基于兩貨棧和延期支付的零售商最優(yōu)訂貨和支付策略

楊愛峰， 楊曉琴， 胡小建

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學(xué) 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230039）

基于兩貨棧和延期支付的零售商最優(yōu)訂貨和支付策略

楊愛峰1，2， 楊曉琴1，2， 胡小建1，2

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學(xué) 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230039）

文章假設(shè)供應(yīng)商給零售商一個延期支付期限，零售商可以選擇3種支付貨款方式，在不同的支付方式下通過對利息收益和利息支出等關(guān)鍵指標(biāo)的計算，分別建立了兩貨棧的庫存模型；通過對模型的分析和求解，得出各種支付方式下的最小周期和最小成本，零售商可以根據(jù)所得結(jié)果來判斷應(yīng)該采取哪種支付方式，以及在最優(yōu)支付方式下采取的最優(yōu)訂貨策略；最后通過算例對模型進行了驗證，所得結(jié)果與實際相符合。

延期支付；兩貨棧；支付方式；庫存；最優(yōu)訂貨

很多庫存模型只考慮單個貨棧而且都假定該貨棧具有無限的容量，這顯然與實際不符，因為在現(xiàn)實中任何貨棧的容量都是有限的。同時由于多種復(fù)雜因素的存在，零售商需要存放的物品數(shù)量超出其自有貨棧容量，在此情況下零售商需考慮是租用貨棧還是再建貨棧以滿足存儲的需要，通常再建貨棧的費用大于租用貨棧的費用，為節(jié)約成本很多零售商采用了兩貨棧庫存系統(tǒng)，一個是自有倉庫（OW），另一個是租用倉庫（RW），因此理論界不斷地研究兩貨棧系統(tǒng)模型。文獻［1］首先提出了兩貨棧的庫存模型，確定了最優(yōu)訂貨量的算法；文獻［2］進一步研究了允許短缺的變質(zhì)性物品的兩貨棧模型；文獻［3］在文獻［2］的基礎(chǔ)上提出了兩貨棧生產(chǎn)批量模型；文獻［4］研究了產(chǎn)品在變質(zhì)情況下零售商的EOQ訂貨模型；文獻［5－6］對需求隨時間而變化的物品，通過考慮價格折扣而將兩貨棧系統(tǒng)作了進一步擴展；文獻［7］在通貨膨脹和允許短缺的條件下討論了變質(zhì)性物品的兩貨棧系統(tǒng)。

傳統(tǒng)的交易模式中，總是一手交錢一手交貨，但是供應(yīng)商為了激勵零售商的購買行為，通常會采取延期支付策略，即供應(yīng)商給予零售商一個延期支付期限（記為M），在延期支付期限內(nèi)，零售商可以積累其銷售收入來獲得額外的收益，若超出延期支付期限，零售商需要為庫存產(chǎn)品占用的資金支付利息。文獻［7－10］在允許購買費用滯后支付的條件下，構(gòu)造了一系列變質(zhì)性物品的兩貨棧庫存模型，都是假設(shè)零售商在延期支付期限結(jié)束時支付所有貨款，沒有分析多種支付方式的最優(yōu)策略。另外不少學(xué)者針對單貨棧研究了最優(yōu)支付方式，文獻［11］在基本EOQ模型基礎(chǔ)上研究了延期支付期限與訂貨周期之間的最優(yōu)支付時間；文獻［12－13］在物品變質(zhì)和通貨膨脹的前提條件下研究了零售商的最優(yōu)支付時間；文獻［14］研究了單貨棧中2種支付方式的最優(yōu)訂貨模型。

本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上，根據(jù)實際情況假設(shè)零售商有3種支付貨款的方式：支付方式1，零售商不在M時刻支付貨款，保持銷售收入及利息到訂貨周期結(jié)束T時刻支付所有貨款；支付方式2，零售商選擇在M時刻支付部分貨款，剩余貨款在T時刻支付（其中部分貨款包括到M時刻為止所售產(chǎn)品的銷售收入及其利息收入2部分）；支付方式3，零售商選擇在M時刻支付部分貨款，M時刻后零售商實時地用所售產(chǎn)品的銷售收入支付剩余貨款，直至支付完畢。本文在兩貨棧條件下分別討論了每種支付方式下零售商的利息收入和利息支出，從而確定了零售商訂貨的最佳周期和最小成本，因此零售商可以根據(jù)所得結(jié)果判斷采取哪種支付方式，在最優(yōu)支付方式下零售商將采用最優(yōu)庫存策略。

1 模型所用的符號和假設(shè)

本文模型所用的符號如下：D為年需求率；P為年補貨率，且P＞D；A為零售商每次訂貨的固定費用；M為供應(yīng)商給予零售商的延期支付期限；s為單位產(chǎn)品的銷售價格；c為單位產(chǎn)品的采購成本；Ie為單位時間銷售收入獲得的利息收益；Ic為單位庫存單位時間的利息支出；t1為補貨結(jié)束時刻；t2為RW中貨物銷售完的時間；OW為自有貨棧，其庫存量為W；RW為租用貨棧，其容量為無限；T為補貨周期（決策變量）；Q為周期內(nèi)總訂貨量；ho、hr分別為OW、RW中單位商品單位時間的庫存保管費用，且hr≥ho；I1（t）為RW、OW中補貨期t時刻的庫存水平，0≤t≤t1；I2（t）為OW、RW中非補貨期t時刻的庫存水平，t1≤t≤T；TC（T）為年總成本。

模型的主要假設(shè)如下：① 只考慮一種產(chǎn)品，且不允許缺貨；② 年需求率D為常數(shù)；③s＞c，Ic＞Ie，cIc＞sIe；④ 時間區(qū)間是無限的；⑤ 兩貨棧RW和OW的補貨時間是相同的，且?guī)缀鯙橥瑫r進行（即忽略從OW到RW的運輸時間和費用），補貨時先將貨物存儲在OW中，當(dāng)庫存量達到容量W時，再向RW補貨，直到補貨完成；在銷售貨物時，先銷售RW中的貨物，銷售完后再銷售OW中的貨物；⑥ 本文不討論在［0，t1］期間的貨款支付，即M＞t1。

2 模型建立

基于以上假設(shè)和分析，當(dāng)Q≤W時，零售商不需要另外租用貨棧RW，所訂購貨物可以全部存放在自有貨棧OW中，此時兩貨棧的庫存變化情況與單貨棧的庫存變化情況相同，因此將此庫存模型作為單貨棧的特殊情況，參見文獻［14］。

當(dāng)Q＞W(wǎng)時，根據(jù)OW、RW兩貨棧庫存的變化情況可分為0≤t≤t1、t1≤t≤t2和t2≤t≤T3個階段來討論，如圖1所示。

圖1 當(dāng)Q＞W(wǎng)時，RW和OW的庫存變化情況

在0≤t≤t1期間，即當(dāng)庫存水平將為0時，補貨立即開始，在補貨期間庫存水平將以速率P－D增加，直到t＝t1時零售商的庫存量達到最大時停止補貨；在t1≤t≤t2期間，銷售RW中的貨物，在t2時刻RW中庫存變?yōu)?；在t2≤t≤T期間，銷售OW中的貨物，直到OW中庫存變?yōu)?。因此它們的庫存變化如下：

對（1）式、（2）式分別求解得：

因庫存水平在t1、t2點滿足連續(xù)性，由（3）式、（4）式可得以下等式：

分別求解可得t1＝DT／P，t2＝T－W／D。

本文的最終目標(biāo)是求得零售商的最小訂貨周期和最小成本，結(jié)合模型的分析，零售商在一個訂貨周期內(nèi)的成本函數(shù)為：

其中

年庫存費用＝RW庫存費用＋OW庫存費用＝

年利息支出與年利息收益的數(shù)值依賴于零售商采用的支付方式。

2.1 支付方式1

（1）當(dāng)T≤M時，零售商不需要給供應(yīng)商支付利息，只有利息收入，如圖2所示。

年利息支出＝0，年利息收益＝sIe［Dtdt＋DTdt］／T＝sIeD（M－T／2）。

圖2 當(dāng)T≤M時的利息收益變化

（2）當(dāng)T≥M≥t2時，零售商在M時刻之前只有利息收益，在M時刻之后便有利息支出，由于剩余貨款選擇在T時刻支付，在M和T之間零售商依然可以獲得利息收益，如圖3所示。

圖3中實線部分表示利息支出變化情況，虛線部分表示利息收益變化情況。

圖3 當(dāng)T≥M≥t2時的利息支出與利息收益變化

（3）當(dāng)T＞t2≥M≥t1時，同樣零售商可以在T之前獲得利息收益，在M時刻之后支付利息，如圖4所示，圖4中實線部分表示利息支出變化情況，虛線部分表示利息收益變化情況，由于RW和OW的庫存變化不同，所以此期間的利息變化與T≥M≥t2期間的利息變化是不同的。

圖4 當(dāng)T＞t2≥M≥t1時的利息支出與利息收益變化

因此，零售商的總成本函數(shù)可總結(jié)為：

2.2 支付方式2

當(dāng)T≤M時，零售商的利息支出和利息收益與第1種支付方式相同，因此略；當(dāng)T≥M時，零售商將選擇在M點支付部分貨款，即M時刻前已銷售所得收入及其利息收入之和，即部分貨款＝sDM＋sIeDM2／2。

圖5 當(dāng)cQ－sDM－sIeDM2／2≤0時的利息收益變化

（2）如果零售商在M時刻的所有銷售收入及其利息收入不能還清所有貨款，在M時刻將用其已有的所有收入支付部分貨款，剩余貨款在T時刻支付，那么在M到T時刻，零售商還有部分的利息支出，同時還可以重新獲得部分利息收入，如圖6所示。

圖6 當(dāng)cQ－sDM－sIeDM2／2＞0時利息支出與利息收益變化

圖6中實線部分表示利息支出變化情況，虛線部分表示利息收益變化情況。即當(dāng)cQ－sDM－sIeDM2／2＞0時，有

因此，零售商的總成本函數(shù)可總結(jié)為：

2.3 支付方式3

（1）當(dāng)T≤M時，零售商的利息支出與利息收益與支付方式1相同，因此略。

（2）當(dāng)T≥M時，且cQ－sDM－sIeDM2／2≤0時，零售商的利息支出與利息收益與支付方式2相同，因此略。

（3）當(dāng)T≥M時，且cQ－sDM－sIeDM2／2＞0時，零售商將選擇在M點支付部分貨款，同時零售商根據(jù)未付的剩余貨款額及銷售收入和利息支出情況，可以確定能夠支付完所有貨款的時刻K，那么K時刻之后零售商銷售所得收入都將為純利潤，同時還有新的利息收入，不需要支付利息，如圖7所示，圖7中實線部分表示利息支出變化情況，虛線部分表示利息收益變化情況。即由＝sD（K－M），得K＝（2cQ－sIeDM2）／2sD。

因此，零售商的總成本函數(shù)可總結(jié)為：

3 模型的求解與分析

（1）對（5）式進行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因為TC1″（T）＞0，即TC1（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC1（T）在（0，M）內(nèi)存在唯一最小值點。令TC1′（T）＝0，求得：

同時為保證T1≤M，可得：Δ1＝M2（hrD2δ＋sIeD2）－2AD－（2hr－h(huán)o）W2≥0，即當(dāng)Δ1≥0時，T1是零售商的最小訂貨周期。

（2）對（6）式進行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因為TC2″（T）＞0，即TC2（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC2（T）在（M，＋∞）內(nèi)存在唯一最小值。令TC2′（T）＝0，求得：

同時由T2≥M，可得：

即當(dāng)Δ1＜0≤Δ2時，T2是零售商的最小訂貨周期。

（3）對（7）式進行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因為TC3″（T）＞0，即TC3（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC3（T）在（t2，＋∞）內(nèi)存在唯一最小值。

令TC3′（T）＝0，求得：

同時由于（T3－M）－Δ2＝2cIc［W2＋WM］＞0，即當(dāng)Δ2＜0時，T3是零售商的最小訂貨周期。

（4）對（8）式進行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因為TC4″（T）＞0，即TC4（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC4（T）在 （M，sM／c＋sIeM2／2c） 內(nèi)存在唯一最小值。令TC4′（T）＝0，求得：

同時由T4≤sM／c＋sIeM2／（2c），可得：

即當(dāng)Δ1＜0≤Δ3時，T4是零售商的最小訂貨周期。

（5）對（9）式進行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因為TC5″（T）＞0，即TC5（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC5（T）在 （sM／c＋sIeM2／2c，＋∞）內(nèi)存在唯一最小值。令TC5′（T）＝0，求得：

其中，X＝2AD＋（2hr－h(huán)o）W2＋sIcIeD2M3＋2s（Ic－Ie）D2M2；Y＝hrD2δ＋2cIcD2－sIeD2。

同時 由T5≥ （sM／c＋sIeM2／2c），可 知 當(dāng)Δ3＜0時，T5是零售商的最小訂貨周期。

（6）對（10）式進行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因為TC6″（T）＞0，即TC6（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC6（T）（在（2cT－sIeM2）／2s，＋∞）內(nèi)存在唯一最小值。令TC6′（T）＝0，求得：

即當(dāng)Δ3＜0且Δ4≥0時，T6是零售商的最小訂貨周期。

4 分析結(jié)論

（1）在支付方式1下，當(dāng)Δ1≥0時，最小周期T＊＝T1，零售商的最小成本為TC1（T1）；當(dāng)Δ1＜0≤Δ2時，最小周期T＊＝T2，零售商的最小成本為TC2（T2）；當(dāng)Δ2＜0時，最小周期T＊＝T3，零售商的最小成本為TC3（T3）。

（2）在支付方式2下，當(dāng)Δ1≥0時，最小周期T＊＝T1，零售商的最小成本為TC1（T1）；當(dāng)Δ1＜0≤Δ3時，最小周期T＊＝T4，零售商的最小成本為TC4（T4）；當(dāng)Δ3＜0時，最小周期T＊＝T5，零售商的最小成本為TC5（T5）。

（3）在支付方式3下，當(dāng)Δ1≥0時，最小周期T＊＝T1，零售商的最小成本為TC1（T1）；當(dāng)Δ1＜0≤Δ3時，最小周期T＊＝T4，零售商的最小成本為TC4（T4）；當(dāng)Δ3＜0且Δ4≥0時，最小周期T＊＝T6，零售商的最小成本為TC6（T6）。

5 算 例

設(shè)某零售商訂購某商品，根據(jù)歷史銷售數(shù)據(jù)知該物品的采購價格為c＝10，市場銷售價格為s＝15，物品的補貨率P＝6 000，OW 中ho＝0.7，RW 中hr＝1，Ic＝0.08，Ie＝0.03，若供應(yīng)商給予零售商的購買費用延期支付期M＝0.5。

根據(jù)W、A和D的變化情況，可得表1所列的數(shù)據(jù)，分別來判定最優(yōu)支付方式、最優(yōu)周期和最優(yōu)訂貨量，以及最小成本。

由表1可知，隨著需求量D的不斷增加，零售商的訂貨周期不斷在下降，訂貨庫存量不斷地增加，同時降低了零售商的總成本，增加了利潤收益。從3種不同的支付方式可以看出，支付方式1的訂貨周期較長，但訂貨成本較小，庫存較大；支付方式2和支付方式3在需求量較低時差別比較明顯，需求量大時，由于周期比較短，所以差別不明顯?？傊?，3種支付方式各有優(yōu)勢，不同的需求和庫存量情況下，它們的最優(yōu)值是不同的。為了使得整個訂貨周期內(nèi)的庫存變化達到最優(yōu)，零售商先通過判定條件來選擇最優(yōu)支付方式，再計算最佳周期和成本量是很有效的方法。

表1 W、A和D的變化對最優(yōu)訂貨與最優(yōu)支付策略的影響

6 結(jié)束語

在供應(yīng)商給予零售商延期支付的條件下，如果零售商僅僅考慮支付貨款的某一種方式，不一定就能達到最優(yōu)訂貨量和最小訂貨周期，因為在不同的變量和因素的影響下，零售商的最優(yōu)訂貨和付款策略是不一樣的，因此，零售商為了使自己的成本最小化，收益最大化，可根據(jù)本文所給出的判斷條件來確定一種最佳支付方式，確定最小訂貨周期和最小成本，得到最優(yōu)訂貨策略，這對零售商具有很大的意義。

［1］Hartely V R.Operations research：a managerial emphasis［M］.Santa Monica，CA：Good Year，1976：315－317.

［2］Sarma K V S.A deterministic order－level inventory model for deteriorating items with two storage facilities［J］.European Journal of Operational Research，1987，29：70－72.

［3］Pakkala T P M，Achary K K.A deterministic inventory model for deteriorating items with two warehouses and finite replenishment rate［J］.European Journal of Operational Research，1992，57：71－76.

［4］楊愛峰，李佐平.基于產(chǎn)品變質(zhì)和零售商部分延期支付的EOQ模型［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，34（9）：1413－1418.

［5］楊志林，周永務(wù)，楊善林.帶有兩貨棧具有拋物型需求的變質(zhì)性物品經(jīng)濟批量問題［J］.系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用，2005，14（4）：376－378.

［6］楊善林，周永務(wù).兩貨棧庫存模型：考慮時變需求和價格折扣［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，2003，18（6）：498－505.

［7］Yang H L.Two－warehouse partial backlogging inventory models for deteriorating items under inflation［J］.Int J Production Economics，2006，103：362－37.

［8］Das B，Maity K，Maiti M.A two－warehouse supply－chain model under possibility／necessity／credibility measures［J］.Mathematical and Computer Modeling， 2007， 46：398－409.

［9］Liang Yanlai，Zhou Fangming.A two－warehouse inventory model for deteriorating items under conditionally permissible delay in payment［J］.Applied Mathematical Modeling，2011，35：2221－2231.

［10］Chang Chuntao，Wu S J，Chen L C.Optimal payment time with deteriorating items under inflation and permissible delay in payments［J］.International Journal of Systems Science，2009，40（10）：985－993.

［11］Chung K J，Huang T S.The optimal retailer’s ordering policies for deteriorating items with limited storage capacity under trade credit financing［J］.Int J Production Economics，2007，106：127－145.

［12］Jamal A M M，Sarker B R，Wang Shaojun.Optimal payment time for a retailer under permitted delay of payment by the wholesaler［J］.Int J Production Economics，2000，66：59－66.

［13］Liao J J，Huang Kuonan.Deterministic inventory model for deteriorating items with trade credit financing and capacity constraints［J］.Computers ＆Industrial Engineering，2010，59：611－618.

［14］Cheng Meichuan，Lou Kuoren，Ouyang L Y，et al.The optimal ordering policy with trade credit under two different payment methods ［J］.Mathematics Subject Classification，2010，18：413－428.

Retailer’s optimal ordering and payment strategy under two－warehouse and permissible delay of payment

YANG Ai－feng1，2， YANG Xiao－qin1，2， HU Xiao－jian1，2
（1.School of Management，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China；2.Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision Making of Ministry of Education，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

It is assumed that the supplier offers the retailer a delay payment period and the retailer can select one of three kinds of payment methods.After calculating some critical indices of the interest income and interest expenses under different payment methods，the two－warehouse inventory model is established.By analyzing and solving the model，the minimal cycle time and cost are obtained.So the retailer can determine which kind of payment way to adopt，and the corresponding optimal ordering strategy as well.Finally，a numerical example is conducted to verify the model，and the results accord with the actual situation.

delay in payment；two－warehouse；payment method；inventory；optimal ordering

F252

A

1003－5060（2013）02－0236－07

10.3969／j.issn.1003－5060.2013.02.023

2012－07－16；

2012－10－29

國家自然科學(xué)基金資助項目（70971035）；安徽省軟科學(xué)計劃資助項目（12020503075）

楊愛峰（1976－），女，河南濮陽人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師；

胡小建（1965－），男，安徽安慶人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 張 镅）