平面度誤差的遍歷搜索算法

涂鮮萍，李 飛，雷賢卿，王海洋，崔靜偉

(河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院，河南洛陽471003)

0 引言

平面是構(gòu)成機械零件的重要幾何要素之一，常作為機械零件檢測和使用的基準(zhǔn)。平面度誤差是包容實際平面或?qū)嶋H平面任何一個指定范圍，且距離為最小的兩理想平行平面之間的距離。平面度誤差的大小對機械產(chǎn)品的質(zhì)量和使用壽命有著至關(guān)重要的作用，因此，對平面度誤差進行快速、精確的評定具有重要的實際意義。

平面度誤差評定的主要方法有最小二乘法、對角線平面法、三遠點平面法和最小區(qū)域法等，其中，最小區(qū)域法評定平面度誤差的結(jié)果最接近理想誤差值，且符合國家標(biāo)準(zhǔn)。目前，關(guān)于平面度誤差的最小區(qū)域評定算法還沒有國家標(biāo)準(zhǔn)，不同廠家生產(chǎn)的同一類型的測量儀器得出的誤差評定結(jié)果也有差異，有時還會出現(xiàn)較大的差別，亦即現(xiàn)有的評定算法不能滿足新型測量設(shè)備對計算軟件的要求［1］。國內(nèi)外許多學(xué)者對平面度誤差評定的算法進行了大量的研究，比較有代表性的算法有:蜂群算法［2］、遺傳算法［3－4］、粒子群算法［5］、增量算法［6］、測點分類法［7］、區(qū)域搜索法［8］、計算幾何法［9－10］和凸包法［11］等，這些成果都有一定的實用價值，對平面度誤差評定算法的研究起到了積極的推動作用，但這些優(yōu)化算法較難被實際操作人員所掌握，因此，研究一種簡單直觀、易于被廣大質(zhì)檢計量人員掌握的平面度評定算法是十分必要的。

本文結(jié)合幾何形狀誤差的定義及平面度誤差的幾何特征，提出了一種新的平面度誤差評定算法——遍歷搜索算法，可以實現(xiàn)平面度誤差的快速準(zhǔn)確評定。

1 遍歷搜索算法的原理

首先，在被測平面的測量數(shù)據(jù)中選取3 個相距較遠測量點為參考點，以3 個參考點為基準(zhǔn)，在測量平面垂直的方向上上下等距擴展長度為f/2 的區(qū)域。將擴展后的區(qū)域f 做n 等分，構(gòu)造出(n +1)個輔助點;根據(jù)3 點確定一個平面的原理，3 個擴展區(qū)域上的等分點依次連接，則可構(gòu)造出(n+1)3個輔助平面。依次以輔助平面作為被測平面的假定理想平面，計算所有測量點與假設(shè)理想平面之間的距離的極差，可以得到(n+1)3個極差值;根據(jù)平面度誤差的定義可知，極差值中的最小者就是被測平面的最小區(qū)域平面度誤差。

2 平面度誤差遍歷搜索算法的步驟

設(shè)被測平面上的測量點坐標(biāo)為Pi(xi，yi，zi)，(i=1，2，…，N)。

2.1 構(gòu)造輔助點

為確保平面度誤差評定的準(zhǔn)確性，一般選取被測平面上的邊緣點作為參考點來構(gòu)造輔助點。

設(shè)Pa(xa，ya，za)、Pb(xb，yb，zb)和Pc(xc，yc，zc)是被測平面上的3 個邊緣點(見圖1)。分別以點Pa、Pb和Pc為參考點，在平行于Z 軸(垂直于被測平面)方向上上下等距擴展長度為f/2 的區(qū)域(f 的值取最小二乘平面度誤差值或依據(jù)加工精度估計)，然后將擴展區(qū)域n 等分，可以得到(n + 1)個等分點，從而得到了輔助點Pk(xa，ya，zk)(k = 1，2，…，n)、Pm(xb，yb，zm)(m = 1，2，…，n)和Pt(xc，yc，zt)(t = 1，2，…，n)。所構(gòu)造輔助點的Zk、Zm、Zt的坐標(biāo)值計算由式(1)確定。

圖1 平面度誤差遍歷搜索評定原理

2.2 構(gòu)造假定理想平面

由3 點可以確定一個平面原理可知:所構(gòu)造的輔助點Pk(xa，ya，zk)、Pm(xb，yb，zm)和Pt(xc，yc，zt)的組合可構(gòu)成(n +1)3個假設(shè)理想平面。假設(shè)理想平面方程通式為Ax +By +Cz +D = 0，通過線性方程組可以得到(n +1)3個平面方程的系數(shù)Akmt、Bkmt、Ckmt和Dkmt:

其中，k，m，t=1，2，…，n。

2.3 計算所有測量點與假設(shè)理想平面之間的距離極差值

利用式(3)計算所有測量點Pi(xi，yi，zi)與每一個假設(shè)理想平面之間的距離，并計算出所有測量點與每一個假設(shè)理想平面之間的距離的極差值。有(n +1)3個假設(shè)的理想平面，就可以得到(n +1)3個距離極差值。根據(jù)平面度誤差的定義可以知道，(n +1)3個距離的極差值中的最小者就是最小區(qū)域平面度誤差，用F 表示。

3 實例驗證

測量數(shù)據(jù)來源于文獻［11］，通過本文所提算法與其他算法對同一組數(shù)據(jù)處理結(jié)果的比較，驗證平面度遍歷搜索算法的正確性。

文獻［1－2，10］對文獻［11］中的測量數(shù)據(jù)(見表1)進行了處理，其評定結(jié)果如表2 所示。

采用本算法時，擴展區(qū)域取f=0.15 mm(f 的值依據(jù)文獻［1］中的最小二乘平面度誤差值來選取)，初始參考點的選取分兩種情況:一種取被測平面的邊緣點P1(0.2，0.2，－0.064 50)、P15(0.6，1.0，－0.019 97)、P25(1.0，1.0，－0.021 21);另一種取邊緣點P1(0.2，0.2，－0.064 50)、P21(1.0，0.2，0.057 73)、P25(1.0，1.0，－0.021 21)。在擴展區(qū)域上等分點數(shù)不同的情況下，算法的評定結(jié)果分別如表3 和表4 所示。

表1 測量數(shù)據(jù)

表2 不同算法的處理結(jié)果

表3 初始參考點為P1、P15、P25時的計算結(jié)果

表4 初始參考點為P1、P21、P25時的計算結(jié)果

對比表2、表3 和表4 可以看出:對同一組數(shù)據(jù)，本文提出的平面度誤差遍歷算法結(jié)果與其他文獻的計算結(jié)果相一致。

從表3 和表4 可以看出:初始點及擴展區(qū)域確定后，區(qū)域的等分點數(shù)越多，算法得到的誤差值越小，但當(dāng)?shù)确贮c數(shù)達到一定程度后，有局部的反差(如表3 中等分點數(shù)20 和30，40 與50，60 與70 以及表4中等分點數(shù)80 與90)，是由于等分方法不同、等分點不重合導(dǎo)致評定結(jié)果的局部發(fā)散，但隨著等分點數(shù)的增加，得到的誤差值越來越小的規(guī)律不會改變。

為使算法更具實用性，作者做了大量的試驗，如在參考點不同、擴展區(qū)域不同、等分點數(shù)不同的情況下評定結(jié)果的比對等，表明在應(yīng)用該算法時，擴展區(qū)域過大，需增加等分點數(shù)導(dǎo)致計算量增加，擴展區(qū)域過小會錯失最優(yōu)輔助平面而導(dǎo)致評定不準(zhǔn)確。一般情況下，擴展區(qū)域取最小二乘平面度誤差值或者與之相近的數(shù)值，等分點之間的距離(區(qū)域除以等分點數(shù))取5 μm 左右，即可實現(xiàn)被測平面的納米級評定。

4 結(jié)束語

結(jié)合平面度誤差的幾何特性，研究了平面度誤差的遍歷算法。該算法不要求測樣點均勻選取，其原理簡單，易于編程。實例驗證表明:該算法具有較好的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，為平面度誤差的精確評定提供了一種新的評定方法。

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