電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極－I

王 青

（清華大學(xué)物理系，北京 100084）

1 關(guān)于磁單極子

磁單極子是指一些僅帶有南極或北極單一磁極的磁性物質(zhì).在電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)中它是作為類比于電相互作用源的電荷對應(yīng)針對磁相互作用的源而出現(xiàn)在物理中的.早在1931年英國物理學(xué)家狄拉克就利用數(shù)學(xué)公式預(yù)言了磁單極子的存在.當(dāng)時(shí)他認(rèn)為，既然帶有基本電荷的電子在宇宙中存在，那么理應(yīng)有帶有基本磁荷的粒子存在.遺憾的是在現(xiàn)實(shí)世界中至今為止尚未發(fā)現(xiàn)磁單極子，而只看到正反磁荷靠的很近形成的磁耦極子.在著名的麥克斯韋方程組中，這體現(xiàn)為真空中的麥克斯韋方程組的右端沒有出現(xiàn)相應(yīng)的源磁荷密度項(xiàng)和磁流密度項(xiàng).即使這樣，在物質(zhì)材料的磁性質(zhì)描述中，人們還是經(jīng)常喜歡采用等效磁荷的方法進(jìn)行討論和計(jì)算.理論物理學(xué)家和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家們還在大膽地想象和探索各種可能的磁單極及其相應(yīng)的物理和應(yīng)用.特別是實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家們?nèi)栽谧巫尾痪氤掷m(xù)、積極、認(rèn)真地尋找磁單極.雖然基本的磁單極粒子一直未能被發(fā)現(xiàn)，但層展意義的磁單極的研究進(jìn)展確不斷有所報(bào)道.例如2010年10月17日自然物理子刊（DOI：10.1038／NPHYS1794）報(bào)道科學(xué)家在人工戈薇的自旋冰中觀察到實(shí)空間層展的磁單極及相關(guān)的狄拉克弦（將在下一篇文章介紹和討論狄拉克弦）.2013年6月6日，美國每日科學(xué)網(wǎng)站報(bào)道，德國科學(xué)家通過將磁鐵表面細(xì)小的磁尖混合在一起制造出了一個(gè)人造磁單極，研究結(jié)果發(fā)表在《科學(xué)》雜志上.除了實(shí)驗(yàn)上的不斷探尋，這些年來理論上的討論更是給磁單極子予以濃重的理論物理色彩.在電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)課上若希望對磁單極子的討論予以介紹，通常無法回避其復(fù)雜的理論物理基礎(chǔ)與背景，導(dǎo)致學(xué)生聽不懂或理解不了.本文及后繼三篇文章嘗試克服這個(gè)困難，不用過多的理論物理知識，僅在電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)框架內(nèi)分別介紹磁單極的若干奇特性質(zhì)，或者說在麥克斯韋方程的框架內(nèi)有效地實(shí)現(xiàn)理論物理對磁單極的各種暢想.由于盡量避免了艱深繁雜的非電磁學(xué)理論物理細(xì)節(jié)，這樣給出的磁單極性質(zhì)描寫相比原來的理論物理描述往往圖像更加清晰，并容易為學(xué)習(xí)電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)尚未有足夠理論物理基礎(chǔ)和背景的普通大學(xué)生所理解，而筆者也借助電磁場來體驗(yàn)和展示了理論物理學(xué)家的那些荒誕和古靈精怪的奇思妙想.由于在電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)課程中絕大多數(shù)討論的內(nèi)容是已經(jīng)發(fā)現(xiàn)很久的各種物理現(xiàn)象，把磁單極這樣一種在經(jīng)典電磁現(xiàn)象中唯一尚未被發(fā)現(xiàn)的物質(zhì)新的基本組分的介紹引進(jìn)電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)課，對提升課程的先進(jìn)性和趣味也許會(huì)有幫助.遺憾的是，關(guān)于磁單極的理論討論通常是十分散亂和零碎的.有鑒于此，筆者分四篇文章分別選四個(gè)相互獨(dú)立的涉及磁單極的例子，依據(jù)電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)針對磁單極的特定性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)的介紹和演繹，展示有別于通常理論物理討論的磁單極子的另類推導(dǎo).這四篇文章可以看作在前期《物理與工程》雜志上業(yè)已發(fā)表的《電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的超導(dǎo)》文章（2013.23（5））的后繼文章，它們的主要內(nèi)容曾由筆者于2013年7月在云南昆明由國家自然科學(xué)基金委員會(huì)資助、教育部高等學(xué)校物理學(xué)類專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)主辦，云南大學(xué)物理科學(xué)技術(shù)學(xué)院承辦的“2013年全國高等學(xué)校電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)課程骨干教師培訓(xùn)班”上進(jìn)行過講解和介紹.

2 磁單極與點(diǎn)電荷體系的電磁場角動(dòng)量

本文討論涉及磁單極的電磁場的角動(dòng)量.由于電磁場的角動(dòng)量要求同時(shí)存在磁場和電場時(shí)才可能具有，因此考慮一個(gè)最基本的滿足這樣要求的體系，它由一個(gè)磁荷為g的磁單極和一個(gè)電荷為e的點(diǎn)電荷構(gòu)成.把磁單極放在坐標(biāo)原點(diǎn).這個(gè)體系的安排如圖1所示，其中磁單極到場點(diǎn)P的矢量為r，點(diǎn)電荷到場點(diǎn)P的矢量為r′，磁單極到點(diǎn)電荷的矢量為R＝r－r′.為方便討論，進(jìn)一步引入r方向的單位矢量和r′方向的單位矢量.磁單極在場點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度H 通過適當(dāng)?shù)膯挝恢七x擇可以寫為：；點(diǎn)電荷e在場點(diǎn)P產(chǎn)生的電場強(qiáng)度E可以寫為：E＝下面先計(jì)算這樣一個(gè)體系的電磁場的總角動(dòng)量，它可按照標(biāo)準(zhǔn)的電動(dòng)力學(xué)公式寫為

圖 1

其中，先把磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝μ0H的表達(dá)式代入上式并將r改用單位矢量n表達(dá)，進(jìn)一步把叉乘運(yùn)算改用點(diǎn)乘運(yùn)算表達(dá).上面結(jié)果可以進(jìn)一步被化簡為

式中，第二個(gè)等號內(nèi)的第一個(gè)微商對其后面E的作用所導(dǎo)致的項(xiàng)與第二項(xiàng)正好抵消，剩下第一個(gè)微商對其后面n的作用所導(dǎo)致的項(xiàng)正是第一個(gè)等號后面所給出的項(xiàng).在第三個(gè)等號后，利用數(shù)學(xué)上全散度體積分與面積分的互換公式把第二個(gè)等式的第一項(xiàng)換為在無窮大空間邊界上的面積分，也就是第三個(gè)等式的第一項(xiàng).在這個(gè)無窮大的面上，由于距磁單極和點(diǎn)電荷已經(jīng)是無窮遠(yuǎn)的距離，n′、r′和n、r之間的差別已經(jīng)可以忽略，因此電場表達(dá)式中的n′和r′完全可以用n 和r來替代，即dΩ，其中，dΩ 是無窮遠(yuǎn)表面上的無窮小面元對坐標(biāo)原點(diǎn)張開的無窮小立體角角元.把這個(gè)結(jié)果用于計(jì)算上面公式第三個(gè)等式中的第一項(xiàng)＝0，其中，最后的零是因?yàn)樵?π立體角積分的過程中單位矢量n和它的反向矢量－n總會(huì)相互嚴(yán)格抵消掉.對上面公式第三個(gè)等式中的第二項(xiàng)中的Δ·E項(xiàng)可以利用麥克斯韋方程組將其化為：

其中，eδ（r′）是點(diǎn)電荷e的電荷密度.利用δ函數(shù)可以完成上面公式第三個(gè)等式中的第二項(xiàng)中的體積積分，得到結(jié)果：

結(jié)合前面討論上述公式第三個(gè)等式中的第一項(xiàng)的零結(jié)果，最后得到這個(gè)由磁單極和點(diǎn)電荷組成的體系的電磁場的總角動(dòng)量為這是一個(gè)極其簡單的結(jié)果：電磁場總角動(dòng)量的方向沿點(diǎn)電荷和磁單極的連線方向，大小只依賴于磁單極的磁荷量和點(diǎn)電荷的電量的乘積.雖然這樣一個(gè)體系的電磁場分布在全空間，因而場的角動(dòng)量也彌散分布在全空間各處，但所有電磁場的角動(dòng)量之和確只依賴磁荷和電荷的大小及兩者的連線方向.

以上結(jié)果的一個(gè)更加深刻的引申討論是：如果考慮到在微觀尺度角動(dòng)量是量子化的（這點(diǎn)是本文唯一超出經(jīng)典電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)的地方），即角動(dòng)量的大小不能取連續(xù)值，而只能取某個(gè)基本單位的整數(shù)倍.那么利用剛得到的角動(dòng)量的大小和磁荷與電荷的簡單關(guān)系，磁荷與電荷的乘積也不能取連續(xù)值，而只能是某個(gè)基本值的整數(shù)倍.對給定的磁荷，它要求電荷必須是量子化的（即電荷必須取分立值，且是基本單位的整數(shù)倍）；反之對給定的電荷，磁荷也必須是量子化的.由于基本的磁單極尚未被發(fā)現(xiàn)，因此這個(gè)量子化關(guān)系尚未能夠?qū)嶋H實(shí)現(xiàn)，但一旦人類真正找到了（哪怕只有一個(gè)）磁單極，上面討論的量子化條件針對電荷就變成是現(xiàn)實(shí)的了.在物理學(xué)里，量子化是非常奇妙而又令人匪夷所思的現(xiàn)象，直到今天大部分的量子化問題，我們知道該怎么做，但無法理解為什么要這么做.現(xiàn)在通過這個(gè)由磁單極和點(diǎn)電荷組成的體系的電磁場角動(dòng)量與磁荷和電荷的簡潔關(guān)系，把兩種看起來完全互沒關(guān)系且很難理解的量子化現(xiàn)象關(guān)聯(lián)起來了：只要存在磁單極，角動(dòng)量量子化意味著電荷量子化，反過來承認(rèn)電荷量子化則意味著場的角動(dòng)量必須量子化（當(dāng)然我們會(huì)問這只導(dǎo)致場角動(dòng)量的量子化，那么對通常力學(xué)里說的機(jī)械角動(dòng)量也許還是沒有影響.下面將要通過角動(dòng)量的轉(zhuǎn)化與守恒說明場角動(dòng)量的變化可以導(dǎo)致機(jī)械角動(dòng)量的相應(yīng)變化，由此，場角動(dòng)量的量子化也就傳遞到了機(jī)械角動(dòng)量的量子化上）.經(jīng)典電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)通過這樣一個(gè)簡單的體系展示出其遠(yuǎn)超越本身的更深層次的物理關(guān)系.

3 磁單極與點(diǎn)電荷體系角動(dòng)量的轉(zhuǎn)化與守恒

由于角動(dòng)量在力學(xué)中經(jīng)常被作為守恒量來進(jìn)行討論和應(yīng)用，因此自然地會(huì)去問對目前這個(gè)體系角動(dòng)量是否也是守恒的.本文的以下部分就詳細(xì)地討論這個(gè)問題.實(shí)際上，從麥克斯韋方程出發(fā)可以分別推導(dǎo)出能量、動(dòng)量和角動(dòng)量的轉(zhuǎn)化和守恒定律.只不過在通常的電動(dòng)力學(xué)課程教學(xué)過程中，大多只講能量轉(zhuǎn)化和守恒定律，至多再講一下動(dòng)量的轉(zhuǎn)化和守恒定律，為了節(jié)省課時(shí)一般都不會(huì)再去涉及角動(dòng)量的轉(zhuǎn)化和守恒定律.但是考慮到角動(dòng)量在量子物理中所起的重要作用，如果有可能對角動(dòng)量的轉(zhuǎn)化和守恒定律是應(yīng)該設(shè)法予以討論的.著名物理學(xué)家費(fèi)曼就在他的《費(fèi)曼物理學(xué)》的第二冊通過一個(gè)佯謬?yán)觼碚f明電磁場的角動(dòng)量是如何與機(jī)械角動(dòng)量實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化的.對具有角動(dòng)量的磁單極與點(diǎn)電荷體系，可以通過明顯的計(jì)算來討論其可能的角動(dòng)量的轉(zhuǎn)化與守恒.

圖 2

注意到前面在計(jì)算磁單極與點(diǎn)電荷體系中電磁場的角動(dòng)量時(shí)，并未限制電荷與磁單極之間的距離一定是固定不變的，那時(shí)的計(jì)算只關(guān)心在某個(gè)時(shí)刻點(diǎn)電荷相對磁單極的瞬時(shí)位置.由此，可以應(yīng)用那里的結(jié)果到點(diǎn)電荷相對磁單極有相對運(yùn)動(dòng)的情形.取磁單極為靜止的參考系并把磁單極放在坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)電荷相對磁單極的運(yùn)動(dòng)速度為，如圖2所示.在通常的電磁學(xué)或電動(dòng)力學(xué)教材中，有時(shí)會(huì)看到類似系統(tǒng)被作為例題來進(jìn)行討論.的洛倫茲力：.當(dāng)點(diǎn)電荷從距磁單極位移R運(yùn)動(dòng)到位移R＋dR處時(shí)，設(shè)點(diǎn)電荷的機(jī)械角動(dòng)量的變化為dL機(jī)械，則按照角動(dòng)量的定義：dL機(jī)械＝d（R×p）＝（dR）×p＋R×dp＝R×Fdt，其中對第二個(gè)等號的第一項(xiàng)利用p＝，發(fā)現(xiàn)它實(shí)際沒有貢獻(xiàn)，即（dR）×p＝這樣的例題一般是計(jì)算一個(gè)磁單極從無窮遠(yuǎn)射向一個(gè)帶電的點(diǎn)電荷（例如原子核），經(jīng)過與該點(diǎn)電荷進(jìn)行彈性散射后飛向無窮遠(yuǎn)，然后證明在瞄準(zhǔn)距離（圖2中的參數(shù)b）很大時(shí)整個(gè)過程前后的角動(dòng)量守恒.在這個(gè)例題中討論的是整體的體系角動(dòng)量守恒，而目前的例子針對的是局域的角動(dòng)量的轉(zhuǎn)化和守恒.或換句話說，我們關(guān)心具體到某個(gè)時(shí)刻和相鄰的下個(gè)時(shí)刻時(shí)體系的角動(dòng)量的相互關(guān)系，并且對點(diǎn)電荷和磁單極之間的關(guān)系不做任何限制.從局域的角動(dòng)量轉(zhuǎn)化和守恒很容易導(dǎo)出整體的角動(dòng)量守恒，而反過來則一般無法導(dǎo)出.因此本文選擇的討論比通常教科書中的討論要更加詳細(xì)和一般.

對這個(gè)相互之間有運(yùn)動(dòng)的體系的電磁場總角動(dòng)量，利用本文前面的計(jì)算，已經(jīng)知道了其電磁場的角動(dòng)量L場，但這個(gè)體系不僅具有電磁場的角動(dòng)量，如果點(diǎn)電荷具有質(zhì)量m，則它由于運(yùn)動(dòng)還會(huì)帶有機(jī)械角動(dòng)量L機(jī)械.磁單極在目前所選擇的參考系下，由于靜止在坐標(biāo)原點(diǎn)，不具有機(jī)械角動(dòng)量.為了討論角動(dòng)量的轉(zhuǎn)化和守恒，必須要知道體系的機(jī)械角動(dòng)量L機(jī)械.為此先計(jì)算一下點(diǎn)電荷受到dR×m＝0，因此dL的計(jì)算中只剩下第二個(gè)機(jī)械等式中的第二項(xiàng).再利用牛頓第二定律F＝把動(dòng)量的無窮小變化改用力替代，就得到了第三個(gè)等式的結(jié)果.進(jìn)一步代入前面計(jì)算的洛倫茲力的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)：

一個(gè)磁單極和一個(gè)點(diǎn)電荷體系的角動(dòng)量及其守恒問題很容易被推廣到一個(gè)磁單極和一團(tuán)電荷分布的體系.這時(shí)只要將整個(gè)的電荷分布化為一個(gè)個(gè)近似可用點(diǎn)電荷代替的小塊電荷區(qū)域，分別計(jì)算其與磁單極之間的角動(dòng)量，再利用疊加原理把結(jié)果疊加起來即可.更復(fù)雜地，一團(tuán)磁荷體系（這時(shí)不一定再局限于是磁單極，可以是有效磁荷）和一團(tuán)電荷體系的角動(dòng)量及其守恒問題也可以本文的結(jié)果為基礎(chǔ)通過疊加原理計(jì)算出來.從這個(gè)角度上，本文給出的是一般的電磁體系的角動(dòng)量及其守恒問題最基礎(chǔ)的討論.

［1］ 王青.電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的超導(dǎo)［J］.物理與工程，2013，23（5）：1－4，9.