基于前景和量子理論的模糊多屬性決策方法

胡柏瑛，黃德才，陸億紅

浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)系，杭州 310023

基于前景和量子理論的模糊多屬性決策方法

胡柏瑛，黃德才，陸億紅

浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)系，杭州 310023

1 引言

從廣義上說，多目標(biāo)決策包含多屬性決策，處理多屬性決策問題有許多方法，如TOPSIS方法[1]，多屬性效用理論（Multiple Attribute Utility Theory）方法和PROMETHEE[2]方法等。在實(shí)際決策中，由于決策者的主觀性和對(duì)事物理解的局限性以及決策問題的模糊性和不確定性，導(dǎo)致方案的屬性值和屬性權(quán)重等參數(shù)不準(zhǔn)確、不確定或不完全確定[3]，因而當(dāng)前研究的一個(gè)熱點(diǎn)是模糊多屬性決策。由于Zadeh模糊理論在表示上存在局限性，即使用一個(gè)隸屬度參數(shù)來描述對(duì)象之間的關(guān)系，從而不能完全表達(dá)待研究問題的信息，學(xué)者們對(duì)其進(jìn)行了拓展。其中得到廣泛應(yīng)用的是由保加利亞學(xué)者Atanassov在1986年提出的直覺模糊集理論[4-5]。直覺模糊集的核心思想是同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息，這使得它能對(duì)事物的描述提供更多的選擇方式及更強(qiáng)的表現(xiàn)方式。但在實(shí)際操作過程中，人們發(fā)現(xiàn)難以用精確的實(shí)數(shù)來表示直覺模糊集的隸屬度、非隸屬度和猶豫度，而區(qū)間數(shù)則較容易確定。因此，Atanassov等人拓展了直覺模糊集，提出了區(qū)間直覺模糊集[6]的理論。目前主要研究其性質(zhì)、運(yùn)算及相關(guān)性等方面，對(duì)于屬性權(quán)重信息不完全且屬性值為區(qū)間直覺模糊數(shù)，并考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好的多屬性決策問題，研究得較少。在實(shí)際決策行為中，決策者通常對(duì)于方案存在主觀上的風(fēng)險(xiǎn)偏好。因此，在模糊多屬性決策模型中考慮決策者的風(fēng)險(xiǎn)心理因素，便顯得非常重要。

現(xiàn)有決策模型通常是建立在預(yù)期效用理論[7]的基礎(chǔ)上，這是一種絕對(duì)理性的決策方式。該理論的核心思想是認(rèn)為所有決策者都是“純粹理性”，在備選方案已定的情況下，備選方案的吸引程度用期望效用來表示，效用最高的備選方案為最優(yōu)方案，即期望效用最大化。但人并非絕對(duì)理性，人類復(fù)雜的心理機(jī)制會(huì)對(duì)決策行為產(chǎn)生影響。這使得期望效用理論無法解釋所有實(shí)際決策現(xiàn)象，對(duì)人的風(fēng)險(xiǎn)決策描述性效度也備受懷疑。Tversky和Kahneman通過調(diào)研，搜集了許多個(gè)體決策數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)人在模糊環(huán)境下的判斷與決策常常會(huì)偏離傳統(tǒng)理性假設(shè)，而這些偏差具有一定的規(guī)律性。他們提出的前景理論（Prospect Theory）[8]是對(duì)期望效用理論的巨大挑戰(zhàn)，在一系列的實(shí)驗(yàn)研究及算法改進(jìn)后，前景理論解釋了期望效用理論所不能解釋的決策現(xiàn)象。在模糊決策環(huán)境下，使用前景理論替代期望效用理論作為決策基礎(chǔ)，更符合人類實(shí)際的決策行為。目前，該理論已廣泛應(yīng)用于行為金融學(xué)[9]、外交[10]、交通路徑選擇[11]中。

此外，本文采用量子進(jìn)化算法來求解基于前景理論的非線性規(guī)劃決策模型。量子進(jìn)化算法（Quantum Evolution Algorithm，QEA）[12]是一種新型的基于量子理論的仿生物算法，與經(jīng)典的進(jìn)化算法（EA）相比，QEA具有如下優(yōu)點(diǎn)：群體規(guī)模較小而不影響算法的性能；更好的多樣性和全局尋優(yōu)能力；在進(jìn)化過程中利用了個(gè)體過去的歷史信息等等。

本文基于以上研究，將前景理論和量子進(jìn)化算法引入模糊多屬性決策，提出了權(quán)重信息不完全的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法。最后的算例分析驗(yàn)證了該方法的有效性和合理性。

2 前景理論及相關(guān)定義

前景（Prospect）表示不確定事件。前景理論中的前景價(jià)值由決策權(quán)重函數(shù)和價(jià)值函數(shù)共同決定[13]，即

其中，V為前景價(jià)值；π(p)為決策權(quán)重函數(shù)，是判斷概率p的單調(diào)遞增函數(shù)；v(x)為價(jià)值函數(shù)，是基于決策者風(fēng)險(xiǎn)心理因素形成的價(jià)值。

Tversky等用冪函數(shù)表示價(jià)值函數(shù)，這種形式能很好滿足決策者在面臨收益時(shí)趨向風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和面臨損失時(shí)趨向于風(fēng)險(xiǎn)追求的偏好特性，所以得到了廣泛的應(yīng)用，其具體表達(dá)式為：

其中，x是表面價(jià)值的收益或損失，收益為正，損失為負(fù)；α和β是風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度系數(shù)，當(dāng)0＜α＜1，0＜β＜1時(shí)，α、β越大則表明決策者越追求風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)α=β=1時(shí)，決策者被認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)中立；θ是損失規(guī)避系數(shù)，當(dāng)θ＞1時(shí)，表明決策者對(duì)損失更加敏感。

價(jià)值函數(shù)具有以下三個(gè)特性：

（1）收益和損失是基于參考對(duì)象而言，并非絕對(duì)的概念。即不同的參考對(duì)象會(huì)產(chǎn)生不同的數(shù)值；

（2）決策者面對(duì)收益時(shí)通常表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，面對(duì)損失時(shí)則表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)偏好；

（3）相對(duì)于收益，損失會(huì)造成決策者更大的心理波動(dòng)。

Tversky等給出的決策權(quán)重函數(shù)公式為：

其中，p為判斷概率；π為考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好的概率權(quán)重函數(shù)；γ為模型中的參數(shù)，根據(jù)實(shí)際情況賦予某一特定值。判斷概率p由決策者給出，在某些風(fēng)險(xiǎn)偏好模糊的決策中，判斷概率可能會(huì)違反概率二元互補(bǔ)關(guān)系。因此，在分析風(fēng)險(xiǎn)決策權(quán)重時(shí)，需要考慮由于決策者對(duì)模糊源的偏好及對(duì)未知概率事件的判斷所產(chǎn)生的影響。

決策權(quán)重函數(shù)有以下特性：

（1）決策權(quán)重函數(shù)不是概率，π是p的遞增函數(shù)。它不符合概率公理，也不能用來描述個(gè)人預(yù)期程度；

（2）當(dāng)p很小且π(p)＞p時(shí)，表明決策者對(duì)小概率事件過度敏感；當(dāng)p很大或適中且π(p)＜p，表明決策者忽略例行發(fā)生的事件，卻過分注意極端的小概率事件。

決策者在面對(duì)風(fēng)險(xiǎn)決策時(shí)，通常不只考慮自己最終的財(cái)富水平，而是選擇參考對(duì)象來比較是收益還是虧損。因此，可能會(huì)因?yàn)閰⒖紝?duì)象的選擇不同，使得每次決策數(shù)據(jù)隨之改變。

定義1設(shè)X是一個(gè)非空集合，稱

為直覺模糊集。其中，uA(x)和vA(x)分別為X中元素x屬于A的隸屬度uA(x)?[0，1]和非隸屬度vA(x)?[0，1]，且滿足條件0≤uA(x)+vA(x)≤1，?x∈X。p(x)=1-uA(x)-vA(x)表示X中元素x屬于A的猶豫度或不確定度。

直覺模糊集的基本組成部分是由X中元素x屬于A的隸屬度區(qū)間和非隸屬度區(qū)間組成的有序區(qū)間對(duì)構(gòu)成，稱之為區(qū)間直覺模糊數(shù)[14]。為了方便，把區(qū)間直覺模糊數(shù)一般形式記為([a，b]，[c，d])，其中[a，b]?[0，1]，[c，d]?[0，1]，b+d≤1；p(x)=1-uA(x)-vA(x)=[1-b-d，1-a-c]。

定義2兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)A1={[a1，b1]，[c1，d1]}與A2= {[a2，b2]，[c2，d2]}，如果

稱d(A1，A2)=||A1-A2||為區(qū)間直覺模糊數(shù)A1和A2的距離。顯然，d(A1，A2)越大，則A1和A2的距離就越大。特別地，當(dāng)d(A1，A2)=0，有A1=A2，即A1和A2相等。

定義3兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)A1={[a1，b1]，[c1，d1]}與A2= {[a2，b2]，[c2，d2]}，若以模糊數(shù)A1為參考對(duì)象，則模糊數(shù)A2的前景價(jià)值函數(shù)為：

3 基于前景理論的信息不完全的模糊多屬性決策步驟

對(duì)于一個(gè)權(quán)重信息不完全確定的區(qū)間直覺模糊多屬性決策問題。設(shè)A={a1，a2，…，aN}為方案集，C={c1，c2，…，cΜ}為屬性集。對(duì)方案ai∈A，按屬性cj∈C進(jìn)行測(cè)度，得到ai關(guān)于cj的屬性值為區(qū)間直覺模糊數(shù)Xij=([aij，bij]，[cij，dij])，(i=1，2，…，N;j=1，2，…，Μ)，從而得到?jīng)Q策矩陣A= (Xij)N×Μ。試確定方案集A的排序。

上述決策問題的決策步驟如下所示：

步驟1選取參考對(duì)象

前景理論的核心之一是參考對(duì)象的選取。決策者在進(jìn)行決策時(shí)，通過參照參考對(duì)象衡量收益或損失。科學(xué)研究表明，人在進(jìn)行決策行為時(shí)更重視預(yù)期與結(jié)果的差距，而不是結(jié)果本身。因此，選擇怎樣的參考對(duì)象非常關(guān)鍵。

本文以正理想方案和負(fù)理想方案[14]作為參考對(duì)象。決策矩陣A=(Xij)N×Μ的正理想方案和負(fù)理想方案分別為：

正理想方案：

負(fù)理想方案：

步驟2確定各方案屬性的收益值和損失值

由定義3可得到各屬性值的前景價(jià)值函數(shù)：

由定義2中模糊數(shù)距離公式可得到方案到正理想方案與負(fù)理想方案的距離集：

以正理想方案為參考對(duì)象，方案ai劣于正理想方案。對(duì)決策者而言，他面臨損失。根據(jù)前景理論，此時(shí)決策者傾向于風(fēng)險(xiǎn)追求。

以負(fù)理想方案為參考對(duì)象，方案ai優(yōu)于負(fù)理想方案。對(duì)決策者而言，他面臨收益。根據(jù)前景理論，此時(shí)決策者傾向于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避。

步驟3計(jì)算決策方案的正負(fù)前景值

將步驟2中的d(ai，G)和d(Ai，B)代入式（2）。

方案ai參照正理想方案，此時(shí)決策者面臨損失。將d(ai，G)代入v(x)=-θ(-x)β，得到：

方案ai參照負(fù)理想方案，此時(shí)決策者面臨收益。將d(ai，B)代入v(x)=(-x)α，得到：

由式（11）和（12）可得到方案的正前景矩陣v+和負(fù)前景矩陣v-。方案的綜合前景值為正前景值與負(fù)前景值之和，即

其中：

為決策者面對(duì)收益時(shí)的前景價(jià)值，為決策者面對(duì)損失

時(shí)的前景價(jià)值；π+(ωj)為決策者面對(duì)收益時(shí)的前景權(quán)重函數(shù)，π-(ωj)為決策者面對(duì)損失時(shí)的前景權(quán)重函數(shù)；ωj為屬性權(quán)重值。

步驟4確定權(quán)重及排序方案

對(duì)每個(gè)方案而言，其綜合前景值越大越優(yōu)。而方案的優(yōu)劣只能在統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)之下才能作比較，因此各個(gè)方案的綜合前景值必須基于同一個(gè)屬性權(quán)重向量ω=(ω1，ω2，…，ωm)。為此，建立非線性規(guī)劃模型，其目標(biāo)函數(shù)表示為：

各方案之間屬于公平競(jìng)爭(zhēng)，不存在任何偏好關(guān)系。因此可得如下非線性規(guī)劃模型：

其中H是屬性權(quán)重的不確定信息集合。

4 使用量子進(jìn)化算法求解模型

量子進(jìn)化算法（Quantum-inspired Evolutionary Algorithm，QEA）由Han等學(xué)者提出，通過結(jié)合量子計(jì)算和進(jìn)化算法得到的概率搜索尋優(yōu)算法。其核心思想[15]是利用量子疊加態(tài)和量子相干等特性，在QEA中使用量子比特編碼染色體，以當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體的信息為進(jìn)化導(dǎo)向，通過量子門更新來完成進(jìn)化搜索，從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的優(yōu)化求解。該算法與傳統(tǒng)的進(jìn)化算法相比，具有量子并行性、種群規(guī)模小、收斂速度快和全局尋優(yōu)能力強(qiáng)等特點(diǎn)，本文采用該算法求解決策模型。

量子進(jìn)化算法的流程為：

其中Q(t)代表第t代量子染色體群體，P(t)代表第t代二進(jìn)制串集合。初始化種群時(shí)，所有的量子位都被設(shè)置為相同的常數(shù)，這意味一個(gè)量子染色體的所有可能疊加態(tài)以同等的概率出現(xiàn)。在“Q(t)生成P(t)”步驟中，從[0，1]產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，如果它大于則取值1，否則取值0。在“更新Q(t)”步驟中，使用合適的量子門U(t)來更新量子染色體群體Q(t)，這樣可以使量子染色體具有更好的適應(yīng)度。一般情況下，量子門可根據(jù)實(shí)際情況來設(shè)定，常用的旋轉(zhuǎn)門為：

式中θ為旋轉(zhuǎn)角度（變異角度），它的取值可以事先設(shè)定，如文獻(xiàn)[16]中均是根據(jù)一個(gè)各種情況下的查詢表來取值，該表采用同樣的處理方式對(duì)量子染色體的各個(gè)位進(jìn)行操作。

5 數(shù)值算例

假設(shè)某軍方欲采購(gòu)火炮裝配部隊(duì)，主要考慮五項(xiàng)指標(biāo)：（1）火力突擊能力（C1）；（2）反應(yīng)能力（C2）；（3）機(jī)動(dòng)能力（C3）；（4）環(huán)境適應(yīng)能力（C4）；（5）成本（C5）?，F(xiàn)有四種系列火炮A={a1，a2，a3，a4}可供采購(gòu)，每種火炮在各屬性下的評(píng)估信息經(jīng)過統(tǒng)計(jì)和處理后，可表示為區(qū)間直覺模糊數(shù)，如表1所示，采購(gòu)部門應(yīng)如何采購(gòu)火炮。

為了確定最優(yōu)方案，下面使用本文提出的方法來作決策。

步驟1建立區(qū)間直覺模糊決策矩陣

步驟2選取參考方案

基于得分函數(shù)與精確函數(shù)可得正理想方案G和負(fù)理想方案B，即

步驟3確定各方案屬性的收益值和損失值

由定義2可得各方案與正理想方案及負(fù)理想方案的距離。

各方案到正理想方案的距離集為：

各方案到負(fù)理想方案的距離集為：

步驟4計(jì)算方案的正負(fù)前景值

將上述結(jié)果代入Tversky等[17]給出的價(jià)值函數(shù)（其中：α=0.88，β=0.88，θ=2.25)，即

可得負(fù)前景矩陣為：

可得正前景矩陣為：

步驟5使用量子進(jìn)化算法確定最優(yōu)權(quán)重

將上述正前景矩陣和負(fù)前景矩陣及式（14）和（15）代入優(yōu)化模型式（17），其中γ和δ的值同樣取文獻(xiàn)[17]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即γ=0.61，δ=0.69。

（1）初始化種群

隨機(jī)產(chǎn)生初始化種群Q(t)。Q(t)中的個(gè)體是所有狀態(tài)等概率線性疊加，即所有個(gè)體的α和β均置為，且為了使待求的屬性權(quán)重?fù)碛?位精確度，為每個(gè)個(gè)體設(shè)置7位量子比特位。設(shè)置Q(t)中有5個(gè)個(gè)體。個(gè)體的表現(xiàn)形式為：

表1 方案屬性偏好值

（2）觀測(cè)Q(t)

對(duì)種群Q(t)進(jìn)行觀測(cè)得到觀測(cè)種群P(t)，具體觀測(cè)過程為：對(duì)每一個(gè)，若在[0，1]中產(chǎn)生的一個(gè)隨機(jī)數(shù)小于，則值取為1，否則取為0，觀測(cè)種群中個(gè)體均為確定的二進(jìn)制串。

（3）修正算子

本決策模型屬于有約束條件的，要求必須滿足下列關(guān)系：

為了把有約束條件優(yōu)化轉(zhuǎn)化為無約束條件的優(yōu)化問題，就需要對(duì)變量進(jìn)行修正。

（4）評(píng)價(jià)及保存適應(yīng)度值

對(duì)P(t)中每個(gè)二進(jìn)制串進(jìn)行適應(yīng)度值評(píng)價(jià)并保存最優(yōu)個(gè)體的信息。

（5）更新量子位狀態(tài)概率

對(duì)種群中的每個(gè)量子比特，按量子旋轉(zhuǎn)門進(jìn)行量子門更新來實(shí)現(xiàn)種群的進(jìn)化。若算法已經(jīng)達(dá)到終止條件，則停止，否則進(jìn)入迭代次數(shù)t=t+1。本文使用上面提到的量子旋轉(zhuǎn)門進(jìn)化個(gè)體。

（6）獲取最優(yōu)目標(biāo)值

進(jìn)行50次仿真實(shí)驗(yàn)，終止迭代次數(shù)為100代，設(shè)定群體規(guī)模為5。最終得到的最優(yōu)權(quán)重為：

步驟6確定方案排序

各方案的最優(yōu)綜合前景值分別為：

按最優(yōu)綜合前景值從大到小的順序排列，得到方案的排序：A2＞A4＞A3＞A1。排序結(jié)果和文獻(xiàn)[18]中的排序結(jié)果完全一致。

6 結(jié)束語(yǔ)

由于前景理論能夠更真實(shí)地描述人類在模糊環(huán)境下的決策行為，因此將其引入到模糊多屬性決策中來。本文基于前景理論中價(jià)值函數(shù)和權(quán)重函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)區(qū)間直覺模糊數(shù)距離公式給出區(qū)間直覺模糊數(shù)的前景價(jià)值函數(shù)定義，并將決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好納入模糊多屬性決策，提出一種權(quán)重信息不完全的基于前景理論和量子進(jìn)化算法的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法。該方法有機(jī)地結(jié)合心理學(xué)和管理決策過程，從決策者的風(fēng)險(xiǎn)心理因素出發(fā)，科學(xué)地描述了人們?cè)谀：h(huán)境下的決策模式。本文提出的決策方法具有概念清晰、計(jì)算過程簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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HU Boying,HUANG Decai,LU Yihong

Department of Computer Application Technology,College of Computer Science and Technology,Zhejiang University of Technology,Hangzhou 310023,China

This paper presents a multi-attribute sorting method applied to problem whose information on weights is partly known and attribute values are interval intuitionistic fuzzy numbers.The method is based on prospect theory and quantum evolution algorithm.According to prospect theory and fuzzy numbers’distance formula,it defines interval intuitionistic fuzzy numbers’prospect value function.Meanwhile,it brings decision makers’risk preference of project into decision-making behavior.The nonlinear programming model based on projects’comprehensive prospect value maximization can be constructed.By putting quantum evolution algorthm,the optimal weight vector of model can be solved.The projects’comprehensive prospect values determine the order.This method is applied to fuzzy decision making environment,can meet decision makers who do not provide determining attribute weights,and fully consider risk psychological factor’s influence on decision behavior.Thus it has wide range of application value.At the end,a numerical example shows the effectiveness and feasibility of the method.

prospect theory;quantum evolution algorithm;interval intuitionistic fuzzy number;multi-attribute decision-making

針對(duì)屬性權(quán)重不完全確定且屬性偏好值為區(qū)間直覺模糊數(shù)的多屬性決策問題，提出一種基于前景理論和量子進(jìn)化算法的模糊多屬性決策方法。該方法根據(jù)前景理論及模糊數(shù)距離公式，定義區(qū)間直覺模糊數(shù)的前景價(jià)值函數(shù)，同時(shí)將決策者對(duì)方案的風(fēng)險(xiǎn)偏好納入決策行為中，以此來構(gòu)建方案綜合前景值最大化的非線性規(guī)劃模型。通過引入量子進(jìn)化算法，求解模型得出最優(yōu)權(quán)重向量。最終根據(jù)方案前景值確定出方案的排序。該方法適用于模糊決策環(huán)境，能滿足決策者不提供確定屬性權(quán)重的要求，并充分考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)心理因素對(duì)決策行為的影響，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)值算例說明了該方法的有效性和可行性。

前景理論；量子進(jìn)化算法；區(qū)間直覺模糊數(shù)；多屬性決策

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1201-0094

HU Boying,HUANG Decai,LU Yihong.Fuzzy multiple attribute decision making method based on prospect and quantum theory.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：120-124.

國(guó)家科技重大專項(xiàng)專題（No.2009ZX07318-003-01）；浙江省科技廳重大科技項(xiàng)目（No.2009C11024）。

胡柏瑛（1988—），男，碩士，主要研究領(lǐng)域?yàn)槟：龥Q策；黃德才（1958—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)槟：龥Q策、數(shù)據(jù)倉(cāng)庫(kù)和數(shù)據(jù)挖掘；陸億紅（1968—），女，副教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)檐浖碚?、決策方法、數(shù)據(jù)挖掘等。E-mail：heyhby@gmail.com

2012-01-09

2012-05-24

1002-8331（2013）18-0120-05

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