小波SVM核函數(shù)法在滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用

高朋飛, 許同樂(lè)，侯蒙蒙，郎學(xué)政，李磊

(1.山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049；2.山東信遠(yuǎn)集團(tuán)有限公司，山東 萊陽(yáng) 265200)

故障軸承的振動(dòng)信號(hào)包含了故障特征信息，而且便于采集，因此振動(dòng)信號(hào)分析成為故障診斷的有效手段之一[1-3]。小波分析不僅能對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，還能對(duì)信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步分解，提取不同頻段的故障特征，在信號(hào)處理領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的模式識(shí)別方法，其克服了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)選擇困難、容易陷入局部極小值等問(wèn)題，并能很好地解決小樣本學(xué)習(xí)問(wèn)題，已應(yīng)用于許多領(lǐng)域[4-7]。

在此，提出了一種基于小波分析的SVM滾動(dòng)軸承故障診斷方法，通過(guò)小波分析提取軸承的尺度能量譜,建立故障特征向量集，然后將其作為SVM的訓(xùn)練樣本，并用改進(jìn)的SVM核函數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，獲得故障分類(lèi)模型，最后用該分類(lèi)模型對(duì)未知故障信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)分類(lèi)。

1 基于小波分析的故障特征提取

采用小波閾值方法進(jìn)行降噪，對(duì)降噪后的信號(hào)進(jìn)行小波變換，可以得到信號(hào)的故障特征。設(shè)f(t)為有限能量函數(shù)，即f(t)∈L2(R)，則該函數(shù)的小波變換定義為

(1)

根據(jù)能量守恒可得

(2)

式中：Cψ為小波的容許條件；ω為頻率。

則f(t)在尺度a上的能量為

(3)

E(a)稱為尺度-小波能量譜，它反映了信號(hào)能量隨尺度的變化情況。

為了更好的分析和表征信號(hào)的能量特征，采用各個(gè)頻段能量在總能量Esum中所占的比例A(i)作為故障特征向量。選取所需要的頻率段信號(hào)，提取其尺度-小波能量譜并計(jì)算該能量大小，記為Ei，則

(4)

2 SVM故障分類(lèi)器設(shè)計(jì)

2.1 支持向量機(jī)原理

支持向量機(jī)方法建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的VC維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小原理基礎(chǔ)上，它根據(jù)有限的樣本信息在模型的復(fù)雜性與學(xué)習(xí)能力之間尋求最佳折中，使結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小，即同時(shí)最小化經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和VC維的界，以獲得最好的泛化能力[7-9]。

以二分類(lèi)為例，給定訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本集：(xi,yi),i=1,2,…,n；x∈Rd,y∈{+1,-1}。其中n為訓(xùn)練樣本數(shù)，d為每個(gè)訓(xùn)練樣本向量的維數(shù)，y為分類(lèi)標(biāo)號(hào)。如果該樣本能被一個(gè)超平面線性分開(kāi)，則該分類(lèi)超平面的方程為wx+b=0，其中w為權(quán)系數(shù)向量，b為分類(lèi)閾值。需要找到最優(yōu)超平面，使訓(xùn)練集中的所有樣本均能被該超平面正確分開(kāi)，而且支持向量與超平面之間的距離最大[9]。

在線性可分的情況下，求最優(yōu)分類(lèi)面可轉(zhuǎn)化為在滿足yi(wxi+b)≥1的條件下求w2/2的最小值問(wèn)題。此問(wèn)題可以通過(guò)求解Lagrange函數(shù)得到解決，進(jìn)而得到最優(yōu)分類(lèi)函數(shù)為

(5)

式中：αi為L(zhǎng)agrange乘子。根據(jù)f(x)的值就可以判斷x所屬的分類(lèi)。

對(duì)于非線性分類(lèi)，可以使用一個(gè)非線性映射Φ把數(shù)據(jù)樣本從原空間Rd映射到一個(gè)高維特征空間Ω，再在Ω中求最優(yōu)分類(lèi)面。根據(jù)泛函有關(guān)理論，只要一種核函數(shù)K(xi,xj)滿足Mercy條件，它就可以對(duì)應(yīng)某一變換空間的內(nèi)積，這樣在高維空間實(shí)際上只需進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，而這種內(nèi)積運(yùn)算是可以用原空間中的函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，無(wú)需知道變換Φ(x)的具體形式。此時(shí)，最優(yōu)分類(lèi)面的形式為

(6)

在機(jī)械設(shè)備故障診斷中，簡(jiǎn)單的二分類(lèi)顯然不能滿足工程實(shí)際要求，因此需要支持向量機(jī)的多分類(lèi)模型，可以分別用多個(gè)二分類(lèi)器進(jìn)行訓(xùn)練，得到多分類(lèi)模型。

2.2 新核函數(shù)

一個(gè)好的核函數(shù)不僅能夠解決樣本低維線性不可分的問(wèn)題，還能在一定程度上優(yōu)化SVM訓(xùn)練算法，縮短樣本訓(xùn)練時(shí)間。因此，選擇合適的核函數(shù)是建立最優(yōu)SVM模型的關(guān)鍵，直接影響模型的訓(xùn)練精度、訓(xùn)練速率和泛化能力[10]。目前，如何選取核函數(shù)還缺乏統(tǒng)一的理論指導(dǎo)，比較常用的核函數(shù)有4種：

(1)線性核函數(shù)，K(x,y)=xy，就是線性支持向量機(jī)采用的核函數(shù)。其僅適用于簡(jiǎn)單的線性分類(lèi)問(wèn)題，無(wú)法解決大多數(shù)復(fù)雜的非線性分類(lèi)問(wèn)題。

(2)多項(xiàng)式核函數(shù)，K(x,y)=(xy+1)d，其中d=1，2，3…，為多項(xiàng)式的階數(shù)。在特征空間維數(shù)很高時(shí)，該核函數(shù)的d值很大，將使計(jì)算量大大增加。

(3)Sigmoid核函數(shù)，K(x,y)=tanh[v(xy)+c]，其中v,c分別為比例、偏移參數(shù)。其必須在某些特定條件下才滿足對(duì)稱、半正定的核函數(shù)條件，在應(yīng)用上受到一定的限制。

(4)徑向基核函數(shù)，K(x,y)=exp{-x-y2/2σ2}，其中σ為函數(shù)的寬度參數(shù)。徑向基核函數(shù)最為常用，但σ的不同取值直接影響向量機(jī)的支持向量個(gè)數(shù)和訓(xùn)練得到的超球面的形狀，容易產(chǎn)生超球面空間不穩(wěn)定和泛化能力降低等問(wèn)題，而且對(duì)于不同的訓(xùn)練樣本，問(wèn)題的出現(xiàn)形式也不同，其應(yīng)用也存在一定的局限性。

為此，提出一種新的核函數(shù)

z=max‖x-y‖。

(7)

新核函數(shù)滿足Mercy條件且結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單，當(dāng)訓(xùn)練樣本維數(shù)較多時(shí)，計(jì)算量也較小。而且核參數(shù)z不需賦值，而是取決于數(shù)據(jù)樣本，可以根據(jù)樣本輸入自動(dòng)調(diào)整，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)訓(xùn)練，解決了徑向基核函數(shù)中σ的選擇問(wèn)題，適用于大部分復(fù)雜非線性分類(lèi)問(wèn)題。

為驗(yàn)證新核函數(shù)的優(yōu)越性，對(duì)不同核函數(shù)的SVM模型進(jìn)行了仿真分析。由仿真結(jié)果可知，與其他核函數(shù)相比，新核函數(shù)顯著提高了訓(xùn)練精度，預(yù)測(cè)分類(lèi)準(zhǔn)確率也較高，說(shuō)明該模型有較好的學(xué)習(xí)能力和泛化能力。

2.3 小波尺度-能量譜SVM故障診斷模型

小波尺度-能量譜SVM故障診斷的原理圖如圖1所示，首先，對(duì)獲得的故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，應(yīng)用小波分析進(jìn)行降噪，對(duì)降噪后的信號(hào)進(jìn)行小波分解與重構(gòu)，提取故障信號(hào)的小波-尺度能量譜，并建立故障特征向量集；然后，以此特征向量集作為SVM訓(xùn)練的輸入樣本，應(yīng)用提出的新SVM核函數(shù)對(duì)故障特征進(jìn)行訓(xùn)練，通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)使準(zhǔn)確率符合要求，繼而建立SVM故障診斷模型；最后，將未知樣本數(shù)據(jù)輸入診斷模型，再進(jìn)行預(yù)測(cè)分類(lèi)并輸出相應(yīng)的診斷結(jié)果，從而實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承的故障診斷。

圖1 小波尺度能量譜SVM故障診斷原理

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 信號(hào)提取

試驗(yàn)軸承型號(hào)為6004zz，內(nèi)徑為20 mm，外徑為42 mm，寬度為12 mm，鋼球個(gè)數(shù)為9，鋼球直徑為6.35 mm。外圈固定，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)。故障模式為單一故障，其中內(nèi)圈與外圈故障為裂紋，分布在溝道處，長(zhǎng)約1 mm；鋼球故障是在其表面切掉了一小部分，不影響正常滾動(dòng)。

在試驗(yàn)臺(tái)軸承基座的水平方向和垂直方向上布置2個(gè)振動(dòng)測(cè)試點(diǎn)，加速度傳感器安裝在電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)端，測(cè)量軸承振動(dòng)加速度信號(hào)。為獲取軸承故障的相關(guān)數(shù)據(jù)，試驗(yàn)臺(tái)上分別進(jìn)行了正常及3種典型故障的模擬試驗(yàn)。試驗(yàn)數(shù)據(jù)均進(jìn)行多次采集，試驗(yàn)采樣頻率為12 kHz，軸承轉(zhuǎn)速為1 750 r/min。

軸承振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域圖如圖2所示，可以看出，故障信息非常不明顯，基本上都被噪聲淹沒(méi)，無(wú)法識(shí)別是否存在故障以及故障類(lèi)型。如果對(duì)其直接進(jìn)行頻譜分析，診斷效果不是很好。

圖2 不同故障類(lèi)型軸承的振動(dòng)信號(hào)

對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，應(yīng)用小波閾值方法對(duì)振動(dòng)信號(hào)降噪，去除大部分噪聲；然后采用db4小波基對(duì)信號(hào)做4層小波包分解，得到表征故障特征的尺度能量譜，也就是信號(hào)的能量系數(shù)比，如圖3所示。

圖3 不同故障類(lèi)型軸承的故障特征對(duì)比

由圖3可知，不同故障的能量特征譜有明顯的差別。正常軸承的能量大多分布在低頻段，高頻段能量很??；外圈故障軸承由于受到振動(dòng)沖擊，在高頻段有很高的能量，低頻段也有小部分能量；內(nèi)圈故障軸承的高、低頻段各有一部分能量，但能量分布比較集中；鋼球故障軸承在高頻段能量分布較集中，低頻段能量分布則趨于分散；因此，提取軸承各個(gè)頻段的能量，將其進(jìn)行歸一化等處理后作為故障特征向量集，然后應(yīng)用SVM方法可以對(duì)故障特征進(jìn)行預(yù)測(cè)和分類(lèi)。

3.2 數(shù)據(jù)處理

為避免樣本數(shù)據(jù)差距過(guò)大對(duì)分類(lèi)預(yù)測(cè)的影響，必須對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化預(yù)處理，將其線性調(diào)整到[-1,+1]區(qū)間。

隨機(jī)選取參數(shù)是利用程序隨機(jī)選取懲罰參數(shù)和核參數(shù)，當(dāng)有多組懲罰參數(shù)對(duì)應(yīng)于最高分類(lèi)準(zhǔn)確率時(shí)，選取最小的一組作為最佳懲罰參數(shù)，因?yàn)檫^(guò)高的懲罰參數(shù)會(huì)導(dǎo)致過(guò)學(xué)習(xí)狀態(tài)的發(fā)生，即訓(xùn)練集分類(lèi)準(zhǔn)確率很高而測(cè)試集分類(lèi)準(zhǔn)確率很低，也就是說(shuō)分類(lèi)器的泛化能力降低。

為了得到比較理想的分類(lèi)準(zhǔn)確率，采用交叉驗(yàn)證(Cross Validation，CV)的方法對(duì)懲罰參數(shù)和核函數(shù)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，選取準(zhǔn)確率最高的一組作為模型的參數(shù)。交叉驗(yàn)證即將原始數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練集和驗(yàn)證集2組數(shù)據(jù)，依次使用訓(xùn)練集和驗(yàn)證集對(duì)分類(lèi)器進(jìn)行訓(xùn)練和驗(yàn)證，以分類(lèi)準(zhǔn)確率作為分類(lèi)器的性能指標(biāo)。

從軸承故障信號(hào)中選取320組數(shù)據(jù)。其中160組數(shù)據(jù)(每種故障類(lèi)型選取40組)作為故障的訓(xùn)練樣本，剩余160組數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本。為驗(yàn)證新核函數(shù)分類(lèi)模型的學(xué)習(xí)能力和泛化能力，分別應(yīng)用新核函數(shù)和徑向基核函數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練,然后再用測(cè)試樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 不同核函數(shù)SVM診斷模型的分類(lèi)準(zhǔn)確率

從表1可知，對(duì)于徑向基核函數(shù)SVM模型，未經(jīng)優(yōu)化訓(xùn)練的分類(lèi)模型由于發(fā)生了過(guò)學(xué)習(xí)和欠學(xué)習(xí)，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率不高，為80%左右；而采用CV進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化后，準(zhǔn)確率稍有提高，但仍不足以用于模式識(shí)別與故障診斷。

而新核函數(shù)在樣本維數(shù)較多時(shí)，有很好的空間穩(wěn)定性。表中未優(yōu)化參數(shù)時(shí)，準(zhǔn)確率同樣不高；而優(yōu)化后的參數(shù)訓(xùn)練模型的分類(lèi)準(zhǔn)確率有顯著提高，160個(gè)樣本中僅有11個(gè)樣本被誤識(shí)別。由此可見(jiàn)，新核函數(shù)訓(xùn)練得到的模型不僅有很好的學(xué)習(xí)能力，也具有較好的容錯(cuò)能力和泛化能力，在故障分類(lèi)方面比徑向基核函數(shù)更優(yōu)越。

4 結(jié)束語(yǔ)

利用提出的新SVM核函數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，并采用交叉驗(yàn)證的方法對(duì)訓(xùn)練參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，有效的克服了過(guò)學(xué)習(xí)和欠學(xué)習(xí)的發(fā)生，并獲得了更高的準(zhǔn)確率，更好的學(xué)習(xí)能力和泛化能力，能夠有效的對(duì)軸承故障進(jìn)行分類(lèi)。但是對(duì)于工業(yè)環(huán)境中的故障軸承而言，故障振動(dòng)信號(hào)本身具有復(fù)雜性，該方法能否準(zhǔn)確診斷還需作進(jìn)一步研究。