借助特例，化繁為簡

王巧欣 彭光輝

特殊蘊含于一般之中，特例情形是一般情形在具體、特殊的背景下的表現(xiàn)形式.若能有效借助題目的隱含信息，通過選擇特例，巧取動（變）中之一瞬（或值），以小見大，以點帶面，或捷足先登，或得到啟示，或發(fā)現(xiàn)問題，從而迅速破解問題.

一、借助特例，捷足先登

例1 （2011年四川綿陽）若x1、x2（x1

A. x1

C. x1

解析：無論選擇哪一個答案，都意味著x1、x2、a、b的大小排列有一個固定的順序.由此可令a=-1，b=1，則原方程變?yōu)椋▁+1）（x-1）=1，即x2=2.解得x1=-■，x2=■.故有x1

例2 （2011年山東煙臺）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點.已知兩底的差是6，兩腰的和是12，則△EFG的周長是（ ）.

圖1

A.8 B.9 C.10 D.12

解析：結(jié)論是確定的數(shù)據(jù)，而圖形卻有很大的“隨意性”，這說明圖形在不改變題目內(nèi)涵的情況形下運動變化時，△EFG的周長為定值.結(jié)合已知中“兩底的差是6，兩腰的和是12”，可將圖1“特殊化”為一個正三角形，如圖2所示，其三邊長均為6，借助三角形的中位線，易得△EFG的周長是9.故選B.

圖2

點評：以上兩例，一個是代數(shù)題，一個是幾何題，直接處理，難度都很大.但由于從題目（包括已知條件、待求結(jié)論和圖形）中提取出一些隱含信息，實現(xiàn)了速解. “特例法”展示了數(shù)學(xué)思維的簡潔之美，是一種有效的方法.

二、借助特例，退中求進(jìn)

例3 （2011年湖南長沙）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角線APQ.當(dāng)點P運動到原點O處時，記Q的位置為B.（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求證：當(dāng)點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值；（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖3

解析：此處僅關(guān)注第（2）問：題目讓證明∠ABQ為定值，如果能事先知道這個定值是多少，就能有的放矢了.注意到圖形具有很大的隨意性，且這個隨意性是由點P的運動引發(fā)的，可以讓點P運動到一個特殊位置——當(dāng)點P在點O左側(cè)且∠PAO=60°時，則點Q落在縱軸負(fù)半軸上.此時，在△ABQ中，AB=■AQ，∠BAQ=60°，容易判斷∠ABQ=90°，即所求定值為“直角”，思維目標(biāo)被鎖定！可以通過證明△APO≌△AQB完成推理：易證AP=AQ，AO=AB，且∠PAO=∠QAB=60°-∠OAQ（或60°+∠OAQ，或60°-∠PAB，或60°+∠PAB——因點P在不同位置而有所變化），即△APO≌△AQB總成立，∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立.

點評：蘇諄教授曾說：“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供啟示與借鑒.”對于一類以探究“定值”“定點”“定線（向）”為特征的數(shù)學(xué)題，可以通過“主動尋求與建構(gòu)特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實現(xiàn)問題的解決. “特例探路，巧鎖目標(biāo)”實質(zhì)上是一種“以退求進(jìn)”的策略——退中悟理，執(zhí)理而進(jìn).這樣，就大大避免了探索的盲目性，優(yōu)化思維過程，顯得簡潔明快.所謂“難的不會，想簡單的”，說的就是這個道理.

三、借助特例，事半功倍

例4 （2012年重慶）先化簡，再求值：（■-■）÷■，其中x是不等式組x+4>0，2x+5<1的整數(shù)解.

解析：化簡正確是第一步，若化簡原式=■，是否正確？令x=0，原式=-■，而■=3，顯然化簡出錯，繼而修正，才能得到正確答案.

例5 （2012年遼寧本溪）圖4是一組由菱形和矩形組成的有規(guī)律的圖案，第1個圖中菱形的面積為S（S為常數(shù)），第2個圖中陰影部分是由連接菱形各邊中點得到的矩形和再連接矩形各邊中點得到的菱形產(chǎn)生的，依此類推……則第n個圖中陰影部分的面積可以用含n的代數(shù)式表示為 .（n≥2，且n是正整數(shù)）

圖4

解析：若得到結(jié)果為（■）n，是否正確？可把菱形特殊化為正方形，則第2個圖中所有小塊的白色或黑色的三角形均是全等的，易得其中陰影部分面積為■=■，這與（■）2=■不符，結(jié)果錯誤，需重新修正處理.

點評：運算或推理上出現(xiàn)紕漏而致結(jié)果錯誤，由于思維定勢的影響，一般的檢查方法往往較難奏效. 而借助特例檢查，思維簡單明朗，查出錯誤的機(jī)率大大增加.尤其像因式分解、代數(shù)式化簡等數(shù)式變形，運算結(jié)果應(yīng)與原式恒等，可用特殊數(shù)值代入比較，看是否有誤.此法對一些幾何問題查錯也有效.雖然特例只能查錯，糾錯要另外進(jìn)行，但及時發(fā)現(xiàn)錯誤是重要的.同學(xué)們需要注意的是：（1）特殊值、幾何特例的選取要簡便，易于計算與推證；（2）特殊值、幾何特例應(yīng)在題目允許范圍內(nèi)；（3）特例成立時并不等于原結(jié)果一定正確，如a=2時，2a和a2是沒有區(qū)別的，1n（n為整數(shù)）與n無關(guān)，等等.