奇異混合雙曲Bézier曲線的研究

何 敏， 黃有度

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

奇異混合雙曲Bézier曲線的研究

何 敏， 黃有度

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

文章在雙曲Bézier曲線的基礎(chǔ)上加入混合奇異函數(shù)，該函數(shù)包含2個(gè)對曲線有調(diào)控能力的形狀參數(shù)；并給出奇異混合雙曲Bézier曲線的基函數(shù)及其性質(zhì)。通過圖形演示形狀參數(shù)對曲線基的調(diào)控能力和修改能力，對曲線設(shè)計(jì)有著重要的意義，該類曲線作為一種新的幾何造型工具，廣泛應(yīng)用于CAD／CAM領(lǐng)域。

雙曲Bézier曲線；奇異混合函數(shù)；超越曲線；計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)；光滑拼接

Bézier曲線和B樣條曲線是計(jì)算機(jī)輔助幾何中比較基礎(chǔ)的2類曲線［1］，它們具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在實(shí)際工程中得到了廣泛的應(yīng)用，但也存在一些不足之處，因?yàn)闃?gòu)成這些曲線的基是多項(xiàng)式基［2］，并不能表示一些非代數(shù)曲線，如圓弧、雙曲線、懸鏈線等，因此人們試圖在非多項(xiàng)式空間中尋找一組基用于非多項(xiàng)式曲線中，從而出現(xiàn)了螺旋線、雙曲Bézier曲線及代數(shù)Bézier曲線等。

給定控制頂點(diǎn)后，任何空間的一組基要通過形狀參數(shù)來控制曲線的形狀。文獻(xiàn)［3］提出了帶1個(gè)形狀參數(shù)的二次Bézier曲線的擴(kuò)展；文獻(xiàn)［4］則將其推廣成n次Bézier曲線的擴(kuò)展。文獻(xiàn)［5］在多項(xiàng)式空間中提出了一種帶多個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲線，這樣既能整體控制又能局部控制曲線形狀。文獻(xiàn)［6－7］給出了多個(gè)形狀參數(shù)雙曲Bézier曲線基的構(gòu)造方法，但用該方法在計(jì)算n次曲線基函數(shù)時(shí)，把n－1次基函數(shù)的形狀參數(shù)當(dāng)成相同的值來計(jì)算。

本文給出一種利用奇異混合函數(shù)的方法來構(gòu)造含有形狀參數(shù)的雙曲Bézier曲線基，不僅保留了雙曲Bézier曲線的一些性質(zhì)，還增加了曲線的描述能力、控制能力和修改能力。

1 奇異雙曲Bézier曲線的基

本文通過雙曲Bézier曲線的基和奇異混合函數(shù)［8］來推廣雙曲Bézier曲線，使之對曲線具有調(diào)控能力和局部修改能力。

定義1 設(shè)f（t）為［0，1］中的連續(xù)函數(shù)，若f（t）滿足：

且滿足［8］f（1－t）＝1－f（t），稱f（t）為n階奇異混合函數(shù)。

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（Computer Aided Geometric Design，簡稱CAGD）中最常用的是三次參數(shù)曲線，所以本文主要討論三次奇異混合雙曲Bézier曲線的一些性質(zhì)。給定空間一組控制頂點(diǎn)｛P0，P1，P2，P3｝，雙曲 Bézier曲線的表達(dá)式［6］為：

定義2 設(shè)f（t）為奇異混合函數(shù)，且令f（t）＝1－f（t），則稱

為奇異混合雙曲 Bézier曲線。其中，P0、P1、P2、P3為控制頂點(diǎn)；P（t）＝（t）Pi；ω1、ω2為不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)。對該式展開得：

性質(zhì)2 線性無關(guān)性。如果存在一組實(shí)數(shù)a0，a1，a2，a3，使得：

則可得a0＝a1＝a2＝a3＝0。

證明 假設(shè)存在一組不為0的a0，a1，a2，a3，使得Hi，3（t，ω1，ω2）＝0。當(dāng)t＝0時(shí)，可得a0ω1＋a1（1－ω1）＝0；當(dāng)t＝1時(shí)，可得a4ω2＋a3（1－ω2）＝0。

性質(zhì)3 端點(diǎn)性質(zhì)。

性質(zhì)4 對稱性。

證明 由奇異混合函數(shù)的性質(zhì)可證［7］。

性質(zhì)5 非負(fù)性。

證明 由奇異混合函數(shù)的性質(zhì)［8］得：0≤f（t），f（t）≤1。由已知條件0≤ω1，ω2≤1可得：

不妨設(shè)ω1≥ω2，則有：

同理可證

所以性質(zhì)5成立。

性質(zhì)6 當(dāng)ω1＝ω2＝1時(shí)，奇異雙曲Bézier曲線基退化成雙曲Bézier曲線基。

當(dāng)l＝1，奇異混合函數(shù)f（t）＝2t3－3t2＋1時(shí)，ω1、ω2取不同值時(shí)的圖形如圖1所示。

圖1 ω1、ω2取不同值時(shí)曲線基圖像

從圖1可以看出，當(dāng)ω1、ω2取不同值時(shí)，曲線的形狀會(huì)發(fā)生改變，當(dāng)ω1、ω2越接近1時(shí)，曲線的基越接近雙曲Bézier曲線的基。

2 奇異混合雙曲Bézier曲線

奇異混合雙曲Bézier曲線的表達(dá)式在定義2中已經(jīng)給出，其中｛P0，P1，P2，P3｝是控制頂點(diǎn)。奇異混合雙曲Bézier曲線的性質(zhì)如下。

性質(zhì)7 對稱性。當(dāng)參數(shù)ω1、ω2給定，由控制頂點(diǎn)｛P0，P1，P2，P3｝控制的W（t，ω1，ω2）和由控制頂點(diǎn)｛P3，P2，P1，P0｝控制的W（t，ω2，ω1）形狀完全一樣，只是方向相反。

性質(zhì)8 凸包性。由于奇異混合雙曲Bézier曲線的基具有權(quán)性和非負(fù)性，所以奇異混合雙曲Bézier曲線完全在控制頂點(diǎn)｛P0，P1，P2，P3｝的凸包內(nèi)。

性質(zhì)9 幾何不變性和仿射不變性。因?yàn)榍€的基滿足權(quán)性，曲線僅依賴控制頂點(diǎn)，而與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。

控制頂點(diǎn)相同而ω1、ω2取不同值時(shí)的奇異混合雙曲Bézier曲線如圖2所示。當(dāng)ω1、ω2改變時(shí)，曲線的形狀隨之改變，因此可以通過改變?chǔ)?、ω2的值來調(diào)控和修改曲線。在分析曲線時(shí)，需考慮曲線的端點(diǎn)位置和曲線在端點(diǎn)處的切向量。當(dāng)t＝0時(shí)，曲線經(jīng)過ω1P0＋（1－ω1）P1；當(dāng)t＝1時(shí)，曲線經(jīng)過ω2P3＋（1－ω2）P2。

曲線求導(dǎo)可求出各點(diǎn)的切向量，所以t＝0，1時(shí)，曲線的切向量分別為：

圖2 ω1、ω2取不同值時(shí)的奇異混合雙曲Bézier曲線

3 曲線的拼接

設(shè)2條曲線分別為：

因?yàn)镃0連續(xù)，即W1（1，ω1，ω2）＝W2（0，ω3，ω4），則可得：

控制頂點(diǎn)滿足（2）式的條件且當(dāng)ω2＝0.8，ω3＝0.7時(shí)，曲線的C0拼接如圖3所示。由圖3可以看出，在不同的曲線段，可用不同的形狀參數(shù)對曲線進(jìn)行控制。如果把曲線分成很多段，就可以對整個(gè)曲線進(jìn)行調(diào)控［9］。

圖3 曲線C0拼接圖

曲線的C1連續(xù)條件為：

因?yàn)棣?，2＝δ0，2＝（coshl－l）／（sinhl－l），所以可得：

由（2）式、（3）式綜合可得：

ω1＝1，ω2＝0.6，ω3＝0.8、ω4＝1時(shí)的C1拼接如圖4所示。由圖4可看出，圖4比圖3更加光順。

圖4 曲線C1拼接圖

4 曲線的應(yīng)用

當(dāng)構(gòu)成Bézier曲線的基是多項(xiàng)式基時(shí)，不能很精確地表示出圓弧、螺旋線、懸鏈線等超越曲線，所以才有代數(shù)Bézier曲線和雙曲Bézier的問世。因?yàn)殡p曲Bézier曲線為奇異雙曲Bézier曲線的特例，所以用雙曲Bézier曲線能夠畫出的圖形，奇異雙曲Bézier曲線都能畫出，也可以通過拼接畫出所要的圖像。由3條曲線拼接出來的花瓶母線和四葉草的圖形如圖5、圖6所示。

圖5 拼接的花瓶母線

圖5自下而上ω1分別取1.0、0.8、0.8，而ω2分別取0.6、0.8、1.0把圖中花瓶的母線旋轉(zhuǎn)一周就能得到花瓶。而圖6是利用C0拼接，且ω1、ω2均取0.8時(shí)的圖案。

圖6 拼接的四葉草圖像

5 結(jié)束語

本文在雙曲Bézier曲線的控制頂點(diǎn)處引入形狀控制參數(shù)，對曲線具有局部的修改能力和控制能力。當(dāng)形狀參數(shù)都退化為1時(shí)就變成雙曲Bézier曲線，所以奇異雙曲Bézier曲線不僅包含了雙曲Bézier曲線的優(yōu)點(diǎn)，還比雙曲Bézier曲線具有更大的靈活性，從而也具有更廣泛的實(shí)用性。

［1］王國瑾，汪國昭，鄭建民.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2001：1－33.

［2］蘇本躍，黃有度.CAGD中三角多項(xiàng)式曲線的構(gòu)造及其應(yīng)用［J］.合 肥 工 業(yè) 大 學(xué) 學(xué) 報(bào)：自 然 科 學(xué) 版，2005，28（1）：105－108.

［3］Han Xuli.Quadric trigonometric polynomial curves with a shape parameter［J］.Computer Aided Geometric Design，2002，19（7）：503－512.

［4］劉 植.帶多個(gè)形狀參數(shù)的廣義Bézier曲線曲面［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2010，22（5）：838－843.

［5］鄔弘毅，夏成林.帶多個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲線曲面的擴(kuò)展［J］.計(jì) 算 機(jī) 輔 助 設(shè) 計(jì) 與 圖 形 學(xué) 學(xué) 報(bào)，2005，17（12）：2607－2612.

［6］王 媛，康寶生.代數(shù)雙曲混合 H－Bézier函數(shù)及其性質(zhì)［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，36（5）：693－697.

［7］張錦秀，檀結(jié)慶.代數(shù)雙曲Bézier曲線的擴(kuò)展［J］.工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2009，6（1）：31－38.

［8］Loe K F.áB－spline：a linear singular blending B－Spline［J］.The Visual－Computer，1995，12（1）：18－25.

［9］劉 植.帶形狀參數(shù)的C2四次樣條曲線［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，27（10）：1311－1313.

Research on singular blended H－Bézier curves

HE Min， HUANG You－du
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

The singular blending function，which has two shape parameters with the control ability on the curve，is introduced into the hyperbolic Bézier（H－Bézier）curve.The basis function of singular blending H－Bézier curve as well as its properties are pointed out.The controlling ability and modification ability of shape parameter on curve base are illustrated through graphics，which has important significance to computer aided geometric design（CAGD）.As a new geometric design method，it can be widely used in CAD／CAM.

hyperbolic Bézier（H－Bézier）curve；singular blending function；transcendental curve；computer aided geometric design（CAGD）；smooth joining

TP391

A

1003－5060（2013）02－0253－04

10.3969／j.issn.1003－5060.2013.02.026

2012－03－31；

2012－06－04

何 敏（1988－），男，安徽合肥人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生；

黃有度（1949－），男，廣西賀縣人，合肥工業(yè)大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 閆杏麗）