圓柱與剛性平面Hertz接觸的臨界參數(shù)計算

官春平

(廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣州 510300)

圓柱滾子軸承可以承受較大徑向載荷，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于如車輛齒輪箱、機床主軸、減速機以及起重運輸機械等比較惡劣的工況中。工程實踐表明，Hertz接觸理論對于滾動軸承的分析具有足夠的計算精度[1-5]。對于圓柱滾子軸承，在正常工況下處于彈性接觸狀態(tài)，其接觸寬度遠(yuǎn)小于接觸長度，根據(jù)圣維南原理，通過假設(shè)接觸應(yīng)力沿滾子素線均勻分布，可以將其接觸簡化為圓柱與平面的接觸模型[6]。1907年，Stribeek R 應(yīng)用Hertz彈性接觸理論建立了滾子軸承在承受徑向載荷下的靜力學(xué)分析模型，獲得了滾子最大接觸載荷Qmax與徑向載荷Fr之間的關(guān)系。但在非正常工況下，軸承可能超載運行，此時接觸狀態(tài)可能會發(fā)生改變，即由Hertz彈性接觸狀態(tài)向彈塑性接觸甚至塑性接觸狀態(tài)改變；如果軸承長期處于彈塑性甚至塑性接觸狀態(tài)，將會嚴(yán)重影響軸承的壽命和傳動精度；因此，研究圓柱與平面Hertz接觸的臨界參數(shù)很有意義。

1 圓柱與平面彈性接觸理論

根據(jù)Hertz理論，圓柱與平面彈性接觸時，其接觸區(qū)域可以簡化為長度為L，寬度為2a的矩形，如圖1所示。接觸應(yīng)力p分布呈半橢圓柱體形[7]，其為

圖1 圓柱與平面Hertz接觸示意圖

(1)

式中：x為接觸點距接觸中心的徑向距離；F為外部載荷。

當(dāng)x=0時，即接觸區(qū)域的中心處所受到的接觸應(yīng)力最大，其為

(2)

式中：E*為等效彈性模量，E*=E/(1-ν2)；E為彈性模量；ν為泊松比；R為圓柱體半徑。

位于半橢圓柱體中心對稱面z軸上點的正應(yīng)力和主剪應(yīng)力分別為

(3)

(4)

(5)

(6)

τyz=τzx=0。

(7)

根據(jù)接觸應(yīng)力與載荷之間的關(guān)系，可得接觸半寬a為

(8)

Puttock采用數(shù)學(xué)簡化的方法，推導(dǎo)出圓柱的壓下位移的近似解析式為[8]

(9)

2 臨界參數(shù)計算

根據(jù)圖1所示的坐標(biāo)，采用最大接觸應(yīng)力p0對z軸上各點的正應(yīng)力場進(jìn)行無量綱化，并且令ξ=z/a，則(3)～(7)式所表示的正應(yīng)力和主剪應(yīng)力分別變換為

(10)

(11)

(12)

(13)

從(10)～(12)式可以發(fā)現(xiàn)：σx和σz與泊松比ν無關(guān)，但σy與泊松比ν相關(guān)。z軸上的無量綱應(yīng)力σx/p0，σy/p0，σz/p0與無量綱位置ξ及泊松比ν之間的關(guān)系曲線如圖2所示。從圖2中可以看出，在接觸中心z軸上的所有正應(yīng)力均為壓應(yīng)力；當(dāng)ξ<1時，σx，σy和σz的值隨深度的增加而快速增大，但泊松比ν的大小對σy值增大的速度有很大影響，在0<ξ<1區(qū)域，當(dāng)ν=0.5時，σy/p0的變化率大約有60%，而當(dāng)ν=0.1時，σy/p0的變化率卻不到10%；當(dāng)ξ>1時，σx值的變化較小，且最后趨近于0，而σz值隨ξ增大而繼續(xù)增大；隨著泊松比ν的減小，材料的可壓縮性增大，使得σy值隨之增大(這里的σx，σy和σz均為壓應(yīng)力，其值的增大實際為壓應(yīng)力的減小)。

圖2 無量綱應(yīng)力與無量綱位置ξ及泊松比ν之間的關(guān)系

在彈性接觸過程中，接觸應(yīng)力隨著載荷F的增大而增大，最終達(dá)到甚至超過材料的屈服強度Y。根據(jù)von Mises屈服準(zhǔn)則[9]，z軸上點的屈服應(yīng)力為

(14)

將(10)～(13)式代入(14)式中，有

(15)

(15)式表明材料的變形狀態(tài)(彈性或塑性)與材料所處的位置ξ和材料的泊松比ν有較大關(guān)聯(lián)，其關(guān)系曲線如圖3所示。從圖中可以看出：隨著泊松比ν的增大，無量綱屈服應(yīng)力σs/p0減小，即材料越容易屈服，而且最先發(fā)生屈服點的位置由接觸中心的正下方向接觸區(qū)域內(nèi)部轉(zhuǎn)移；當(dāng)ν<0.194時，在接觸中心表面的材料最先開始屈服；當(dāng)ν=0.194時，屈服點出現(xiàn)在ξ=0和ξ=0.58處；而當(dāng)ν>0.194時，最先發(fā)生屈服的點已向接觸內(nèi)部轉(zhuǎn)移，出現(xiàn)在接觸中心的正下方，即圓柱體中心對稱面上；當(dāng)ν=0.3時，在ξ=0.7處最先開始屈服。當(dāng)材料出現(xiàn)屈服現(xiàn)象時，此時的圓柱壓入位移δc即為材料發(fā)生屈服時的臨界壓入位移。

圖3 泊松比ν和位置ξ對屈服應(yīng)力σs的影響

將(15)式對于ξ進(jìn)行微分，并令該等式為0，即可得到材料發(fā)生屈服時的無量綱位置ξ0=z0/a，即

(16)

由于(16)式為超越方程，比較復(fù)雜，因此采用數(shù)值方法求解。圖4為(16)式的擬合曲線。從圖中可見，在材料發(fā)生屈服時，其擬合函數(shù)關(guān)系為

圖4 (16)式的擬合曲線

ξm=-2.393 5ν2+2.322 6ν+0.221 6 ，

(17)

其擬合的最大誤差為0.77%。

需注意的是，(17)式是在泊松比ν=0.194～0.5下得到的。根據(jù)圖3所示的泊松比ν對屈服應(yīng)力的影響，可以看出：當(dāng)ν<0.194時，初始屈服點位于接觸中心表面，即ξm=0。即當(dāng)

(18)

σs/p0取最大值。

將(18)式代入(15)式，得到一個超越方程，因此同樣采用數(shù)值方法進(jìn)行計算，其擬合曲線如圖5所示，擬合函數(shù)關(guān)系為

圖5 (15)式的擬合曲線

(19)

(19)式的最大擬合誤差不超過0.11%。

定義C=p0/Y，則

(20)

因此，圓柱與平面處于Hertz接觸時，出現(xiàn)臨界屈服的臨界參數(shù)為

p0c=CY，

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：p0c為臨界最大接觸應(yīng)力；ac為臨界接觸半寬；Fc為臨界載荷；δc為臨界位移。

將(9)式對載荷F進(jìn)行微分，得

(25)

因此，得到圓柱與平面Hertz接觸時的臨界法向剛度為

(26)

對于彈性模量E=207 GPa，ν=0.33，Y=355 MPa的普通45#鋼，半徑為20 mm，長度為100 mm的圓柱，根據(jù)(21)～(26)式，可計算得到其與剛性平面發(fā)生Hertz接觸的臨界參數(shù)，計算結(jié)果見表1。

表1 Hertz接觸臨界參數(shù)

3 結(jié)束語

以彈性接觸理論和彈性力學(xué)為基礎(chǔ)，分析了圓柱與剛性平面發(fā)生Hertz接觸時的應(yīng)力變化關(guān)系，結(jié)果表明材料發(fā)生屈服時的位置與材料的泊松比有較大關(guān)系。采用數(shù)值方法獲得了材料發(fā)生屈服時的位置以及接觸中心處的接觸應(yīng)力的表達(dá)式。根據(jù)Hertz接觸理論，建立了圓柱與平面接觸的臨界接觸參數(shù)計算式，依據(jù)材料的彈性模量、屈服極限、泊松比和圓柱半徑及長度，可獲得接觸區(qū)域材料發(fā)生屈服時的臨界參數(shù)。