基于映射函數(shù)收縮算法的圖像去噪方法

吳 軍，李會(huì)方，王正民

（1.西北工業(yè)大學(xué) 陜西 西安 710129；2.中國兵器工業(yè)第203研究所 陜西 西安 710065）

圖像是人們獲取信息的一種極為重要的信息源之一，在拍攝、采樣、量化、保存以及傳輸圖像的過程中，不可避兔地受到噪聲干擾，導(dǎo)致轉(zhuǎn)換后得到的數(shù)字圖像質(zhì)量下降，給圖像處理和分析帶來不必要影響，極大地妨礙了人們對(duì)圖像內(nèi)容的理解[1]。因此在對(duì)圖像進(jìn)行分析之前，必須進(jìn)行去噪預(yù)處理，以改善圖像質(zhì)量并盡可能地保留圖像信息特征。使得圖像更加真實(shí)地再現(xiàn)目標(biāo)場景。但是如何兼顧降低噪聲和保留細(xì)節(jié)仍然是一個(gè)難題[2]。

圖像噪聲按其來源可分為加性噪聲、乘性噪聲、量化噪聲、椒鹽噪聲等類型，實(shí)際圖像數(shù)據(jù)中所含噪聲是各種噪聲的混合。長期以來，人們根據(jù)圖像的特點(diǎn)以及噪聲的統(tǒng)計(jì)特征和頻譜分布的規(guī)律，提出了許多去噪方法。中值濾波、空域?yàn)V波器、維納濾波以及變換域去噪等都是非常有效的去噪方法，它們對(duì)不同的噪聲有不同的去噪能力。中值濾波能有效地抑制脈沖和椒鹽噪聲，但它對(duì)于圖像中高斯噪聲的去除效果不佳?？沼?yàn)V波器作為一種傳統(tǒng)方法具有適應(yīng)范圍廣、速度快、運(yùn)算代價(jià)低等特點(diǎn)，但模糊了圖像邊緣和紋理等細(xì)節(jié)信息。維納濾波對(duì)高斯噪聲和乘性噪聲都有較好的抑制作用，但缺點(diǎn)是仍然是容易失去圖像的邊緣信息[3]。小波去噪是變換域去噪的典型方法，其基本方法是對(duì)含噪圖像進(jìn)行多尺度小波變換，通過選擇合理閾值，在各尺度下盡可能提取有用圖像的小波系數(shù)，去除屬于噪聲的小波系數(shù)，再用小波逆變換重構(gòu)圖像。但硬閾值濾波容易在圖像的邊緣處產(chǎn)生突變，而軟閾值收縮函數(shù)有時(shí)會(huì)使圖像過于平滑的問題[4-6]。

近年來，稀疏表示己成為一個(gè)新的研究熱點(diǎn)。它在與信號(hào)結(jié)構(gòu)匹配方面具有很好的靈活性，并具有超分辨、去除噪聲和表達(dá)信號(hào)靈活等優(yōu)點(diǎn)，在譜估計(jì)、信號(hào)分析、目標(biāo)特征提取、圖像壓縮等方面得到了廣泛的應(yīng)用[7]。本文結(jié)合小波變換和稀疏表示方法，提出一種基于圖像稀疏性與冗余表達(dá)模型的映射函數(shù)收縮去噪方法。將圖像有用信息部分作為圖像中稀疏成分，而將圖像中的噪聲作為圖像（去除其中稀疏成分后得到）殘差，以此作為圖像去噪處理的基礎(chǔ)。相對(duì)于傳統(tǒng)的去噪算法，去除噪聲效果更為理想。

1 映射函數(shù)收縮算法

噪聲圖像的形成模型可表示為：

其中x為原圖像，n為噪聲模型，y為帶噪聲圖像。對(duì)式（1）兩邊進(jìn)行小波變換：

式中Cy、Cx、Cn分別表示觀測(cè)圖像y原始圖像x和噪聲n的小波變換，則

由式（3）可以看出，如果知道噪聲小波變換Cn，那么就可以很輕松得由Cy得到Cx，并求得原始信號(hào)x。但是很明顯，對(duì)于去噪Cn的求解是個(gè)很復(fù)雜的問題。

為了簡化模型，將觀測(cè)信號(hào)與原始信號(hào)之間的變換過程用一個(gè)映射函數(shù)（Map Functions）M{·}來描述[8-9]：

式（4）表示觀測(cè)信號(hào)通過某種變換M{·}，得到了不含噪聲的原始信號(hào)。

1.1 問題規(guī)劃

由前面的分析可知，圖像的去噪過程可用一個(gè)映射函數(shù)描述，為了簡化對(duì)這個(gè)映射函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，可以將這個(gè)映射函數(shù)分解為一組多尺度的映射函數(shù) （MFs：Map Functions）{Mk，k=1， …，K}，Mk為小波子帶系數(shù)，K 是小波分解的子帶數(shù)。對(duì)于信號(hào)y，其小波變換為：

式中，W=[B1，…，BK]T為小波變換函數(shù)，Bk（k=1，…，K）為小波子帶變換。 其 α=[α1，…，αK]為小波變換系數(shù)，αk（k=1，…，K）為其對(duì)應(yīng)Bk的小波變換系數(shù)。由式（5）可得，映射函數(shù)為：

簡而言之，這個(gè)映射變換M{·}被劃分成了K個(gè)映射函數(shù)，K由小波變換的子帶個(gè)數(shù)來決定。

由此可見，圖像去噪問題久轉(zhuǎn)換為一個(gè)尋找變換M{·}過程，將這個(gè)變換作用于觀測(cè)圖像，可以使觀測(cè)圖像盡可能的逼近于不含噪聲的原始圖像，也就是完成了去噪的過程。其數(shù)學(xué)模型可以表示為：

由式（8）將圖像去噪問題轉(zhuǎn)換成了求最優(yōu)值的問題。

1.2 算法求解

對(duì)于（8）提出的最優(yōu)化問題，可以使用切片變換（Slice Transform，SLT）來解決這個(gè)問題。切片變換可將一個(gè)非線性的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)分段線性問題。通過SLT可將（8）式變換為：

問題轉(zhuǎn)換成了經(jīng)典的最小方差問題，其解為：

整個(gè)算法流程如下：

1）對(duì)觀測(cè)圖像進(jìn)行小波變換，獲得K個(gè)小波子帶系數(shù)：α1，…，αK；

2）用 Lloyd-Max 算法，確定 M+1 維向量 qk；k=1，…，K

3）對(duì)于每個(gè)子帶：

①計(jì)算 SLT 矩陣 Ck=Sqk（αk），Ck∈RNk×（M+1），Nk=length（αk）；

②將每個(gè) Ck拉直為 Ck（：，m），m=1，…，M+1。 求其逆：

4）將 zk，m按列排列，組合成 n×K（M+1）維矩陣 L；

5）通過式（9）求出 p*。 這是一個(gè) K（M+1）維的向量，將其劃分為 K 個(gè)向量，p*1，…，p*K，每個(gè)子向量為（M+1）維。

這樣就完成了對(duì)映射函數(shù)的學(xué)習(xí)問題。

1.3 圖像去噪

不同于小波收縮算法，MFs算法更偏向于稀疏表示的去噪算法，主要工作在于學(xué)習(xí)字典。MFs算法則是學(xué)習(xí)一個(gè)變換函數(shù)，變換函數(shù)學(xué)習(xí)出來去噪過程就變得很簡單了。具體去噪步驟如下：

1）對(duì)于訓(xùn)練樣本，使用1.2中算法，求得變換函數(shù)M；

2）由式（5）可知，求解 WT[M（Wy）]即為去噪后圖像，其中W為小波變換，y為測(cè)試樣本。

2 實(shí) 驗(yàn)

本文分3個(gè)實(shí)驗(yàn)分別驗(yàn)證MFs算法的可行性，與其他算法對(duì)比的優(yōu)越性和自身算法的魯棒性。實(shí)驗(yàn)訓(xùn)練樣本均為加入噪聲強(qiáng)度λ=20的高斯噪聲的Lena512×512灰度圖像。

2.1 驗(yàn)證可行性

使用測(cè)試樣本為Lena256×256的灰度圖像，加入噪聲強(qiáng)度λ=20的高斯噪聲。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

容易看出，經(jīng)過MFs算法去噪后，圖像的輪廓和較明顯的細(xì)節(jié)都被保留下來，直觀上有效地去除了圖像噪聲。

2.2 對(duì)比經(jīng)典小波去噪，經(jīng)典稀疏表示去噪和MFs去噪算法

為了進(jìn)一步說明本文所提出算法的有效性，采用峰值信噪比（peak signal noise ratio，PSNR）和均方誤差（mean square error，MSE）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。設(shè)輸入測(cè)試圖像為Lena灰度圖像，大小為512×512像素，人為加入λ=20的高斯噪聲，小波去噪采用文獻(xiàn)[9]中方法，SRC方法采用文獻(xiàn)[10]中方法，對(duì)比幾種方法所得輸出信號(hào)均方誤差和峰值信噪比如表1所示。

圖1 加噪圖像和去噪后圖像對(duì)比Fig.1 Noisy image compared with denoised image

表1 3種方法的去噪結(jié)果對(duì)比Tab.1 Three methods of denoising results contrast

其中IMPROVE表示去噪后圖像性噪比的提高。由表1可以看出，本文算法與前面兩種算法相比較，均方誤差（MSE）較小，峰值性噪比（PSNR）最大，且性噪比提高最多。說明本文算法具有較優(yōu)越的去噪性能。

2.3 當(dāng)改變?cè)肼晱?qiáng)度時(shí)，本文算法的魯棒性測(cè)試

為了驗(yàn)證算法在不同噪聲強(qiáng)度下的魯棒性，分別對(duì)測(cè)試圖像加入λ=10、λ=20、λ=30的高斯噪聲，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 不同噪聲強(qiáng)度下的去噪結(jié)果對(duì)比Tab.2 Denoising results compared under different noise intensity

表2顯示，隨著所加入噪聲強(qiáng)度的增加，去噪后圖像的峰值性噪比（PSNR）有所下降，但是下降趨勢(shì)較緩，當(dāng)加入噪聲強(qiáng)度λ=30的高斯噪聲時(shí)，峰值性噪比仍與表1中用SRC方法對(duì)噪聲強(qiáng)度λ=20的圖像進(jìn)行去噪后的結(jié)果相當(dāng)，可見本文算法具有一定的魯棒性。

3 結(jié)束語

可以看出，本文算法是一種魯棒性較強(qiáng)的圖像去噪方法，且對(duì)于同種噪聲，去噪效果好于小波方法和SRC方法，最大的優(yōu)點(diǎn)在于映射函數(shù)的提出，擺脫的求解最大后驗(yàn)概率的困境，只需要對(duì)學(xué)習(xí)樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)就可以應(yīng)用到測(cè)試樣本之中，但是當(dāng)測(cè)試樣本的復(fù)雜性高于學(xué)習(xí)樣本時(shí)，本文算法的效果往往較差，所以學(xué)習(xí)樣本的選擇問題依然是一個(gè)值得探討的問題。

[1]郭德全，楊紅雨，劉東權(quán)，等.基于稀疏性的圖像去噪綜述[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2012，29（2）：406-413.

GUO De-quan，YANG Hong-yu，LIU Dong-quan，etal.Qverview on sparse image denoising[J].Application Research of Computers，2012，29（2）；144-145.

[2]張德豐.MATLAB數(shù)字圖像處理[M].2版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.

[3]喬鬧生.一種混合噪聲圖像去噪方法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2009，45（29）：144-145.

QIAO Nao-sheng.Denoisingmethod in mixturenoise image[J].Computer Engineering and Applications，2009，45（29）；144-145.

[4]李驁，李一兵，孟霆，等.基于小波閾值去噪的收縮函數(shù)改進(jìn)方法[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2011，32（10）；3450-3452

LI Ao，LI Yi-bing，MENG Ting，et al.Improved method of shrink-function based on wavelet threshold de-noising[J].Computer Engineering and Design，2011，32（10）；3450-3452.

[5]林清馨，呂祚坤，梁瀟.基于小波收縮的噪聲圖像恢復(fù)新型算法實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證[J].電子設(shè)計(jì)工程，2011（24）：158-160.

LIN Qing-xin，LV Zuo-kun，LIANG Xiao.Noise based on waveletshrinkage algorithm forimage restoration and verification[J].Electronic Design Engineering，2011（24）：158-160.

[6]胡靜波.基于小波變換與改進(jìn)中值濾波的紅外圖像去噪[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2011（18）：50-52.

HU Jing-bo.Infrared image de-noising based on wavelet transform and improved median filtering[J].Modern Electronics Technique，2011（18）：50-52.

[7]尚麗，鄭春厚.基于稀疏編碼的自然圖像特征提取及去噪[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2005，17（7）：1782-1784.

SHANG Li，ZHENG Chun-hou.Image feature extraction and denoising based on sparse coding[J].Journal of System Simulation，2005，17（7）：1782-1784.

[8]Hel-Or Y，Shaked D.A discriminative approach for wavelet denoising， IEEE， IP，2008（17）：443-457.

[9]Adler A，Hel-Or Y，Elad M.A shrinkage learning approach for single image supervresolution with over-complete representations[C]//Computer Vision， ECCV（2010）， Springer

[10]HE Yan-lan，SU Yong，GAO Yong-mei.Adaptive wavelet denoising algorithm[J].Tien Tzu Hsueh Pao/Acta Electronica Sinica，2000，28（10）：138-140.