粗糙域Voronoi圖離散生成算法研究

滑斌杰，林立忠，柴忠良

石家莊學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，石家莊 050035

粗糙域Voronoi圖離散生成算法研究

滑斌杰，林立忠，柴忠良

石家莊學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，石家莊 050035

1 引言

Voronoi圖是計(jì)算幾何的一個(gè)重要分支，是一種關(guān)于空間臨近關(guān)系的重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在幾何形體重構(gòu)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖形圖像處理與模式識(shí)別、地學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)、氣象以及城市規(guī)劃等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及與發(fā)展，Voronoi圖的應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大[1-2]。

在Voronoi圖的研究方面，有兩個(gè)主要方向，一是根據(jù)不同應(yīng)用在母點(diǎn)（生成元）形狀和生成面上的擴(kuò)展，二是Voronoi圖生成算法的研究。在母點(diǎn)和生成面的擴(kuò)展方面有：線(xiàn)段Voronoi圖、面Voronoi圖、球面Voronoi圖及其加權(quán)Voronoi圖，流域Voronoi圖、斜面Voronoi圖和障礙Voronoi圖等[2-6]。Voronoi圖生成算法很多，總體上分為兩類(lèi)：矢量法和離散法。矢量法有對(duì)偶生成法、增量法、分治法、平面掃描法等。相對(duì)于離散生成法，矢量法生成Voronoi圖算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，目前對(duì)Voronoi圖生成算法的研究主要是離散法的研究。

Voronoi圖離散生成算法的核心問(wèn)題是生成面上兩點(diǎn)間距離的計(jì)算。典型的距離有Euclid距離、Manhattan距離等，這些距離計(jì)算的前提是生成面上任意點(diǎn)對(duì)距離的影響權(quán)相等，即距離僅由兩點(diǎn)的空間位置確定，而不考慮其他屬性對(duì)距離的影響。在實(shí)際的應(yīng)用中（例如地學(xué)、城市規(guī)劃等），空間點(diǎn)所承載的信息量除了空間位置外，還有高程、人口密度、交通狀況等因素，這些因素都會(huì)對(duì)Voronoi圖的離散生成中距離的計(jì)算產(chǎn)生影響。

本文給出了粗糙域Voronoi圖的定義并對(duì)其生成算法進(jìn)行了研究，實(shí)現(xiàn)了粗糙域Voronoi圖的離散生成，同時(shí)對(duì)粗糙域Voronoi圖在母點(diǎn)加權(quán)、生成面障礙等方面的擴(kuò)展提供了有價(jià)值的思路。

2 粗糙域Voronoi圖

2.1 Voronoi圖的數(shù)學(xué)定義

Voronoi圖是根據(jù)已知點(diǎn)集（母點(diǎn)）對(duì)生成面的一種分割，其數(shù)學(xué)定義如下[2]：

定義1設(shè) pi(i=1，2，…，n)為二維歐式空間（平面）上的n個(gè)互不相同的點(diǎn)。將由：

所給出的對(duì)平面的分割，稱(chēng)為以 pi(i=1，2，…，n)為母點(diǎn)（或生成元）的Voronoi圖，簡(jiǎn)稱(chēng)V-圖，其中d(p，pi)為點(diǎn) p與 pi間的Euclid距離。

在V-圖中，生成面被母點(diǎn)間的垂直平分線(xiàn)（段）分割成不相交的n各部分，如圖1所示。生成面的分割線(xiàn)稱(chēng)為V-邊，V-邊的交點(diǎn)稱(chēng)為V-點(diǎn)，包含母點(diǎn)的不多于n-1條邊的凸多邊形區(qū)域稱(chēng)為母點(diǎn)的V-域。V-邊是兩母點(diǎn)間垂直平分線(xiàn)的一部分。

圖1 Voronoi圖

2.2 粗糙域的定義

一般V-圖的生成面為普通二維歐式平面（D），平面上兩點(diǎn)間的距離是兩點(diǎn)空間位置的函數(shù)，即

而在實(shí)際的應(yīng)用中（例如地學(xué)、城市規(guī)劃等），空間點(diǎn)所承載的信息（空間點(diǎn)的某屬性）是復(fù)雜的，這些信息可能對(duì)兩點(diǎn)間距離的計(jì)算產(chǎn)生影響，這時(shí)，兩點(diǎn)間的距離看成是包含兩點(diǎn)空間位置在內(nèi)的各種影響因素的函數(shù)，即

其中，w1、w2分別為 p1、p2兩點(diǎn)對(duì)距離的影響權(quán)。由此給出粗糙域的定義。

定義2在某二維區(qū)域D內(nèi)，若各點(diǎn)所承載的某屬性值不同，稱(chēng)為區(qū)域D在此屬性值上是粗糙的，把區(qū)域D稱(chēng)為基于此屬性值的粗糙域。

圖2是模擬的基于某屬性值的粗糙域，粗糙域中各點(diǎn)的屬性值由各點(diǎn)的灰度值表示。

2.3 粗糙域V-圖的數(shù)學(xué)定義

生成面基于粗糙域的V-圖稱(chēng)為粗糙域V-圖。由于粗糙域中空間點(diǎn)對(duì)距離的影響權(quán)不同，所以在V-圖的定義中以帶權(quán)距離W(p，pi)來(lái)代替歐式距離d(p，pi)。W(p，pi)為基于某種搜索算法所獲得的路徑。根據(jù)V-圖的一般定義，可知W(p，pi)為 p和 pi兩點(diǎn)間的最優(yōu)路徑。粗糙域V-圖數(shù)學(xué)定義如下：

定義3設(shè) pi(i=1，2，…，n)為粗糙域上的n個(gè)互不相同的點(diǎn)。將由：

圖2 模擬的基于某種屬性值的粗糙域（粒度8×8）

所給出的對(duì)粗糙域的分割，稱(chēng)為以 pi(i=1，2，…，n)為母點(diǎn)（生成元）的粗糙域V-圖。在粗糙域V-圖中，粗糙域被分割成不相交的n個(gè)部分，由于受粗糙域粗糙特性的影響，V-邊為不規(guī)則曲線(xiàn)（段），如圖3所示。

圖3 粗糙域V-圖

3 粗糙域Voronoi圖的離散生成算法

3.1 基本思路

根據(jù)粗糙域V-圖的數(shù)學(xué)定義可知，某母點(diǎn)的V-域是到本母點(diǎn)的最優(yōu)路徑長(zhǎng)度比到其他母點(diǎn)的最優(yōu)路徑長(zhǎng)度都短的點(diǎn)的集合。對(duì)于粗糙域上任意點(diǎn)p，如果能使用某種最優(yōu)路徑搜索算法，計(jì)算出點(diǎn)p到所有母點(diǎn)的最優(yōu)路徑，點(diǎn)p就屬于最優(yōu)路徑最短的母點(diǎn)的V-域。所以粗糙域V-圖的離散生成算法的關(guān)鍵是低復(fù)雜度且高效的最優(yōu)路徑搜索算法的選擇。

A*算法是目前最流行的最優(yōu)路徑搜索算法[7]，在粗糙域Voronoi圖的離散生成算法中，最優(yōu)路徑搜索算法選擇A*算法。

3.2 A＊算法

A*算法[8-10]是在寬度優(yōu)先搜索基礎(chǔ)上的一種啟發(fā)式有序搜索算法。所謂啟發(fā)式搜索就是在狀態(tài)空間中，對(duì)每一個(gè)搜索的位置進(jìn)行評(píng)估，得到最好的位置，再?gòu)倪@個(gè)位置向下進(jìn)行搜索直到目標(biāo)。在啟發(fā)式搜索中，對(duì)位置的評(píng)估用估價(jià)函數(shù)來(lái)表示。A*算法的算法思想可以表示為：假設(shè)有一個(gè)估價(jià)函數(shù)F，它是狀態(tài)空間中節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的實(shí)值函數(shù)。在最優(yōu)路徑搜索過(guò)程中，并不是把所有可能的節(jié)點(diǎn)全部展開(kāi)，而是利用這個(gè)特定的估價(jià)函數(shù)F對(duì)所有沒(méi)有展開(kāi)的節(jié)點(diǎn)逐個(gè)進(jìn)行評(píng)估，從而找出最可能被展開(kāi)的節(jié)點(diǎn)將其展開(kāi)，直到找到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)為止。估價(jià)函數(shù)的定義如下：

其中，F(xiàn)(n)為起始節(jié)點(diǎn)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)間通過(guò)節(jié)點(diǎn)n的最優(yōu)路徑的代價(jià)。g(n)為從起始節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)n的最優(yōu)路徑代價(jià)。h(n)為節(jié)點(diǎn)n到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的代價(jià)估計(jì)。

在最優(yōu)路徑搜索過(guò)程中，為了增強(qiáng)估價(jià)函數(shù)的適應(yīng)性和搜索效率，常常將估價(jià)函數(shù)乘以一權(quán)值W，即h*=h×W。權(quán)值W的確定沒(méi)有明確的規(guī)則，往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。這樣的不利結(jié)果是對(duì)W的精確度把握不夠，不能在低復(fù)雜度條件下獲得路徑的最優(yōu)結(jié)果，無(wú)法滿(mǎn)足實(shí)時(shí)最優(yōu)路徑搜索的需求。而在粗糙域V-圖的離散生成算法中，要進(jìn)行多次最優(yōu)路徑搜索，所以快速、準(zhǔn)確確定估價(jià)函數(shù)的最優(yōu)權(quán)十分重要。

3.3 A＊算法估價(jià)函數(shù)最優(yōu)權(quán)值的確定

基于粗糙域的最短路徑與粗糙域的粗糙特性有關(guān)。在進(jìn)行最優(yōu)路徑搜索時(shí)，估價(jià)函數(shù)權(quán)值的選取直接影響所得的結(jié)果路徑是否最優(yōu)和算法的效率。為了能夠快速確定估價(jià)函數(shù)的最優(yōu)權(quán)值，進(jìn)行了以下實(shí)驗(yàn)：選取不同范圍、不同粗糙程度、不同粗糙分布的區(qū)域，通過(guò)制定不同的估價(jià)函數(shù)、改變估價(jià)函數(shù)的權(quán)值計(jì)算最優(yōu)路徑，通過(guò)分析，確定最優(yōu)權(quán)值與粗糙區(qū)域粗糙特性的關(guān)系。

3.3.1 算法步驟

（1）計(jì)算機(jī)模擬基于某種屬性值的粗糙域，用灰度值表示屬性值（如圖2）。

（2）在粗糙域上確定起始點(diǎn)和終止點(diǎn)。

（3）確定估價(jià)函數(shù)。

（4）給定某權(quán)值W，進(jìn)行最短路徑搜索，記錄搜索結(jié)果，并記錄搜索的點(diǎn)數(shù)和路徑的總長(zhǎng)度。

（5）改變權(quán)值W，重復(fù)（4）。

（6）改變估價(jià)函數(shù)，重復(fù)（4）、（5）。

（7）改變粗糙域和起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，重復(fù)（2）～（5）。

3.3.2 A＊算法估價(jià)函數(shù)權(quán)值與粗糙域粗糙特性的關(guān)系

通過(guò)實(shí)驗(yàn)，對(duì)A*算法估價(jià)函數(shù)權(quán)值與粗糙域粗糙特性的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，以下是一組典型實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

以8×8粒度、屬性值波動(dòng)范圍在0～200產(chǎn)生隨機(jī)粗糙域，估價(jià)函數(shù)采用Manhattan距離。實(shí)驗(yàn)中估價(jià)函數(shù)的權(quán)值取值1～50，進(jìn)行50次最優(yōu)路徑搜索。圖4是實(shí)驗(yàn)采取不同權(quán)值時(shí)A*算法最優(yōu)路徑所搜情況。圖4（a）～（f）分別是估價(jià)函數(shù)權(quán)值為1、10、20、30、40、50時(shí)的最短路徑。

表1是實(shí)驗(yàn)中估價(jià)函數(shù)取不同權(quán)值進(jìn)行最優(yōu)路徑搜索的詳細(xì)數(shù)據(jù)。W為估價(jià)函數(shù)所取的權(quán)值，L為最優(yōu)路徑的長(zhǎng)度，SP為搜索的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

圖5為不同權(quán)值最優(yōu)路徑搜索的詳細(xì)數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)。X軸表示權(quán)重，Y軸表示在一定權(quán)值下計(jì)算的路徑長(zhǎng)度和搜索點(diǎn)數(shù)。

圖4 不同權(quán)值下最短路徑情況

表1 不同權(quán)值最優(yōu)路徑搜索的詳細(xì)數(shù)據(jù)

圖5 不同權(quán)值最優(yōu)路徑搜索的詳細(xì)數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分析如下：

（1）從圖5中看到，隨著估價(jià)函數(shù)權(quán)值W增大，最短路徑的長(zhǎng)度先保持不變后逐漸增大，而搜索點(diǎn)數(shù)逐漸減小。同時(shí)圖4也說(shuō)明，隨著權(quán)值W的增大，在狀態(tài)空間的搜索范圍逐漸減小，搜索范圍在從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向上有逐漸增大的趨向性。這說(shuō)明了：在實(shí)驗(yàn)中所選擇的估價(jià)函數(shù)是有效的，并且最優(yōu)路徑跟估價(jià)函數(shù)的權(quán)值相關(guān)；選擇合適的權(quán)值能夠在結(jié)果路徑保持最優(yōu)的情況下，大大降低算法的搜索點(diǎn)數(shù)，從而減小算法的復(fù)雜度。

（2）在表1中，W=19是最短路徑的長(zhǎng)度逐漸增大的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值為估價(jià)函數(shù)的最優(yōu)權(quán)，其值接近狀態(tài)空間節(jié)點(diǎn)屬性值絕對(duì)差的1/10。大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，A*算法估價(jià)函數(shù)最優(yōu)權(quán)值與粗糙域粗糙特性正相關(guān)，最優(yōu)權(quán)值均約為節(jié)點(diǎn)屬性值絕對(duì)差的1/10。

（3）根據(jù)結(jié)論（2），在實(shí)時(shí)性要求較高的應(yīng)用情境下，可以根據(jù)已獲得的狀態(tài)空間節(jié)點(diǎn)屬性值的絕對(duì)差來(lái)確定估價(jià)函數(shù)的權(quán)值W。同時(shí)考慮不同應(yīng)用對(duì)路徑是否最優(yōu)和算法復(fù)雜度的要求，在最優(yōu)權(quán)值周?chē)恍∴徲騼?nèi)調(diào)整W的取值。

圖6 一般V-圖

圖7 粗糙域V-圖

圖8 粗糙域Voronoi圖小區(qū)域誤差

3.4 粗糙域Voronoi圖的離散生成算法描述

根據(jù)粗糙域V-圖的數(shù)學(xué)定義和A*算法估價(jià)函數(shù)權(quán)值與粗糙域粗糙特性的關(guān)系，給出粗糙域V-圖離散生成算法如下：

（1）在粗糙域上設(shè)置母點(diǎn)位置和相應(yīng)V-域顏色。

（2）對(duì)粗糙域上的點(diǎn)p，根據(jù)選定的最優(yōu)路徑搜索算法，計(jì)算p到各母點(diǎn)的最優(yōu)路徑。

①計(jì)算p與母點(diǎn)作為矩形的角點(diǎn)，計(jì)算矩形范圍內(nèi)各點(diǎn)的灰度絕對(duì)差。

②根據(jù)矩形區(qū)域灰度絕對(duì)差確定A*算法估價(jià)函數(shù)權(quán)值。

③A*算法進(jìn)行最優(yōu)路徑搜索。

④對(duì)所有母點(diǎn)重復(fù)①、②、③。

（3）比較 p點(diǎn)到各母點(diǎn)最優(yōu)路徑的大小，確定 p點(diǎn)屬于最優(yōu)路徑最小的母點(diǎn)的V-域，并將 p設(shè)定為本母點(diǎn)V-域的顏色。

（4）重復(fù)（2）、（3），直到粗糙域上所有點(diǎn)計(jì)算完畢。

（5）根據(jù)所設(shè)定的各母點(diǎn)V-域不同的顏色值，抽取V-邊和V-域。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在MS.NET 2005平臺(tái)下開(kāi)發(fā)程序，實(shí)現(xiàn)了粗糙域V-圖的離散生成。系統(tǒng)硬件配置為：Inter?CoreTM2 Duo CPU P8600@2.4 GHz；2.0 GB RAM。

圖6是不考慮其粗糙特性生成的一般V-圖，圖7是生成的粗糙域V-圖，與一般V圖相比，粗糙域V-圖的V-邊為任意曲線(xiàn)（段）且V-邊的形狀與母點(diǎn)的位置和粗糙域特性相關(guān)。

由A*算法估價(jià)函數(shù)最優(yōu)權(quán)值與粗糙域粗糙特性的關(guān)系（2.3節(jié)），根據(jù)粗糙域特性獲得估價(jià)函數(shù)的最優(yōu)權(quán)值，使得A*算法的復(fù)雜度遠(yuǎn)小于O(n2)，對(duì)于母點(diǎn)個(gè)數(shù)為M的粗糙域V-圖的離散生成，其算法復(fù)雜度則遠(yuǎn)小于O(n2×M)。

表2是不同母點(diǎn)個(gè)數(shù)，在不同大小、隨機(jī)生成的粗糙生成面下，使用A*算法和優(yōu)化A*算法生成粗糙域V-圖的生成時(shí)間及優(yōu)化率的比較。從結(jié)果數(shù)據(jù)可以看出，在粗糙域V-圖離散生成的過(guò)程中，由于采用了優(yōu)化算法，獲得了A*算法估價(jià)函數(shù)的最優(yōu)權(quán)值，使得進(jìn)行每一次最優(yōu)路徑搜索的時(shí)間復(fù)雜度降低，最終導(dǎo)致粗糙域V-圖離散生成算法復(fù)雜度明顯降低。

表2 粗糙域V-圖的生成時(shí)間及優(yōu)化率比較

在粗糙域V-圖離散生成過(guò)程中，根據(jù)3.3.2節(jié)中所述確定最優(yōu)權(quán)值的方法，雖然算法的時(shí)間復(fù)雜度大大降低，但有時(shí)不能獲得路徑的最優(yōu)解，這就有可能導(dǎo)致在V-邊附近某些區(qū)域在V-域歸屬上的誤判現(xiàn)象。如圖8所示，圖中中間方格部分被判定為屬于V域①。

解決這種誤判現(xiàn)象的方法是確定最優(yōu)權(quán)值W時(shí)，令其減去一小常量ε(ε＞0)，這樣算法的時(shí)間復(fù)雜度相對(duì)有所提高，但是能夠保證得到最短路徑的最優(yōu)解，從而消除V-域的誤判。

5 結(jié)論

本文提出了粗糙域V-圖的概念，為了高效實(shí)現(xiàn)粗糙域V-圖的離散生成，對(duì)粗糙域下A*算法估價(jià)函數(shù)最優(yōu)權(quán)值進(jìn)行了研究，給出了粗糙域V-圖的離散生成算法并對(duì)算法進(jìn)行了驗(yàn)證，算法的實(shí)現(xiàn)拓展了V-圖在復(fù)雜生成面條件下的應(yīng)用。例如，在商業(yè)選址中，人口密度分布，同行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)分布，交通狀況等都是應(yīng)考慮的因素，在選址過(guò)程中，可以根據(jù)各種因素構(gòu)造粗糙域，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行商業(yè)選址分析。同時(shí)本算法沒(méi)有考慮母點(diǎn)加權(quán)、生成面障礙等更為復(fù)雜的情況，需要在此方面做進(jìn)一步的研究。

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HUA Binjie,LIN Lizhong,CHAI Zhongliang

Department of Computer,Shijiazhuang University,Shijiazhuang 050035,China

Voronoi diagram is an important branch of computational geometry and Voronoi diagrams based rough area are extensions of Voronoi diagrams.In this paper,a conception of Voronoi diagram based rough area is proposed and it is generated with the minimum distance between points of forming face and mother-points which is calculated out using A-star algorithm.For reducing the complexity of generating algorithm,a research on relation between weight of evaluation function of A-star algorithm and character of rough area is launched.Experimental results show that the optimal weight of evaluation function positively correlates with the roughness characteristics of rough area.Based on this,the optimal weight of A-star algorithm is obtained and the complexity of generating algorithm of Voronoi diagrams based rough area is remarkably reduced.

Voronoi diagram;rough area;A-star algorithm;evaluation function;optimal weight

Voronoi圖是計(jì)算幾何的一個(gè)重要分支，粗糙域Voronoi圖是Voronoi圖概念在復(fù)雜生成面上的擴(kuò)展。提出了粗糙域Voronoi圖的概念并利用A*算法計(jì)算生成面上點(diǎn)與各母點(diǎn)的最短路徑對(duì)其進(jìn)行離散生成。為了降低粗糙域Voronoi圖離散生成算法的復(fù)雜度，對(duì)粗糙域下A*算法估價(jià)函數(shù)權(quán)值與粗糙域粗糙特性的關(guān)系進(jìn)行了深入探索。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，A*算法估價(jià)函數(shù)權(quán)值與粗糙域粗糙特性正相關(guān)，并以此獲得A*算法估價(jià)函數(shù)的最優(yōu)權(quán)，大大降低了粗糙域Voronoi圖離散生成算法的復(fù)雜度。

Voronoi圖；粗糙域；A*算法；估價(jià)函數(shù)；最優(yōu)權(quán)

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1203-0245

HUA Binjie,LIN Lizhong,CHAI Zhongliang.Research on discrete generation algorithm of Voronoi diagram based rough area.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：191-194.

河北省科技型中小企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新基金（No.11C1303111004）。

滑斌杰（1974—），男，工程師，主要研究方向：圖形圖像處理；林立忠（1964—），男，副教授，主要研究方向：軟件工程；柴忠良（1961—），男，高級(jí)工程師，主要研究方向：人工智能、模式識(shí)別。E-mail：hbj.king.1974@163.com

2012-03-13

2012-06-25

1002-8331（2013）23-0191-04

◎信號(hào)處理◎