從蘇步青爺爺做過的題目談起

趙國瑞

相信同學們都看過蘇步青爺爺做過的題目：

甲和乙分別從A、B兩地同時出發(fā)，相對而行，兩地相距100里，甲每小時走6里，乙每小時走4里.如果甲帶一只狗，和甲同時出發(fā)，狗以每小時10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回頭向甲奔去，遇到甲后又回頭向乙奔去，直到甲乙兩人相遇時狗才停住. 這只狗共跑了多少里路？

解答這道題時，蘇步青爺爺抓住“狗從開始到停止跑的時間與甲乙兩人相遇時間相同”，從而巧妙求出問題答案：10×[100÷（6+4）]=100（里）.

如果題目其他條件不變，而把狗跑的方式改變?yōu)椤叭绻讕б恢还?，和甲同時出發(fā)，以每小時10里的速度不停地往返于A、B兩地.”你能求出乙從出發(fā)直到A地與狗相遇的次數(shù)及相遇時間和地點嗎？

這個問題當然可以用列方程的方法求解.

設(shè)經(jīng)過x小時乙與狗第一次相遇于C點（如圖1），則AC=10x，BC=4x，根據(jù)AC+BC=AB列方程得10x+4x=100，得x=■（小時），AC=■×10=■（里）；

設(shè)經(jīng)過y小時乙與狗第二次相遇于D點（如圖2），則BD=4y，AB+BD=10y，即100+4y=10y，解得y=■（小時），AD=AB-BD=100-■×4=■（里）；

設(shè)經(jīng)過z小時乙與狗第三次相遇于E點（如圖3），則BE=4z，2AB+AE=10z，即200+AE=10z，所以AE=10z-200. 又因為AE=AB-BE=100-4z，所以10z-200=100-4z，解得z=■（小時），AE=100-■×4=■（里）.

設(shè)經(jīng)過t小時乙與狗第四次相遇于F點（如圖4），則BF=4t，3AB+BF=10t，即300+4t=10t，解得t=50. 由于乙從出發(fā)直到A地共需25小時，在這段時間內(nèi)乙與狗不可能第四次相遇，所以這種情況不存在.

綜上所述，乙從出發(fā)直到A地與狗一共相遇三次，第一次在出發(fā)■小時后相遇，此時與A地相距■里；第二次在出發(fā)■小時后相遇，此時與A地相距■里；第三次在出發(fā)■小時后相遇，此時與A地相距■里.

以上我們通過畫圖列方程并分情況討論的辦法，求出了乙從出發(fā)直到A地與狗相遇的次數(shù)及相遇時間和地點. 這種方法比較麻煩，需要有扎實的基礎(chǔ)知識，如果稍不留神，非常容易出錯. 有沒有一種簡便易行的方法呢？回答是肯定的，在我們學習了一次函數(shù)的知識后，就可利用一次函數(shù)的知識求解，如圖5，用實線表示乙與A地的距離，用虛線表示狗與A地的距離，那么實線和虛線的交點坐標即表示狗與乙相遇時的時間及與A地的距離，從圖5可以清楚地看到實線和虛線一共有3個交點，所以乙從出發(fā)直到A地與狗一共相遇3次，再分別求出三個交點坐標，即可求出相遇時間和相遇地點. 顯然這種通過作一次函數(shù)圖象的方法來解這類較難的相遇問題非常簡捷，體現(xiàn)了利用函數(shù)圖象象決問題的優(yōu)越性.

下面請同學們用上面的方法解決下面這道趣題：

傳說，古埃及有一座城堡，在城堡中住著一位大商人，名叫克洛瓦爾。克洛瓦爾為了經(jīng)商到過好多國家，見多識廣，當?shù)氐娜藗兌际志磁逅?/p>

克洛瓦爾有一個女兒，才貌出眾，溫順善良，做父親的一心想要為自己的寶貝女兒挑選一位稱心如意的配偶。他公開宣布：“我鄙視出身、財產(chǎn)、官職一類的東西，我要為我的女兒選擇一位體魄強健又有聰明才智的青年做伴侶。”為此，克洛瓦爾特地出了一道難題，裝在三個精制的錦袋中，并當眾聲明：“能夠解答我這三個錦袋中的難題者方可做我的女婿的候選人。”

克洛瓦爾女兒的美貌是譽滿全城的，青年們無不敬慕萬分。但是，想要得到這位絕代佳人的決非等閑之輩，大多數(shù)人只是贊嘆而已！

一天，一位名叫盧爾的英俊青年胸有成竹地去克洛瓦爾家取來了錦袋。打開后看到了第一個問題：每天有一輛馬車從金字塔出發(fā)駛往莫利斯堡；與此同時，也有一輛馬車從莫利斯堡出發(fā)沿著同一條路線駛往金字塔。兩地間的行程需10天，每輛馬車都以相同的速度在路上行駛，那么坐在某一輛由金字塔駛往莫利斯堡的馬車上的人，從出發(fā)時算起到抵達莫利斯堡之前，會碰到多少輛從莫利斯堡駛往金字塔的馬車？

克洛瓦爾目不轉(zhuǎn)睛地盯著盧爾，要從他的神態(tài)上看出這個青年的心機如何。盧爾沉著地思考了一下，微微一笑地回答了克洛瓦爾的第一個問題：“假設(shè)我就是某輛馬車上的一位乘車人，10天以內(nèi)出發(fā)的，正在路上行駛的10輛馬車我都能看到，和我同時出發(fā)以及以后9天出發(fā)的由莫利斯堡到金字塔的又是10輛馬車我也同樣都能看到。因此，我總共能看到20輛馬車?！?/p>

克洛瓦爾聽了，十分肯定地說：“你做了一個非常圓滿的回答.現(xiàn)在你可以打開第二個錦袋了，我的年輕人?！比缓蟊R爾又順利地回答了第二個和第三個錦袋中的問題，最終成為克洛瓦爾的女婿。

其實，克洛瓦爾的第一個問題也可以通過作圖象的方法解答：

圖中的t軸代表時間，O點代表馬車出發(fā)的那一天，O點右邊的正數(shù)代表出發(fā)后的天數(shù)，O點左邊的負數(shù)的絕對值則代表出發(fā)前的第幾天. S軸代表路程，O為金字塔的位置，另在S軸上任選一點A作為莫利斯堡的位置，這樣，從左上方畫向右下方的那組平行線就是馬車出發(fā)前后若干天內(nèi)從莫利斯堡駛往金字塔的各輛馬車的路程圖線；從O點向右上方畫出的那條斜線就是“某天由金字塔駛往莫利斯堡的馬車”的路程圖線. 從圖形中可明顯地看到，從金字塔出發(fā)的一輛馬車駛往莫利斯堡時，遇到了20輛從莫利斯堡駛往金字塔的馬車.（注意：圖象不包括點（10，10），因為題目要求是“從出發(fā)時算起到抵達莫利斯堡之前”）