復雜地質(zhì)層中電磁波測井響應特性的數(shù)值研究

劉國勝，楊海東，湯健超

(1.廣東工業(yè)大學 信息管理工程系，廣東 廣州，510520；2.廣東工業(yè)大學 機電工程學院，廣東 廣州，510006；3.華南師范大學 計算機學院，廣東 廣州，510631)

隨著全球能源供需關系日趨緊張，世界各國對潛在石油、天然氣資源的爭奪越來越激烈，這同時促使了鉆井設備與技術不斷發(fā)展更新[1-2]。目前普遍采用的鉆進技術——地質(zhì)導向鉆進技術，它可根據(jù)地下情況隨時調(diào)整探測方向，目前這項技術已得到普遍應用，它大大降低開發(fā)成本，提高勘探成功率[3]。在鉆井工作環(huán)境中，電磁波測井工具主要提供周圍地質(zhì)層介質(zhì)電導率(電阻)的信息，進而判斷地質(zhì)構成。目前對電磁波測井工具的性能分析主要來源于大量工程試驗，如何對電磁波測井工具進行有效建模成為科學研究的一個熱點問題[4-10]。鉆井工具中的電磁波探測部分由一系列極子天線和環(huán)形天線組成，各天線在鉆軸上的位置分布和朝向存在差異。典型隨鉆電磁波測井工具的數(shù)學模型由1個(環(huán)形)發(fā)射天線和2個(環(huán)形)接收天線組成，其通用尺寸見圖1(一般LWD工具的尺寸采用in為單位，1 in=25.4 mm)。圖1中的發(fā)射天線附加正弦電壓，被激勵的電磁波與周圍地質(zhì)層作用后在接收天線上形成響應電壓，通過比較2個接收天線中電壓振幅和相位差異來判斷周圍地質(zhì)的電導率[11]。目前對 LWD工具的分析方法包括解析法、偽解析法和純數(shù)值方法。解析法將圖1中的環(huán)形天線近似為磁極子天線，進而用勢函數(shù)積分對問題進行求解[9,12-13]，這種方法簡單易用，便于定量分析，但其忽略了天線尺寸和鉆軸的影響，可能導致結果不準確；偽解析法作為一種半解析半數(shù)值的方法，是分析 LWD工具非常有效的方法之一[5,7-8]，但其無法處理復雜地質(zhì)介質(zhì)和地質(zhì)結構，適用范圍受到限制；典型的數(shù)值方法包括時域有限差分法[4,10]、有限元法和有限體積法[6]等，這些方法可用于復雜鉆井環(huán)境的仿真，如偏心幾何結構和各向異性地質(zhì)層，但其計算量較大，不利于工程中處理大尺寸問題和反復多次模擬。Lovell等[7-8,14-15]對隨鉆電磁波測井模型中的偽解析法進行大量研究，對鉆井電磁波測井中的仿真模型做出了較大貢獻。在實際環(huán)境中，由于地質(zhì)層受到長期重力作用，地質(zhì)層介質(zhì)通常在垂直和水平方向表現(xiàn)出不同的電磁特性，其垂直和水平方向的電導率存在差異，形成單軸各向異性介質(zhì)[10]。偽解析法具有精度高、速度快的優(yōu)點，將偽解析法推廣到單軸各向異性介質(zhì)的情況無疑具有重要意義。在此，本文作者討論單軸各向異性介質(zhì)中的偽解析法，給出在此環(huán)境中處理偏心多層結構的計算公式，并分析在鉆軸傾斜挖掘時，如何對鉆探方向進行最優(yōu)選擇，模擬在復雜地質(zhì)環(huán)境中LWD工具的數(shù)值特性，并分析天線垂直距離、鉆軸偏心等因素對LWD工具測量結果的影響。

圖1 LWD結構模型(單位：mm)Fig.1 Configuration of LWD

1 單軸各向異性介質(zhì)中的偽解析法

在單軸各向異性介質(zhì)中，Maxwell方程可寫為如下向量形式[11]：

式中：E為電場強度；H為磁場強度；μ為磁導率；ε為復介電張量。在地質(zhì)層中，巖層受到重力擠壓，通常在垂直和水平方向上表現(xiàn)出不同的電磁特性，因此，討論ε其中σs和σz分別表示地質(zhì)層介質(zhì)在軸向和水平截面的電導率分量)。為簡單起見，記從E和H中分離出 eikzz，也就是在式(1)中令 ? ?z= ikz，并且將方程中算子和場量進行分解，方程(1)可分解為：

將式(4)和(5)代入式(2)和(3)可求得Es和Hs的表達式，將結果代回式(2)和(5)得到z分量滿足的方程如下：

方程(6)的解可寫成如下一般形式：

Gν=Jν或分別是第一類 Bessel函數(shù)和第一類Hankel函數(shù)。將式(7)代入到式(2)和(3)可求得φ分量的解。

由于在LWD工具中(如圖1所示)，環(huán)形天線在水平截面上的投影為圓形，因此，天線周圍電磁場的徑向分量Eρ和Hρ對天線中的電壓無貢獻。在地質(zhì)層邊界處，電磁場的切向分量(φ和z分量)是連續(xù)的。圖2所示為邊界處的反射和透射。圖2中邊界Ri上的透射和反射矩陣分別定義為和，其可通過邊界處的連續(xù)性條件推導得到[5,11,14]。

圖2 邊界處的反射和透射Fig.2 Reflection and transmission on boundary

2 復雜地質(zhì)結構的處理

當受機械牽引或重力作用時，鉆軸可能會偏離井孔中心。圖3所示為兩層偏心結構示意圖?？紤]到圖3中2個偏心圓(層)所構成的幾何結構，其中每層由軸各項異性介質(zhì)填充。內(nèi)、外圓的圓心分別對應圓柱坐標系(ρ′，φ′)和坐標系(ρ，φ)的原點。坐標系(ρ，φ)可以看成是由坐標系(ρ′，φ′)平移(d，φE)得到。考察兩圓弧之間任意一點處的場強，其譜分量Ez和Hz可根據(jù)式(7)在坐標系(ρ′，φ′)和(ρ，φ)中分別展開[11,14]。

現(xiàn)在引入1個虛擬邊界(見圖3中的虛線圓)，此圓與內(nèi)圓具有相同的圓心。值得注意的是，此處選擇的虛擬圓邊界與文獻[5，14]中不同，此處虛擬圓邊界的引入將會極大簡化處理多層偏心結構，會為多層偏心結構推導出1個一致性的迭代解。當由內(nèi)層入射的外行波被虛擬邊界“反射”后，不同模ν′的波會相互影響，其結果等效于被外層邊界反射的結果，因此，虛擬邊界處的等效反射關系可表示為：

圖3 兩層偏心結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of two-layer eccentric structure

在坐標系(ρ，φ)中，外層邊界的反射關系可用各個整數(shù)模ν獨立表示，如

將式(8)和(9)代入到式(7)中，可解出：

因此，在引入虛擬邊界后，1個兩層偏心結構被簡化成同心圓的結構，這將為計算帶來方便。多層偏心單軸各向異性幾何結構的反射矩陣可通過兩層結構由1個迭代過程得到。

在得到最內(nèi)層邊界的反射矩陣之后，鉆井測井模型可等價簡化成包含鉆軸、天線、井孔和虛擬邊界在內(nèi)的簡單幾何結構。經(jīng)過變換[5,11]，可得到井孔中電磁場系數(shù)的方程：

式中：為鉆軸的反射矩陣。可以看到：直接對方程(11)求解需要處理矩陣的逆問題，而此矩陣在波數(shù)kz、偏移距離d或各向異性比率η較大時條件數(shù)會指數(shù)增加，變成病態(tài)矩陣，求解其逆矩陣將引入較大誤差。因此有必要給出一種迭代格式求解方程。通過將式(11)中左邊第 2項移到右邊，可以得到一種迭代格式：

式中：l=0，1，2，…，表示迭代次數(shù)。這種迭代格式具有直接的物理含義：迭代次數(shù)l代表波在井孔內(nèi)被反射的次數(shù)。由于波在井孔中傳播有損耗，因此，迭代可以在有限次數(shù)內(nèi)停止。同時，亦可根據(jù)精度要求設置一種自適應停止算法。

3 數(shù)值實驗

3.1 有向測井實例

圖4 LWD測井工具靠近巖石層的情況及其幾何模型Fig.4 Situation and geometry when LWD detection tool close to rock layer

當鉆軸旋轉時，傾斜測井工具可提供周圍地質(zhì)層的在圓柱坐標中的位角方向信息。在傾斜環(huán)狀天線旋轉1周覆蓋360°，測井工具可提供角向數(shù)據(jù)以幫助實時決定下一步鉆探方向。當周圍地質(zhì)層中電阻率存在明顯差異時，可被測井工具探測到。這里采用一個與文獻[3]中相似的例子。假設有1個導電巖層位于測井工具135°角方向，如圖4所示。巖層的邊界近似為直線，下面用1個半徑足夠大的圓來模擬此巖層邊界。當鉆井工具工作時，鉆軸將做360°旋轉，測量結果將隨φ呈周期性變化?？紤]由1個發(fā)射天線和2個接收天線組成的LWD工具，其中2個接收天線位于距發(fā)射天線上方609.6 mm和762.0 mm處。在圖4中，導電巖層與井孔邊緣的距離為685.8 mm，也就是d0=685.8 mm。用一系列偏心圓Red來近似巖層邊界(其中d表示圓的偏心距離)。井孔和地質(zhì)層的電導率分別為 5×10-4S/m和0.5 S/m，巖石層為單軸各向異性介質(zhì)，其電導率水平分量σh=10 S/m，垂直分量σv=2.5 S/m。鉆軸、環(huán)形天線和井孔半徑分別為101.6，114.3和127.0 mm。在此例中，假設鉆軸與井孔同心。發(fā)射天線、下部接收天線和上部接收天線的傾角分別為θt=-45°，θr1=0°和θr2=45°，測井工具的操作頻率為2 MHz。圖5所示為測井工具中電壓相位角(PD)的響應結果，其中旋轉角度φ和近似圓的偏移距離d為變量，用于模擬巖石層邊界的圓半徑與其偏移距離呈線性關系。由圖5可以看到：當d(或圓半徑)增大時，結果收斂；φ在135°和315°時達到局部極值點，此時天線正對或背對導電巖層，實際操作中可根據(jù)此信息調(diào)整鉆探方向。在前面給出了偽解析法的歸一化形式，這為用半徑較大的圓邊界來模擬巖石層奠定了基礎。

圖5 LWD工具對不同半徑圓模擬巖石層邊界的仿真響應情況Fig.5 LWD response through rock boundary for different radius rounds

3.2 可探測的深度

鉆軸旋轉的過程中，LWD工具可探測井孔周圍地質(zhì)層的電磁信息，但隨著電磁波在地質(zhì)層中衰減，當目標儲層距離過遠時，工具將無法有效探測到目標物，此例用數(shù)值方法分析 LWD工具的可探測深度。仍然采用圖4中的模型，假設巖層電導率水平分量為σh=10 S/m，垂直分量為σv=4 S/m，地質(zhì)層電導率為σ=0.5 S/m。對下面 2種情況，用接收天線在巖石層方向及其相反方向的相位差ΔPD來衡量工具靈敏度。模擬中取半徑足夠大的圓來近似巖層邊界。

(1) 首先考察常規(guī) LWD工具可探測的巖石層深度。在常規(guī) LWD工具中，兩接收天線離發(fā)射天線的垂直距離分別為zr1=609.6 mm和zr2=762.0 mm，考察鉆軸與巖層的距離發(fā)生改變時的情況，假設圖4中井孔與巖石層邊界d0∈[127，1 143]mm變化，則d0變化過程中ΔPD的響應情況如圖6所示。由圖6可以看出：當測井工具遠離目標儲物層時，工具響應呈指數(shù)衰減。

圖6 LWD工具對不同深度巖石層的響應情況Fig.6 Response of LWD tools at lithosphere of different depths

(2) 假設圖 4中井孔與巖層的距離保持不變(d0=685.8 mm)，考察天線間距發(fā)生變化時的測井工具的響應情況。固定兩接收天線間距zr2-zr1=152.4 mm，用接收天線的中心位置z=(zr2 +zr1 )與發(fā)射天線zt的距離來刻畫所使用測井工具的尺寸。圖 7所示為|zr-zt|在228.6～939.8 mm時ΔPD的變化情況。由圖7可以看出：測井工具響應隨發(fā)射天線和接收天線距離增大而呈線性增加。一般來說，LWD工具的探測深度約為2|zr-zt|。

3.3 對導電巖層的靈敏性

當目標儲物層與周圍地質(zhì)層電磁屬性存在較大差異時，儲物層才可能被測井工具發(fā)現(xiàn)。為了簡便，假設圖4中的巖石層為各向同性介質(zhì)，地質(zhì)層電導率為0.5 S/m，巖層電導率在0.5～10 S/m 之間變化。在此例中鉆軸中心與井孔中心重疊，無偏心情況，在測井工具隨鉆軸轉動1周內(nèi)，用偽解析法計算接收天線在各個方位角的相位差，結果如圖8所示。由圖8可以看到：當巖層電導率逐漸增大時，相位角響應差異明顯，特別是在巖石層所在方位角φ=135°和相反方向φ=315°。

圖7 LWD工具靈敏度隨天線距離的變化情況Fig.7 Changes of sensitivity of LWD tools with antenna distance

圖8 LWD工具對巖石層不同電導率的響應情況Fig.8 Response of LWD tools toward different conductivities of rock

3.4 鉆軸偏移產(chǎn)生的影響

在工程實際中，由于機械牽引或重力等因素的作用，鉆軸往往會發(fā)生偏移，其中心位置偏離所在井孔的中心。前面給出了一種有效處理這種偏心(以及多層偏心)結構的方法，這里考察鉆軸偏移對探測結果的影響。假設巖層電導率水平分量σh=10 S/m，垂直分量σv=4 S/m，地質(zhì)層為同性介質(zhì)電導率σ=0.5 S/m。仍然假設井孔與巖層邊界的距離d0=685.8 mm，用半徑足夠大的圓模擬巖層邊界。實驗中選取的圓半徑為1 701.8 mm。鉆軸偏移的位移分別選取de=25.4，50.8，…，127.0 mm，偏移方位角φe=15°，30°，45°，…，360°。圖9所示為接收電壓在巖層所在方向及其相反方向處ΔPD的變化情況。圖9中觀測點與坐標原點所成的角代表鉆軸偏移的方位角φe，5條閉合曲線分別代表偏移位移de=25.4，50.8，…，127.0 mm 5種情況，與原點的距離表示相應的ΔPD的計算值。由圖9可以看出：當鉆軸發(fā)生偏移時，接收信號在方位角方向的分布會隨之移動，并在鉆軸偏移的方向(及其相反方向)形成峰值。此實驗結論可用于對鉆軸進行精確定位和校正。

圖9 鉆軸偏移對LWD工具測量結果的影響Fig.9 Impact of drilling shaft migration in measurement results of LWD tools

4 結論

(1) 推導了偽解析法在單軸各向異性介質(zhì)中的計算公式，并提出處理復雜介質(zhì)和大尺寸仿真問題的有效辦法。歸一化Bessel函數(shù)不僅能大大增加可計算目標的尺寸，還能提高算法的數(shù)值精度，同時為加強算法的穩(wěn)定性提出了迭代求解策略。

(2) 本文所給出的算法計算速度快、精度高，并能有效仿真 LWD工具在測井工程中的各項性能，是一種高效、實用的方法。LWD工具的測井結果與目標儲物層的距離呈指數(shù)關系，與天線間垂直距離呈線性關系。

致謝

感謝美國俄亥俄州立大學F.L.Teixeira教授對本文的前期指導工作，感謝 Halliburtion能源服務公司B.Donderici博士提供部分對比數(shù)據(jù)，同時感謝俄亥俄超級計算中心為本文提供實驗平臺。

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