多尺度分形壓縮感知遙感成像方法

劉佶鑫，孫權(quán)森

1.南京郵電大學(xué) 寬帶無線通信技術(shù)教育部工程研究中心，江蘇 南京 210003；2.南京理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094

1 引 言

隨著軟硬件技術(shù)的進(jìn)步，對地遙感觀測在測繪領(lǐng)域的作用越來越重要。而高分辨率和大視場角已成為遙感成像的一種主流發(fā)展趨勢。以新近發(fā)射的光學(xué)遙感衛(wèi)星（如美國的 WorldView－2、法國的Pleiades、以色列的EROS－C等）為例，其分辨率普遍優(yōu)于1m且軌道高度普遍達(dá)到600km及以上。遙感成像的這一特點(diǎn)將為測繪應(yīng)用的信息處理提供高精度的數(shù)據(jù)保障，同時(shí)也對中、高分辨率遙感的成像質(zhì)量和處理效率提出了要求。

遙感成像的基礎(chǔ)是數(shù)字信號處理技術(shù)，而以香農(nóng)采樣定理為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)數(shù)字信號處理技術(shù)隨著遙感成像的發(fā)展將面臨海量數(shù)據(jù)處理的難題。香農(nóng)采樣定理指出：對于任意帶限信號，采樣頻率必須達(dá)到信號帶寬的兩倍及以上。因此，傳統(tǒng)數(shù)字信號處理的研究重點(diǎn)集中在兩方面：其一，提高采樣頻率。對遙感成像而言意味著需要研制分辨率更高的大型面陣傳感器，這將大幅提高遙感衛(wèi)星的生產(chǎn)及發(fā)射等綜合成本。為此，文獻(xiàn)［1］對LMCCD提出了改進(jìn)，而文獻(xiàn)［2］則嘗試消除大面陣CCD影像的多通道不一致性；其二，限制信號帶寬（如低通濾波器）。這必將損失大量的細(xì)節(jié)信息，降低高分遙感的數(shù)據(jù)高精度優(yōu)勢。在濾波器研究領(lǐng)域，文獻(xiàn)［3］基于學(xué)生化殘差提出了模糊自適應(yīng)濾波算法，而文獻(xiàn)［4］則運(yùn)用推掃成像濾波器模型來進(jìn)行星載相機(jī)軌道末期成像及圖像復(fù)原。可見，以香農(nóng)采樣定理為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)信號處理方式從某種程度上制約了數(shù)字遙感成像的發(fā)展。

作為一種新型信號處理技術(shù)，壓縮感知（compressive sensing，CS）為海量數(shù)據(jù)處理提供了不同于傳統(tǒng)方式的新思路。CS理論是由文獻(xiàn)［5—6］和文獻(xiàn)［7］分別提出的。該理論認(rèn)為，通過隨機(jī)過完備觀測矩陣的投影運(yùn)算能夠在保持全局信息的條件下合并完成信號的采樣與壓縮，而在此基礎(chǔ)上求解一個(gè)欠定方程的l1范數(shù)最小化問題來完成信號重構(gòu)。目前，CS理論在數(shù)字成像方面已得到初步應(yīng)用，如單像素相機(jī)［8］、光譜成像［9］、MRI成像［10］等。此外，文獻(xiàn)［11］闡述了 CS對解決數(shù)字洪災(zāi)的重要意義。但是，在CS遙感成像方面，除了文獻(xiàn)［12—13］以小波閾值為基礎(chǔ)的系列研究外，其他成果相對較少。

本文針對CS遙感中重構(gòu)運(yùn)算開銷大和成像細(xì)節(jié)質(zhì)量低的問題，提出一種以多尺度透鏡組為基礎(chǔ)的分形壓縮感知遙感成像方法。多尺度透鏡成像模式能夠大幅降低基于稀疏字典的CS成像的運(yùn)算開銷，而以分形維度代替l1范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)能夠較好的改善弱約束條件下CS成像質(zhì)量，并在較大限度上提高細(xì)節(jié)信息的復(fù)原效果。

2 壓縮感知成像原理

CS成像分為采樣和重構(gòu)兩部分。首先，假設(shè)原始信號x∈RN，其CS采樣如下

式中，Φ為隨機(jī)觀測矩陣。式（1）是對信號x的降維投影（即壓縮）；而Φ列的集合具備過完備不相干性，保證了y包含原始信號x的幾乎全部信息，因此稱為感知。觀測結(jié)果y即所謂的感知數(shù)據(jù)。

其次，重構(gòu)的核心是欠定矩陣偽逆運(yùn)算。如果x具有稀疏性（即x中有K個(gè)非零元素且K≤M）且Φ滿足RIP（restricted isometry property）時(shí)，式（1）求逆可等價(jià)為

雖然式（2）在理論上有全局最優(yōu)解，但是l0范數(shù)最小化是NP難題，且運(yùn)算開銷極高。文獻(xiàn)［14］提出了基追蹤（basis pursuit，BP）算法來解決這個(gè)問題，描述如下

式（3）可以通過線性規(guī)劃求解。而將BP用于CS重構(gòu)是文獻(xiàn)［5－7］完成的證明。CS理論認(rèn)為：在一定條件下，式（3）中l(wèi)1范數(shù)最小化的最優(yōu)解等價(jià)于式（2）中l(wèi)0范數(shù)最小化的全局最優(yōu)解。這就為CS框架的應(yīng)用提供了重要的理論支撐。

對二維圖像，多數(shù)CS框架是將圖像拉伸為一維向量進(jìn)行處理。這種方式能夠較好地滿足CS運(yùn)算的要求，且處理方式簡便、運(yùn)算開銷相對較小，但是其重構(gòu)質(zhì)量往往不能令人滿意。為此，文獻(xiàn)［5］采用 TV（total variation）模型將CS重構(gòu)算法改進(jìn)為

式中，D為梯度算子。但是這種二維處理模式顯然比一維的l1范數(shù)最小化方式復(fù)雜，不能較好地適用于對時(shí)效性要求較高的數(shù)字成像等應(yīng)用。

但是在實(shí)際應(yīng)用中，信號直接滿足稀疏性的情況并不常見。實(shí)際上，大多數(shù)遙感數(shù)字圖像在空域下都不具有稀疏性。而CS成立則必須滿足兩個(gè)重要條件：① 過完備觀測矩陣必須具備RIP。② 待重構(gòu)信號必須是稀疏的。為此，一種更為普遍的CS改進(jìn)算法可以描述如下

式中，α即為x在基空間Ψ下的稀疏表示。文獻(xiàn)［5－6］的研究指出，幾乎所有的信號總能找到合適的基空間（如小波域、傅里葉域等）來實(shí)現(xiàn)稀疏表示。因此，稀疏字典的應(yīng)用解決了遙感成像在CS框架下的有效性問題。

雖然稀疏表示的引入既保留了BP算法的簡易性又解決了重構(gòu)信號對稀疏性的要求，但是稀疏表示本身的運(yùn)算開銷卻十分巨大。假設(shè)一個(gè)過完備不相干字典可由如下Gabor函數(shù)生成

3 多尺度分形壓縮感知遙感成像框架設(shè)計(jì)

3.1 多尺度透鏡組成像

在圖1中，橫坐標(biāo)表示5種圖像分塊大小，縱坐標(biāo)表示各級尺寸大小對應(yīng)的CS程序運(yùn)算開銷。由于運(yùn)算開銷正比于稀疏字典的維度，因此其關(guān)系描述如下

式中，n2為圖像分塊大?。籧為常數(shù)。由此可見，分塊成像的這種思路能夠適合于高分辨率和大視場角遙感成像的應(yīng)用需求，同時(shí)可以大幅緩解CS成像算法在高維圖像處理中的海量運(yùn)算開銷難題。但是，新的問題是能否找到符合分塊成像模式的圖像傳感器。

圖1 圖像大小與基于稀疏字典的CS成像運(yùn)算開銷水平Fig.1 The relationship between different image size and its computation cost level based on sparse dictionary

文獻(xiàn)［16］設(shè)計(jì)的多尺度透鏡組（multi－scale lens）成像模型為本文的研究提供了重要參考。如圖2所示，大尺度透鏡成像的優(yōu)勢在于有較大的視場角，缺點(diǎn)是成像面陣的工藝成本將隨分辨率的提高呈現(xiàn)指數(shù)級增長；而小尺度透鏡成像的優(yōu)勢則是以較低的工藝成本保持高分辨的圖像細(xì)節(jié)信息，缺點(diǎn)卻是較小的成像面陣難以滿足大視場角觀測的需要。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［16］嘗試將不同尺度的透鏡組合用于形成多尺度透鏡，其試驗(yàn)結(jié)果（見圖2）取得了較好的大視場角高分辨成像效果。因此，多尺度透鏡組能夠集合兩種成像方式的優(yōu)點(diǎn)，不僅滿足本文對遙感CS成像的分塊需求，而且其各子塊成像面陣的研制成本和工藝難度也遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)上用于大視場角遙感成像的大尺度面陣。

圖2 多尺度透鏡組的成像原理Fig.2 The principle of multi－scale lens Imaging

3.2 分形壓縮感知成像方法

多尺度透鏡組的引入解決了CS遙感成像中大視場角的問題，但是作為測繪領(lǐng)域定量遙感的特殊需求，中、高分辨率遙感圖像細(xì)節(jié)信息的質(zhì)量直接決定了其應(yīng)用效果，因此如何提高CS重構(gòu)精度是關(guān)系到中、高分遙感成像的另一個(gè)關(guān)鍵問題。

在遙感成像領(lǐng)域，普遍認(rèn)可的壓縮比通常在4∶1左右。從圖3中可見，壓縮比在4∶1左右的CS重構(gòu)質(zhì)量十分不理想，而感知次數(shù)越高往往成像精度越佳。因此，在傳統(tǒng)的CS成像應(yīng)用中，低壓縮比的成像質(zhì)量并不能滿足遙感的要求。這就與遙感應(yīng)用的需求形成了矛盾。

圖3 傳統(tǒng)CS成像在不同感知次數(shù)下的圖像重構(gòu)Fig.3 Image recovery under different sensing time of traditional CS imaging

傳統(tǒng)CS成像的實(shí)質(zhì)是求解如式（3）或式（6）的l1范數(shù)最小化問題。對于高維信號CS重構(gòu)而言，如果約束條件過于嚴(yán)格也將大幅增加運(yùn)算開銷。因此，普遍的處理思路是將式（6）弱化為如下關(guān)系

式中，ε為任意小的正數(shù)。盡管這一處理方式使得CS重構(gòu)求解的可行性大為提高，但是由于作為目標(biāo)函數(shù)的l1范數(shù)的自身特性，使得CS重構(gòu)在信號細(xì)節(jié)復(fù)原上的質(zhì)量不佳。

與l1范數(shù)相比，分形維度作為一種測度函數(shù)適用于歐幾里得空間Rn中各種維度集合的測度。由于分形維度能夠包含信號的幾何結(jié)構(gòu)信息，因此它可以作為一種分析復(fù)雜數(shù)據(jù)集的有效工具。在各類分形維度中，計(jì)盒維度（box counting dimension，BCD）非常適合計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。BCD的定義為：假設(shè)F是Rn的任意非空有界子集，由覆蓋F的最長直徑δ的最小集合數(shù)量計(jì)為Nδ（F），則F的BCD的下界和上界分別表示為

若二者相等，則稱其為F的BCD，記為

假設(shè)兩組離散信號的向量形式為V1＝［30，50，－20，40，10］T和V2＝ ［31，49，－20，38，11］T，分別按照l1范數(shù)和分形維度進(jìn)行度量。圖4中橫坐標(biāo)i為向量元素序號，縱坐標(biāo)V（i）表示與之對應(yīng)的元素值。圖4顯示，當(dāng)信號存在細(xì)節(jié)差異時(shí)，l1范數(shù)不能有效地進(jìn)行區(qū)分，而分形維度則明顯的反映了二者的差異。因此，對于采用公式（9）的CS重構(gòu)算法，以分形維度代替l1范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，本文將CS成像問題改進(jìn)為

這里采用的目標(biāo)函數(shù)是BCD的一種廣延性更好的改進(jìn)形式，即 Minkowski維度［17］。因此，將這種新的CS框架稱為分形壓縮感知（fractal compressed sensing，F(xiàn)CS）。在多尺度透鏡組和分形壓縮感知成像的基礎(chǔ)上，筆者提出一套適合遙感成像的CS框架。

3.3 本文提出的遙感成像框架

圖5是本文設(shè)計(jì)的多尺度分形壓縮感知（multi－scale fractal compressed sensing，MFCS）遙感成像的系統(tǒng)框架，包括3個(gè)主要步驟：

（1）多尺度CS遙感采樣。通過基于多尺度透鏡組的衛(wèi)星載荷平臺(tái)傳感陣列，實(shí)現(xiàn)大視場角的中、高分辨率遙感信號采樣。

（2）感知數(shù)據(jù)稀疏字典選取。由模／數(shù)轉(zhuǎn)換和信號傳輸，將感知數(shù)據(jù)傳輸?shù)降孛嫣幚硐到y(tǒng)，選取合適當(dāng)前感知數(shù)據(jù)的過完備冗余字典，用于后續(xù)的基于信號稀疏表示的成像重構(gòu)運(yùn)算。

（3）多尺度分形CS成像。以基于字典的稀疏表示為基礎(chǔ)，通過迭代求解由式（12）和式（13）描述的分形最優(yōu)化問題，最終計(jì)算完成中、高分辨率遙感CS成像。

至此，本文的MFCS遙感成像框架已經(jīng)構(gòu)建完成，下文將通過一系列試驗(yàn)及相關(guān)評價(jià)指標(biāo)來討論該成像方式的特性。

圖4 l1范數(shù)與分形維度對信號細(xì)節(jié)差異的度量Fig.4 Measurement of l1－norm and fractal dimension to signals with details’difference

圖5 多尺度分形壓縮感知遙感成像框架Fig.5 Multi－scale fractal compressed sensing remote sensing imaging framework

4 試驗(yàn)及分析

試驗(yàn)選取3組衛(wèi)星數(shù)據(jù)：① 由 WorldView－2提供的在2011年日本地震后拍攝的關(guān)于福島第一核電站受損情況的0.5m級遙感圖像［18］中的部分（圖6（a）左邊）。② 由SPOT 5拍攝的匈牙利某村莊在泥石流發(fā)生前的2.5m級遙感圖像［19］中的部分（圖6（a）中間）。③ 由 CBERS－2提供的北京市區(qū)的20m級遙感圖像［20］中的部分（圖6（a）右邊）。由于試驗(yàn)是在普通PC（CPU是Intel Core Duo i5，內(nèi)存4GB）上進(jìn)行，當(dāng)樣本圖像畫幅過大，如果直接進(jìn)行針對完整尺度下的CS重構(gòu)，則會(huì)導(dǎo)致內(nèi)存溢出等問題，因此所有遙感圖像（完整尺度）的大小均采用200像素×200像素。這里主要研究BP和FCS兩種方法分別在完整（200像素×200像素）和多尺度（100像素×100像素、50像素×50像素、25像素×25像素）情況下的成像效果。以100像素×100像素為例，當(dāng)采用該尺度模式時(shí)，某一200像素×200像素的圖像將分為4個(gè)100像素×100像素子區(qū)域進(jìn)行處理。以此類推可知，對200像素×200像素的圖像50像素×50像素的模式需要?jiǎng)澐譃?6個(gè)子區(qū)域，25像素×25像素需要64個(gè)子區(qū)域。

圖6 BP和FCS方法的成像效果Fig.6 The imaging result of BP and FCS

CS的信號壓縮比采用4∶1。成像質(zhì)量的評價(jià)指標(biāo)包括3種：① 峰值信噪比（peak signal－tonoise ratio，PSNR）是一種基于像素級統(tǒng)計(jì)信息的客觀評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，其數(shù)值越大說明成像結(jié)果在數(shù)值上越接近實(shí)際情況；② 結(jié)構(gòu)相似性（structural similarity，SSIM）是模擬人眼視覺系統(tǒng)對幾何結(jié)構(gòu)的感知近似程度，其數(shù)值越接近1說明圖像越有利于人工解譯；③ 運(yùn)算時(shí)間開銷反映了各成像過程的求解時(shí)間開銷情況，以s為單位。假設(shè)原始圖像x為m×n，其CS成像結(jié)果為xCS，則PSNR按如下計(jì)算［21］

式中，μx是x的均值；μxCS是xCS的均值是x的方差是xCS的方差；是x和xCS的協(xié)方差；c1＝（k1L）2和c2＝（k2L）2中通常取L＝28－1，k1＝0.01，k2＝0.03。

從圖6可以看出，無論對中分辨率（20m）還是對高分辨率（2.5m和0.5m），F(xiàn)CS成像方式得到的圖像在視覺效果上總體優(yōu)于BP成像的效果；而MFCS成像方式又普遍強(qiáng)于完整尺度CS成像。圖7則表明：① 從PSNR和SSIM可知，兩種方式的指標(biāo)數(shù)值基本隨不同尺度圖像大小的增加而呈現(xiàn)遞減趨勢，而MFCS方式的成像質(zhì)量遠(yuǎn)高于BP方式。但無論是BP還是MFCS，若尺度劃分太小則可能導(dǎo)致成像質(zhì)量的略微下降（見25像素×25像素和50像素×50像素的對比）。② 尺度劃分不大時(shí)，BP與MFCS的在運(yùn)算時(shí)間開銷上基本在持平。而多尺度CS成像方式與完整尺度CS成像相比，其運(yùn)算開銷將隨尺度的降低大幅遞減，這一點(diǎn)在中分辨率和高分辨率成像結(jié)果中都有所體現(xiàn)?？偟膩碚f，F(xiàn)CS方法符合遙感量化應(yīng)用在中、高分辨率成像上對細(xì)節(jié)圖像的質(zhì)量要求，而MFCS成像方式則大幅降低了在稀疏表示基礎(chǔ)上的運(yùn)算開銷，符合大視場角遙感成像的時(shí)效性需求，因此，本文提出的MFCS框架使得CS成像方式能夠滿足遙感成像及應(yīng)用的需要。

5 結(jié) 論

本文在壓縮感知成像理論的基礎(chǔ)上，研究了其在遙感成像領(lǐng)域的應(yīng)用方法。通過引入多尺度透鏡組解決了基于稀疏表示的CS成像方式在大視場角觀測條件下面臨的運(yùn)算開銷大和時(shí)效性差等問題。并提出基于分形維度的CS成像方法用于改進(jìn)中、高分辨率遙感成像在細(xì)節(jié)等級上的成像質(zhì)量。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一種新的MFCS遙感成像框架。相關(guān)試驗(yàn)表明，MFCS方法無論在成像質(zhì)量還是運(yùn)算開銷上都優(yōu)于傳統(tǒng)的以BP為代表的CS成像模式，能夠適用于遙感在中、高分辨率和大視場角條件下的成像要求（圖7）。

圖7 BP和MFCS成像的3種評價(jià)指標(biāo)對比Fig.7 Three indices of evaluation between BP and MFCS imaging

根據(jù)本文方法的適用條件，在今后的工作中有必要重點(diǎn)開展以下兩方面研究：① 由于引入了多尺度透鏡組的概念，因此需要研究在實(shí)際應(yīng)用中如何平衡透鏡組的尺度設(shè)置與成像平臺(tái)的研制成本；②考慮到稀疏表示對CS成像的重要影響，因此需要進(jìn)一步研究適用于遙感應(yīng)用的稀疏字典設(shè)計(jì)。

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