纖維混凝土力學(xué)性能分析的隨機(jī)雙尺度模型

賀鵬飛，劉 書，柳 獻(xiàn)，袁 勇

（1.同濟(jì)大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)研究所，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海200092）

短纖維增強(qiáng)混凝土是一種以混凝土為基體，以金屬纖維、無機(jī)非金屬纖維、合成纖維或天然有機(jī)纖維為增強(qiáng)相的復(fù)合材料.這些短而細(xì)且隨機(jī)均勻分布的纖維起著阻止基體中原有微裂縫的擴(kuò)展并延緩新裂縫產(chǎn)生從而改善基體的韌性與抗沖擊性的作用［1］.近年來短纖維增強(qiáng)混凝土憑借其強(qiáng)度高、模量大、比重小、耐腐蝕性好以及其他方面的優(yōu)越性能受到了越來越廣泛的關(guān)注［2］.

在實(shí)際應(yīng)用中，為了更好地開發(fā)、利用短纖維增強(qiáng)混凝土，首先要能夠較好地預(yù)測(cè)其彈性常數(shù)，這也是后續(xù)強(qiáng)度計(jì)算、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).而短纖維增強(qiáng)混凝土的力學(xué)性能不但與基體的性能有關(guān)，還與細(xì)觀特征及纖維增強(qiáng)相關(guān)，所以從細(xì)觀層面建立合適的模型來精確地預(yù)測(cè)其力學(xué)性能是十分必要的.

目前纖維增強(qiáng)復(fù)合材料力學(xué)性能的研究方法以細(xì)觀力學(xué)為主，常見的包括自洽法［3］、廣義自洽法［4－5］、Mori－Tanaka方法［6－7］、均勻化理論［8－10］等.20世紀(jì)70 年 代 Lions［11］，Kesavan［12－13］在 均 勻 化 理 論的基礎(chǔ)上提出了結(jié)合有限元的雙尺度漸近分析方法，并對(duì)復(fù)合材料進(jìn)行有效性能的預(yù)報(bào).在過去的10年中，雙尺度分析方法取得了很多成果.崔俊芝和曹禮群［14－16］給出了整周期復(fù)合材料彈性結(jié)構(gòu)的雙尺度漸近展開式并在數(shù)學(xué)上證明了雙尺度漸近解是收斂于真實(shí)解的.之后，Yu等［17］將雙尺度漸進(jìn)展開法應(yīng)用到纖維編織復(fù)合材料的力學(xué)性能預(yù)測(cè)上.Li等［18］利用這種方法提出了一種新的統(tǒng)計(jì)雙尺度模型，并計(jì)算分析了隨機(jī)分布顆粒復(fù)合材料的力學(xué)性能參數(shù).

隨著研究的深入，雙尺度方法在周期或擬周期復(fù)合材料力學(xué)性能計(jì)算方面的應(yīng)用越來越廣泛.但是，之前的這些雙尺度模型并不能有效地應(yīng)用到短纖維增強(qiáng)混凝土中，因?yàn)槠渲卸汤w維亂向隨機(jī)分布的材料特點(diǎn)不能被很好地刻畫.本文通過定義新的隨機(jī)單胞模型將雙尺度方法與短纖維增強(qiáng)混凝土材料結(jié)合.

1 隨機(jī)雙尺度模型

1.1 單胞的描述

已有的單胞模型主要是通過生成隨機(jī)分布的球形顆粒或者橢球顆粒來模擬隨機(jī)顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料或者是模擬連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料（單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料和編織復(fù)合材料）.這2種單胞模型均不能很好模擬短纖維增強(qiáng)混凝土，第1種單胞在增強(qiáng)相形狀方面不能很好模擬短纖維，第2種單胞不能模擬短纖維增強(qiáng)相隨機(jī)亂向分布的特性.

正如隨機(jī)顆粒增強(qiáng)材料一樣，短纖維作為增強(qiáng)相也是隨機(jī)分布的，不同的是本單胞模型的增強(qiáng)相形狀不再是圓形或橢球顆粒，而是隨機(jī)分布的圓柱體，如圖1，圖中Γu和Γt分別表示位移邊界和力邊界、參數(shù)ε表示單胞尺寸、x表示宏觀坐標(biāo)系、引入細(xì)觀局部坐標(biāo)y＝x／ε，所研究材料的物理量受2個(gè)參數(shù)的控制，x和y，其中x表示宏觀尺度的變化，而y主要用來反映局部細(xì)觀尺度的信息.

單胞尺寸ε相對(duì)于材料宏觀結(jié)構(gòu)的幾何尺度是非常小的量，0?ε?1.然而為了較為精確地評(píng)估力學(xué)性能，對(duì)于含有亂向隨機(jī)分布纖維的短纖維增強(qiáng)混凝土來說，一個(gè)簡(jiǎn)單的單胞是不夠的，因此引入隨機(jī)參數(shù)，在單胞中隨機(jī)生成滿足相同概率分布模型的圓柱體來模擬短纖維，其余模擬混凝土基體.每個(gè)圓柱體有7個(gè)參數(shù)，其中位置參數(shù)：圓柱體底面中心坐標(biāo)（yi，1，yi，2，yi，3），其中i表示單胞中第i個(gè)圓柱體；尺寸參數(shù)：母線長(zhǎng)度L、半徑R；方向參數(shù)：圓柱體母線與y3軸的夾角θ，圓柱體母線在坐標(biāo)系y1Oy2平面上的投影與y1軸的夾角φ.其中位置參數(shù)和方向參數(shù)服從均勻分布概率模型，而尺寸參數(shù)根據(jù)實(shí)際纖維尺寸進(jìn)行模擬，在各自范圍內(nèi)服從均勻分布，這樣單胞內(nèi)所含圓柱體的體積分?jǐn)?shù)可以根據(jù)纖維體積分?jǐn)?shù)實(shí)際值有效控制.

圖1 宏觀結(jié)構(gòu)與細(xì)觀特征體Fig.1 Macro－structure and representative element volume（REV）

在一個(gè)單胞內(nèi)，n為生成的圓柱體的數(shù)量，因此，可以定義相應(yīng)的分布模型w.

按上述表征方法，任何短纖維增強(qiáng)混凝土結(jié)構(gòu)都可以看成是由具有相同分布模型的單胞組合而成.

式中：t為單胞個(gè)數(shù)；Q表示一個(gè)單位化單胞，單胞尺寸為1；ε表示單胞尺寸，相應(yīng)的圓柱體分布模型為w.認(rèn)為宏觀點(diǎn)x是由單胞周期性排列組成，定義

1.2 隨機(jī)雙尺度分析

當(dāng)宏觀結(jié)構(gòu)受到外部荷載的作用時(shí)，由于該材料細(xì)觀層次的高度非均質(zhì)性，使得結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量（如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等）在宏觀位置x的非常小的鄰域ε內(nèi)有很大的變化［11］.雙尺度的本質(zhì)是認(rèn)為宏觀上均質(zhì)的材料在細(xì)觀尺度上是非均質(zhì)的，在單胞內(nèi)將材料結(jié)構(gòu)力學(xué)量表示成關(guān)于宏觀坐標(biāo)x和細(xì)觀坐標(biāo)y的函數(shù)，這樣將材料的宏觀性能與細(xì)觀非均質(zhì)結(jié)構(gòu)聯(lián)系一起.

由固體彈性力學(xué)可知，混合邊界條件下彈性問題可以表述為［15］

式中：aijhk（x，w）（i，j，h，k＝1，2…，n）為等效均質(zhì)體上一點(diǎn)x處對(duì)應(yīng)單胞內(nèi)材料組分的剛度系數(shù)；fi（x）為線彈性體所受體力分量.u（x，w）為位移矢量.所滿足的邊界條件為

式中：Γ1和Γ2分別表示位移邊界和力邊界；vj（j＝1，2，…，n）為力邊界Γ2的外法線方向余弦；σi（x，w）為單胞邊界處應(yīng)力（x）和pi（x）分別為對(duì)應(yīng)位移邊界和力邊界上的給定位移和載荷.其中

同時(shí)考慮到構(gòu)件宏觀參數(shù)和細(xì)觀特征對(duì)位移u（x）的影響，在宏觀坐標(biāo)系x（x1，x2，x3）和細(xì)觀局部坐標(biāo)系y（y1，y2，y3）下有以下位移展開式［16］：

式中：u0（x）為宏觀整體結(jié)構(gòu)Ω上的均勻化位移解；L為計(jì)算階數(shù)；Na（y）為單胞矩陣向量函數(shù)，反映復(fù)合材料結(jié)構(gòu)細(xì)觀特征的影響.

將式（7）代入式（4）中，因?yàn)棣拧?，所以εn（n＝－2，－1）的系數(shù)必須為零，進(jìn)而可到單胞形函數(shù)Na（y）滿足的方程［17］，進(jìn)而求解出均勻化剛度系數(shù)（w）.

從式（10）可以看出，均勻化剛度系數(shù)a＾ijhk（w）不僅和單胞內(nèi)組分材料的剛度系數(shù)aijhk（x，y，w）有關(guān)，還決定于反映單胞局部不均勻性的形函數(shù).進(jìn)而由式（4）和式（10）求得宏觀均勻化位移解u0（x）.

進(jìn)而得到考慮細(xì)觀特征影響的位移場(chǎng)分布u（x，w）.根據(jù)彈性力學(xué)幾何和物理方程，求出相應(yīng)的更為精確的應(yīng)變場(chǎng)［17］.

2 模型驗(yàn)證

為了對(duì)給出的隨機(jī)雙尺度模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，在鋼纖維增強(qiáng)混凝土試驗(yàn)數(shù)據(jù)［19］的基礎(chǔ)上將本文模型的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，各組分材料的力學(xué)參數(shù)見表1.

表1 混凝土基體和鋼纖維力學(xué)性能參數(shù)［19］Tab.1 Mechanic parameters of concrete matrix and fiber［19］

在單胞內(nèi)生成滿足隨機(jī)分布的圓柱體來模擬鋼纖維，其余模擬等效均質(zhì)混凝土基體，其中單胞尺寸為5mm×5mm×5mm，圓柱體直徑為300～800 um，母線長(zhǎng)為2～5cm，圓柱體直徑D和母線長(zhǎng)L在各自范圍內(nèi)服從均勻分布，滿足一定體積分?jǐn)?shù)，并且相互之間不重合.對(duì)分布模型為w的單胞采用10節(jié)點(diǎn)四面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖2，建立單胞有限元模型，利用有限元方法進(jìn)行求解，得到考慮細(xì)觀特征影響的均勻化剛度系數(shù)a＾ijhk（w），對(duì)M個(gè)單胞進(jìn)行重復(fù)計(jì)算，根據(jù)Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定理便可得到考慮纖維隨機(jī)分布精確度更高的解aijhk，H（x）.

圖2 整個(gè)單胞有限元模型Fig.2 The entire FEM model of REV

計(jì)算對(duì)比結(jié)果如圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)，本文模型能給出一個(gè)很好的預(yù)測(cè).為了進(jìn)一步確定隨機(jī)雙尺度模型在預(yù)測(cè)短纖維增強(qiáng)混凝土彈性常數(shù)方面的有效性，再次利用此模型計(jì)算了鋼纖維增強(qiáng)混凝土的彈性模量，與試驗(yàn)結(jié)果［20］進(jìn)行對(duì)比，各組分材料的力學(xué)參數(shù)見表2；并選取了其他常用方法［21－22］進(jìn)行計(jì)算分析.

圖3 彈性模量計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of computation and the measured elastic modulus

表2 混凝土基體和鋼纖維力學(xué)性能［20］Tab.2 Mechanic parameteres of concrete matrix and steel fiber［20］

從圖4中與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，本文模型和其他經(jīng)典模型都能給出很好的預(yù)測(cè)，但隨機(jī)雙尺度模型的預(yù)測(cè)更加接近真實(shí)的試驗(yàn)結(jié)果，誤差在0.8%以內(nèi)，能夠較為精確地預(yù)測(cè)短纖維增強(qiáng)混凝土的彈性常數(shù).文獻(xiàn)［21］方法給出的結(jié)果比試驗(yàn)值小，而文獻(xiàn)［22］方法給出的結(jié)果偏大；并且隨著纖維體積分?jǐn)?shù)的增加，這2個(gè)模型的誤差逐漸增大，而隨機(jī)雙尺度模型的誤差則趨于平穩(wěn).由此得出結(jié)論，本文給出的隨機(jī)雙尺度模型能夠更為精確地預(yù)測(cè)短纖維增強(qiáng)混凝土彈性常數(shù).

圖4 不同模型彈性模量與纖維體積分?jǐn)?shù)關(guān)系Fig.4 Elastic modulus with different fiber volume fractions for different models

3 短纖維增強(qiáng)混凝土彈性常數(shù)分析

選取工程中常用的鋼纖維、PP纖維（聚丙烯纖維）、玻璃纖維和碳纖維（T300）4種纖維模擬高模量纖維混凝土和低模量纖維混凝土，基體混凝土和各纖維的力學(xué)性能參數(shù)見表3.

表3 混凝土基體和幾種纖維力學(xué)性能Tab.3 Mechanic parameters of concrete matrix and different fibers

已有的研究表明，對(duì)于現(xiàn)有的亂向短纖維增強(qiáng)混凝土，纖維由于受到重力效應(yīng)和邊壁效應(yīng)的影響，很難均勻分布.而纖維的體積分?jǐn)?shù)或長(zhǎng)徑比增大后，在攪拌時(shí)容易產(chǎn)生結(jié)團(tuán)現(xiàn)象，目前纖維體積分?jǐn)?shù)僅能達(dá)到1%～3%［28］.故結(jié)合實(shí)際情況對(duì)4種纖維不同體積分?jǐn)?shù)下的彈性常數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析.在單胞內(nèi)生成滿足隨機(jī)分布的圓柱體來模擬纖維，其余模擬等效均質(zhì)混凝土基體，其中，單胞尺寸為5mm×5 mm×5mm，圓柱體直徑為300～800um，母線長(zhǎng)為2～5cm，R和L在各自范圍內(nèi)服從均勻分布，滿足一定體積分?jǐn)?shù)，并且相互之間不重合.

圖5中Ehom為宏觀等效均質(zhì)體彈性模量，Em為混凝土基體彈性模量.可以看出，由于鋼纖維、玻璃纖維、碳纖維的彈性模量大于混凝土基體的彈性模量，在未產(chǎn)生裂紋之前，短纖維增強(qiáng)混凝土的彈性模量隨纖維體積分?jǐn)?shù)的增大而增大，與“混合定律”吻合很好；而PP纖維的彈性模量小于混凝土基體的彈性模量，所以隨著纖維體積分?jǐn)?shù)的增大反而出現(xiàn)了減小的情況.并且不同纖維種類對(duì)彈性模量的影響很明顯.由于鋼纖維和碳纖維的彈性模量接近，所以2種短纖維混凝土彈性模量提升的效果也相近，都大于玻璃纖維.如在纖維體積分?jǐn)?shù)為1.50%時(shí)，鋼纖維和碳纖維的提升效果仍分別達(dá)到了相近的4.80%和4.70%，大于玻璃纖維的1.48%，相反PP纖維的降低了2.27%.

圖5 不同纖維Ehom／Em和體積分?jǐn)?shù)的關(guān)系Fig.5 The influence of fiber’s type and volume fraction on elastic modulus

圖6 中μhom為宏觀等效均質(zhì)體泊松比，μm為混凝土基體泊松比.可以看出，隨著體積分?jǐn)?shù)的增加，泊松比的變化和纖維種類的關(guān)系與彈性模量相反；但是等效泊松比并沒有太大幅度的變化，不同的纖維種類差別不大，并且隨著體積分?jǐn)?shù)的增大變化也甚微.主要有兩點(diǎn)原因：一是混凝土基體和纖維的泊松比差別不大，二是纖維體積分?jǐn)?shù)很小，所以等效泊松比主要由混凝土基體決定，基本不變.

圖6 不同纖維μhom／μm和體積分?jǐn)?shù)的關(guān)系Fig.6 The influence of fiber’s type and volume fraction on Poisson’s ratio

通過以上的對(duì)比分析可以得出結(jié)論，短纖維增強(qiáng)混凝土彈性模量受纖維種類和纖維體積分?jǐn)?shù)影響較為明顯.在4種纖維中，鋼纖維和碳纖維具有較高的彈性模量，從而相應(yīng)的纖維增強(qiáng)混凝土模量提升效果比玻璃纖維明顯，屬于高模量纖維混凝土；而PP纖維的彈性模量較低，會(huì)使相應(yīng)的纖維混凝土的彈性模量和剪切模量降低，屬于低模量纖維混凝土.而等效泊松比主要由基體混凝土決定，所以受纖維種類和纖維體積分?jǐn)?shù)影響有限.

4 結(jié)語

以雙尺度方法為理論基礎(chǔ)，將短纖維混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu)與宏觀力學(xué)性能相結(jié)合，通過引入服從均勻隨機(jī)分布模型的隨機(jī)參數(shù)定義了新的單胞模型，單胞中按照一定纖維體積分?jǐn)?shù)隨機(jī)生成的圓柱體很好地模擬了短纖維混凝土中亂向均勻分布的短纖維，并且給出了該模型結(jié)合有限元方法的計(jì)算方法.

接著利用提出的隨機(jī)雙尺度模型計(jì)算了鋼纖維混凝土的彈性模量，并與試驗(yàn)結(jié)果及其他經(jīng)典方法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了此模型在分析短纖維增強(qiáng)混凝土彈性性能方面的有效性.

進(jìn)而選取了目前工程中常用的4種纖維即鋼纖維、PP纖維、玻璃纖維、碳纖維研究分析了短纖維增強(qiáng)混凝土的彈性常數(shù)與纖維種類和體積分?jǐn)?shù)的關(guān)系.短纖維增強(qiáng)混凝土彈性模量受纖維種類和纖維體積分?jǐn)?shù)影響較為明顯，而等效泊松比主要是由基體混凝土決定，所以受纖維種類和纖維體積分?jǐn)?shù)影響有限.

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