具有BIBO穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)隨機(jī)容錯設(shè)計(jì)

周霞，鐘守銘

1.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽 236037 2.電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 611731

具有BIBO穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)隨機(jī)容錯設(shè)計(jì)

周霞1，鐘守銘2

1.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽 236037 2.電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 611731

1 引言

網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)（networked systems），是指通過網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)各元件（傳感器、控制器、執(zhí)行器等）之間信息交換的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)[1]。相對于傳統(tǒng)的點(diǎn)對點(diǎn)互連控制系統(tǒng)而言，網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)具有資源共享，系統(tǒng)布線少，成本低，交互性好，診斷能力高，安裝和維護(hù)容易，可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛地應(yīng)用于智能交通、航空航天、電氣化運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域。這些應(yīng)用對系統(tǒng)的安全性和可靠性要求很高，控制系統(tǒng)一旦發(fā)生故障，將會帶來無法估量的危害。但另一方面，由于網(wǎng)絡(luò)帶寬等資源受限，網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中存在網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延，數(shù)據(jù)丟包、亂序等問題，同時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行中還可能存在執(zhí)行器或傳感器等故障，這些因素會引起系統(tǒng)控制性能下降，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，使其具有容錯能力是現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的本質(zhì)性能要求，同時(shí)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的容錯控制及控制器的設(shè)計(jì)引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。

目前，針對網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的容錯控制及控制器的設(shè)計(jì)方面已有相關(guān)研究。文獻(xiàn)[2]研究了一類不確定網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的完整性和保性能魯棒容錯控制問題；文獻(xiàn)[3-5]研究了一類具有Markovian特性的隨機(jī)時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的容錯控制問題；文獻(xiàn)[6]建立網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的隨機(jī)模型，并研究了該模型在傳感器和執(zhí)行器失效故障情況下系統(tǒng)的隨機(jī)容錯控制問題；文獻(xiàn)[7]研究了基于觀測器的非線性連續(xù)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)容錯控制器設(shè)計(jì)問題；文獻(xiàn)[8-9]研究了一類網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題，在[8]中采用連接權(quán)矩陣分解的方法，在[9]中采用了反饋增益矩陣分解的方法；文獻(xiàn)[10]研究了具有α-穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的容錯控制器設(shè)計(jì)問題；文獻(xiàn)[11]研究了一類含有隨機(jī)擾動的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，具有均方BIBO穩(wěn)定控制器的設(shè)計(jì)問題。

以上的研究工作主要是針對網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的一般容錯控制問題，通過引入0、1常數(shù)開關(guān)矩陣來實(shí)現(xiàn)傳感器失效故障、控制器失效故障控制。而事實(shí)上，這些元器件的失效故障具有隨機(jī)性[5]，因此可以引入Bernoulli隨機(jī)變量序列作為開關(guān)矩陣更精確，從而需要研究網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的隨機(jī)容錯控制問題。另一方面，在實(shí)際問題中，往往還需要追蹤到系統(tǒng)的輸入信號，對系統(tǒng)的有界輸入和有界輸出（BIBO）穩(wěn)定性研究也很有意義，參見文獻(xiàn)[11-14]?；谝陨嫌懻摚疚膶⒀芯烤哂芯紹IBO穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的隨機(jī)容錯控制問題，給出系統(tǒng)存在傳感器失效故障和執(zhí)行器失效故障兩種情況下的均方BIBO穩(wěn)定性條件，及基于該條件下控制器的設(shè)計(jì)問題。

2 系統(tǒng)的描述和預(yù)備工作

考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延，數(shù)據(jù)丟包及錯序等非理想網(wǎng)絡(luò)狀況因素的單回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

假定被控對象為：

其中，x(k)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u(k)∈Rm為系統(tǒng)控制輸入變量，y(k)∈Rl為控制輸出變量，A、B、C為合適維數(shù)常數(shù)矩陣。為了追蹤到系統(tǒng)（1）的控制輸入，狀態(tài)反饋控制規(guī)律設(shè)計(jì)為：

其中，K為控制增益矩陣，r(k)為相應(yīng)的輸入向量，τ(k)為傳感器到控制器的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延τsa(k)與控制器到執(zhí)行器的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延為τca(k)的和，即τ(k)=τsa(k)+τca(k)。則τ(k)為時(shí)變時(shí)延，且滿足：

其中τm為網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的下界，τM為網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的上界。則閉環(huán)控制系統(tǒng)（1）可以寫為：

為了進(jìn)一步討論的需要，引入如下的定義、引理和假設(shè)。

定義1[11]向量函數(shù)稱為的元素，如果滿足，其中‖·‖表示Rm空間中Euclid范數(shù)或者矩陣范數(shù)，N[0，+∞)=[0，1，2，…)。

定義2[11]網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（1）是均方BIBO穩(wěn)定的，如果控制器設(shè)計(jì)為（2）的形式，控制輸出y(k)滿足：

其中N1、N2是正常數(shù)。

引理1[15]對任意的實(shí)向量νi∈Rn，i∈N+，有：

引理2[11]對任意的實(shí)向量x、y和合適維數(shù)的正定矩陣Q，有：

假設(shè)1傳感器采用時(shí)間驅(qū)動，執(zhí)行器和控制器都采用事件驅(qū)動。

假設(shè)2傳感器與執(zhí)行器的失效故障與網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)變量相互獨(dú)立。

假設(shè)3傳感器之間、執(zhí)行器之間及傳感器與執(zhí)行器之間的失效故障相互獨(dú)立。

3 具有均方BIBO穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的隨機(jī)容錯設(shè)計(jì)

情況1傳感器存在失效故障情況

在傳感器存在失效故障情況下，引入隨機(jī)開關(guān)矩陣序列F(k)，并把它放在反饋增益矩陣和狀態(tài)變量x(k)之間：

其中，{fi(k)}是一組相互獨(dú)立的Bernoulli隨機(jī)變量序列，fi(k)=1表示第i個傳感器正常，fi(k)=0表示第i個傳感器失效。其概率分布為：，且F可逆。

當(dāng)系統(tǒng)存在傳感器失效故障時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)（3）可改寫為：

基于式（7），可以得到如下定理。

定理1存在狀態(tài)反饋控制律（2）的隨機(jī)系統(tǒng)（7）是均方BIBO穩(wěn)定，若存在實(shí)數(shù)ρ＞0，正定對稱矩陣P、Q、R使得下列矩陣不等式成立：

其中，N1、N2為常數(shù)。根據(jù)定義2可知，具有反饋控制律（2）的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)（7）是均方BIBO穩(wěn)定的。證明完畢。

注1 由于定理1的條件中出現(xiàn)非線性項(xiàng)，不能通過LMI工具箱直接求出反饋增益矩陣，所以有下面定理。

定理2存在狀態(tài)反饋控制律（2）的隨機(jī)系統(tǒng)（7）是均方BIBO穩(wěn)定，設(shè)，如果對任意的正實(shí)數(shù)ε1、ε2、ε3，若存在正定對稱矩陣P、Q、R使得下列矩陣不等式成立：

注2在定理2中，K2的設(shè)計(jì)有一定的保守性，K1的求解需要通過根據(jù)線性矩陣不等式（21）先求出P之后才可以得到。下面試圖給出K=K1+K2的任意分解，并且K1、K2的求解可以直接通過LMI工具箱求解。得到如下定理。

定理3存在狀態(tài)反饋控制律（2）的隨機(jī)系統(tǒng)（7）是均方BIBO穩(wěn)定，對任意的對稱正定矩陣N、Φ，若存在對稱正定矩陣Q、R使得下面線性矩陣不等式成立：

其余的過程證明方法同定理1，這里不再贅述。證明完畢。

注3在定理3中的式（22）中，可以通過LMI不等式直接求解出K1、K2，從而得到控制反饋增益矩陣K。此方法得到的均方BIBO穩(wěn)定性條件保守性低，自由矩陣少，K的分解也是任意分解。

情況2執(zhí)行器存在失效故障情況

在傳感器存在失效故障情況下，引入隨機(jī)開關(guān)矩陣序列L(k)，并把它放在連接權(quán)矩陣和狀態(tài)反饋矩陣之間：

其中，{li(k)}是一組相互獨(dú)立的Bernoulli隨機(jī)變量序列，li(k)=1表示第i個執(zhí)行器正常，li(k)=0表示第i個執(zhí)行器失效。其概率分布為：，且L可逆。

當(dāng)系統(tǒng)存在執(zhí)行器失效故障時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)（3）可改寫為：

類似于定理1和定理2，針對系統(tǒng)（24）可以得到相應(yīng)定理，這里不再闡述。在此，只給出類似定理3的相關(guān)結(jié)論。

定理4存在狀態(tài)反饋控制律（2）的隨機(jī)系統(tǒng)（24）是均方BIBO穩(wěn)定，對任意的對稱正定矩陣、，若存在對稱正定矩陣、使得下面線性矩陣不等式成立：

情況3當(dāng)傳感器和執(zhí)行器同時(shí)存在失效故障情況

如同情況1和情況2，引入隨機(jī)開關(guān)矩陣序列F(k)，L(k)，則閉環(huán)系統(tǒng)（3）改寫為：

由于F(k)，L(k)，x(k)的相互獨(dú)立性，類似于定理3和定理4，可得下面定理。

定理5存在狀態(tài)反饋控制律（2）的隨機(jī)系統(tǒng)（26）是均方BIBO穩(wěn)定，對任意的對稱正定矩陣、，若存在對稱正定矩陣、使得下面線性矩陣不等式成立：

4 數(shù)值實(shí)例

考慮離散化網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（1），其參數(shù)矩陣為：

首先，考慮控制系統(tǒng)只存在傳感器失效故障情況，并假定傳感器的失效概率數(shù)學(xué)期望矩陣為：

取τm=1，τM=9，由定理3，利用Matlab LMI工具箱可以解得可行解為：

其次，考慮控制系統(tǒng)只存在執(zhí)行器失效故障情況，并假定執(zhí)行器的失效概率數(shù)學(xué)期望矩陣為：

取τm=1，τM=9，由定理4，利用Matlab LMI工具箱可以解得可行解為：

最后，考慮控制系統(tǒng)同時(shí)存在傳感器和執(zhí)行器失效故障情況，并假定傳感器失效概率數(shù)學(xué)期望矩陣和執(zhí)行器的失效概率數(shù)學(xué)期望矩陣分別為：

取τm=1，τM=9，由定理5，利用Matlab LMI工具箱可以解得可行解為：

5 結(jié)束語

本文就離散時(shí)間網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)在均方BIBO穩(wěn)定條件下，系統(tǒng)的隨機(jī)容錯控制和反饋增益矩陣的設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究。通過引入相互獨(dú)立的Bernoulli隨機(jī)變量序列作為傳感器、執(zhí)行器失效故障的開關(guān)矩陣，研究了在傳感器失效故障情況下和執(zhí)行器失效故障情況下，以及二者同時(shí)失效故障情況下的系統(tǒng)均方BIBO穩(wěn)定條件，并基于此條件給出了反饋增益矩陣的設(shè)計(jì)。文中定理1和定理2給出的穩(wěn)定性條件都需要通過對反饋增益矩陣進(jìn)行設(shè)定，通過求解出自由矩陣之后才可以得到反饋增益矩陣，而定理3、4、5可以通過LMI工具箱直接進(jìn)行求解，并得到反饋增益矩陣的任意分解。數(shù)值實(shí)例結(jié)果表明，本文的結(jié)論是有效的。

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ZHOU Xia1,ZHONG Shouming2

1.School of Mathematics and Computational Science,Fuyang Teachers College,Fuyang,Anhui 236037,China
2.College of Mathematics Science,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 611731,China

The problem of stochastic fault-tolerant control and controller design for networked systems with mean square Bounded Input Bounded Output（BIBO）stability are investigated.Considering the random phenomenon of sensor failure and actuator failure,the random sensor failure and actuator failure are modeled as independent Bernoulli random variable sequence.Combined with linear matrix inequality technology and Lyapunov stability theory,by decomposing the feedback gain matrix,the mean square BIBO stability conditions under the system existence of sensor failure and actuator failure are obtained respectively. Based on the stability conditions,random fault-tolerant controller design of the system is given.Finally,the simulation example is given to demonstrate the effectiveness of design method.

networked systems;stochastic fault-tolerant control;Bernoulli random variable sequence;mean square BIBO stability;controller design method

研究了具有均方BIBO穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的隨機(jī)容錯控制及控制器設(shè)計(jì)問題。針對網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的傳感器失效故障和執(zhí)行器失效故障均具有隨機(jī)性這一現(xiàn)象，將傳感器和執(zhí)行器的故障建模為相互獨(dú)立的Bernoulli隨機(jī)變量序列；利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，結(jié)合線性矩陣不等式技術(shù)，通過對反饋增益矩陣的分解，得到了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)存在傳感器失效故障和執(zhí)行器失效故障情況下的均方BIBO穩(wěn)定條件；基于該穩(wěn)定條件給出了系統(tǒng)隨機(jī)容錯控制器的設(shè)計(jì)。以數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性。

網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)；隨機(jī)容錯控制；Bernoulli隨機(jī)變量序列；均方BIBO穩(wěn)定；控制器設(shè)計(jì)

A

TP13

10.3778/j.issn.1002-8331.1303-0203

ZHOU Xia,ZHONG Shouming.Stochastic fault-tolerant design of networked systems with BIBO stability.Computer Engineering and Applications,2013,49（13）：26-30.

國家自然科學(xué)基金（No.11226140）；安徽省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目（No.KJ2013Z267）；阜陽師范學(xué)院自然科學(xué)基金（No.2012FSKJ08）。

周霞（1981—），女，博士，講師，主要研究方向：網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)容錯控制，隨機(jī)系統(tǒng)均方BIBO穩(wěn)定等；鐘守銘，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域：動力系統(tǒng)及定性理論。E-mail：zhouxia44185@163.com

2013-02-26

2013-04-16

1002-8331（2013）13-0026-05

CNKI出版日期：2013-04-27http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130427.1412.005.html

◎理論研究、研發(fā)設(shè)計(jì)◎