨著有效應(yīng)力的增大，孔隙數(shù)呈指數(shù)遞減趨勢(shì)，且N→0，rmin／rmax比值越大，孔隙大小分布區(qū)間越小，總孔隙數(shù)越少。

由式（13）繪制圖5。顯然，有效應(yīng)力增大，孔隙閉合，孔隙平均尺寸變小。當(dāng)rmin→0，整個(gè)多孔介質(zhì)被固體充滿，而孔隙度φ→0。

圖5 有效應(yīng)力對(duì)平均孔隙大小的影響Fig.5 The influence of effective stress on the average pore size

4 結(jié)論

a.建立了多孔介質(zhì)有效應(yīng)力的分形計(jì)算模型，由該模型可分析有效應(yīng)力對(duì)多孔介質(zhì)孔隙大小及孔隙結(jié)構(gòu)分布分形維數(shù)的影響。

b.根據(jù)有效應(yīng)力的分形計(jì)算模型可知，隨著有效應(yīng)力的增大，多孔介質(zhì)的分形維數(shù)呈指數(shù)增加，孔隙度呈指數(shù)遞減，且分形維數(shù)Df→3，孔隙度呈φ→0。

c.隨著有效應(yīng)力的增大，多孔介質(zhì)中孔隙數(shù)呈指數(shù)遞減趨勢(shì)，且N→0，rmin／rmax比值越大，孔隙大小分布區(qū)間越小，總孔隙數(shù)越少。

d.隨有效應(yīng)力增大，孔隙平均直徑呈減小趨勢(shì)。當(dāng)rmin→0，整個(gè)多孔介質(zhì)被固體充滿，而孔隙度φ→0。

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