SH波的轉(zhuǎn)移矩陣及其在聲子晶體中的應(yīng)用

劉啟能

(重慶工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

轉(zhuǎn)移矩陣法是研究彈性波在多層介質(zhì)系統(tǒng)中傳播的有效方法，在介質(zhì)中傳播的彈性波分為縱波(又稱P 波)和橫波(又稱S 波)兩種形式［13］。對(duì)于P 波因其偏振方向與傳播方向平行容易確定。對(duì)于S 波因其偏振方向與傳播方向垂直而不易確定，因此進(jìn)一步將S 波分為SV 波(即偏振方向平行于入射面的橫波)和SH 波(即偏振方向垂直于入射面的橫波)。在文獻(xiàn)［14］中推導(dǎo)出P 波和SV 波垂直入射一維聲子晶體的轉(zhuǎn)移矩陣，并研究了P 波和SV 波垂直入射一維聲子晶體的禁帶特征。文獻(xiàn)［15］推導(dǎo)出了P 波和SV 波斜入射一維聲子晶體的轉(zhuǎn)移矩陣，并研究了P 波和SV 波斜入射一維聲子晶體的禁帶特征。文獻(xiàn)［16］利用P 波和SV 波斜入射一維聲子晶體的轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)一步研究了一維摻雜聲子晶體的缺陷模特征。但是SH 波在多層介質(zhì)系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)移矩陣以及SH 波在一維聲子晶體中的傳輸特性在文獻(xiàn)［15］和［16］中沒有涉及到，并且在其他文獻(xiàn)中也未見相關(guān)的介紹。而SH 波又是具有典型意義的一類橫波，因此研究SH 波在多層介質(zhì)系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)移矩陣及其在一維聲子晶體中的應(yīng)用有著重要的意義。本文將推導(dǎo)出SH 波在多層介質(zhì)系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)移矩陣，并利用它研究SH 波斜入射一維聲子晶體的禁帶特性和缺陷模特性。

1 轉(zhuǎn)移矩陣

SH 波在多層介質(zhì)系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)移矩陣實(shí)際上是由兩個(gè)“基本單元”的轉(zhuǎn)移矩陣組合而成:一是SH 波通過界面的轉(zhuǎn)移矩陣。二是SH 波通過同一介質(zhì)層的轉(zhuǎn)移矩陣，下面分別給予推導(dǎo)。

設(shè)平面SH 波在多層介質(zhì)系統(tǒng)中的xoz 平面內(nèi)傳播，如圖1。經(jīng)過界面的多次反射，在介質(zhì)i 層內(nèi)有沿z 軸正方向傳播的SH 波和沿z 軸負(fù)方向傳播的SH 波，它們的位移分別為:

其中:ω 為SH 波的圓頻率，k=ω/cT為波矢;cT為SH 波的波速;θ 為傳播方向與z 軸的夾角;θi和θj滿足Snell 定律。由于各個(gè)位移波中都有相同的因子e-iωt，e-iωt可不記。為了描述介質(zhì)中的上述兩個(gè)位移波，引入二維位移波矢Ui:

位移波矢Ui通過一個(gè)“系統(tǒng)”后轉(zhuǎn)變?yōu)槲灰撇ㄊ窾j，Ui和Uj的耦合關(guān)系可以表示為:

Mij為一個(gè)2 ×2 矩陣，稱“系統(tǒng)”的轉(zhuǎn)移矩陣。對(duì)于SH 波其位移始終垂直于xoz 平面，只有y 分量，即Uy=U、Ux=0、Uz=0，在圖1 中用?表示其偏振方向。因此當(dāng)SH 波通過介質(zhì)i 和介質(zhì)j 的界面時(shí)，其轉(zhuǎn)移矩陣可以根據(jù)在界面兩側(cè)位移的y 分量Uy連續(xù)以及應(yīng)力的y 分量σzy連續(xù)推出［17］。

采用階段回顧性調(diào)查方法，對(duì)有職業(yè)暴露風(fēng)險(xiǎn)人員的職業(yè)分布、類型、發(fā)生地點(diǎn)和工作環(huán)節(jié)等進(jìn)行資料收集，分析產(chǎn)生的原因并制定相關(guān)干預(yù)措施。

圖1 界面兩側(cè)的SH 波

而應(yīng)力由胡克定律給出:

其中μ 為拉梅常數(shù)，它們與波速cT和介質(zhì)密度ρ 的關(guān)系為:

由位移和應(yīng)力的y 分量在介質(zhì)i 和介質(zhì)j 的界面兩側(cè)連續(xù)有下面兩個(gè)方程:

將式(5)整理為二維位移波矢Ui和Uj的矩陣關(guān)系為:

令:

則式(6)表示為:

位移波矢在界面處的轉(zhuǎn)移矩陣Mij為:

當(dāng)位移波矢通過厚度為di的第i 層介質(zhì)時(shí)，位相變化為其轉(zhuǎn)移矩陣Gi容易得到:

當(dāng)位移波矢通過N 層介質(zhì)系統(tǒng)時(shí)，其轉(zhuǎn)移矩陣M*由矩陣的乘法得到:

其中下標(biāo)0 表示聲子晶體兩邊空間的介質(zhì)。SH 波入射時(shí)，其入射空間的位移波矢U0和出射空的位移波矢U 分別為:

由U0=M*U，可以透射系數(shù)t 和反射系數(shù)r 分別為:

利用式(9)～(12)可以研究SH 波在聲子晶體中的傳輸特性。下面利用SH 波的轉(zhuǎn)移矩陣研究SH 波在聲子晶體的禁帶和缺陷模特性。

2 禁帶特征

設(shè)SH 波以θ0的角度入射其結(jié)構(gòu)為(AB)N的一維聲子晶體，A 層為玻璃其密度ρ1=2 230 kg/m3、波速為cT1=3 430 m/s、厚度取d1=cT1/4f0，B 層為橡木其密度ρ2=462 kg/m3、波速為cT2=1 750 m/s、厚度取d2=cT2/4f0，周期數(shù)N =10。設(shè)入射空間和出射空間的介質(zhì)都為有機(jī)玻璃，其密度ρ0=1 180 kg/m3、波速為cT0=1 120 m/s。歸一化頻率g=f/f0，f 為入射波的頻率，取f0=10 000 Hz。下面分別研究SH 波的禁帶隨入射角和周期厚度的變化特征。

2.1 禁帶隨入射角變化

為了研究禁帶隨入射角的變化規(guī)律，計(jì)算出禁帶頻率隨入射角的響應(yīng)曲線，如圖2。在圖2 中白色區(qū)域?yàn)榻麕?，黑色區(qū)域?yàn)閷?dǎo)帶。由圖2 可以看出:

①歸一化頻率g 在0.4 ～1.6 范圍內(nèi)出現(xiàn)了SP 波的一級(jí)禁帶，歸一化頻率g 在2.4 ～3.6 范圍內(nèi)出現(xiàn)了SH 波的二級(jí)禁帶。如果將歸一化頻率g 的范圍擴(kuò)大，還會(huì)出現(xiàn)三級(jí)禁帶、四級(jí)禁帶……，這表明SH 波在聲子晶體中會(huì)產(chǎn)生周期性的禁帶。

②SH 波的一、二級(jí)禁帶隨入射角的變化有著相似的規(guī)律:禁帶的中心頻率隨著入射角的增加而增加;禁帶的頻率寬度隨著入射角的增加而減小。

2.2 禁帶隨周期厚度變化

為了研究禁帶隨周期厚度的變化規(guī)律，固定入射角θ0=0，令d1=X(cT1/f0)、d2=X(cT2/f0)，X 為無量綱的參變量。周期厚度d=d1+d2=X(cT1+cT2)/f0，周期厚度的變化通過X 的變化來實(shí)現(xiàn)。計(jì)算出禁帶頻率隨周期厚度的響應(yīng)曲線，如圖3。在圖3 中白色區(qū)域?yàn)榻麕?，黑色區(qū)域?yàn)閷?dǎo)帶。由圖3 可以看出:

①圖3 中歸一化頻率g 由低到高的三條白色帶分別是SH 波的一級(jí)、二級(jí)和三級(jí)禁帶。三條禁帶的頻率隨周期厚度的變化有著相似的規(guī)律。

②SH 波的各級(jí)禁帶的中心頻率隨著周期厚度的增加而降低;各級(jí)禁帶的頻率寬度隨著周期厚度的增加而減小。

圖2 禁帶頻率隨入射角的響應(yīng)曲線

圖3 禁帶頻率隨周期厚度的響應(yīng)曲線

3 缺陷模特征

設(shè)SH 波以θ0的角度入射其結(jié)構(gòu)為(AB)NC(BA)N的一維摻雜聲子晶體，A 層為玻璃，B 層為氧化鎂，其密度ρ2=1 740 kg/m3、波速為cT2=3 100 m/s。摻雜層C 為鋁，其密度ρ3=2 700 kg/m3、波速為cT3=3 100 m/s、厚度為d3。下面分別研究SH 波的缺陷模隨入射角和雜質(zhì)厚度的變化特征。

3.1 缺陷模隨入射角變化

為了研究缺陷模隨入射角的變化規(guī)律，固定N =6、d3=cT3/2f0，計(jì)算出一級(jí)禁帶中的缺陷模頻率隨入射角的響應(yīng)曲線，如圖4。在圖4 中黑色區(qū)域?yàn)橐患?jí)禁帶，禁帶中間的白色細(xì)帶為缺陷模。由圖4 可以看出:

①歸一化頻率g 在0.8 ～1.2 范圍內(nèi)是SH 波的一級(jí)禁帶，在一級(jí)禁帶的中間出現(xiàn)了一條缺陷模帶。這表明在一維聲子晶體中摻雜后SH 波會(huì)產(chǎn)生缺陷模。

②SH 波缺陷模的中心頻率隨著入射角的增加而增加;缺陷模的頻率寬度隨著入射角的增加而增大。

圖4 缺陷模頻率隨入射角的響應(yīng)曲線

3.2 缺陷模隨雜質(zhì)厚度變化

為了研究缺陷模隨雜質(zhì)厚度變化的變化規(guī)律，固定N =6、θ0=0，令雜質(zhì)厚度d3=Y(cT3/f0)，Y 為無量綱的參變量。雜質(zhì)厚度的變化通過Y 的變化來實(shí)現(xiàn)。計(jì)算出一級(jí)禁帶中的缺陷模頻率隨雜質(zhì)厚度的響應(yīng)曲線，如圖5。在圖5 中黑色區(qū)域?yàn)橐患?jí)禁帶，禁帶中間的白色細(xì)帶為缺陷模。由圖5可以看出:

①雜質(zhì)厚度對(duì)SH 波缺陷模的中心頻率和頻率寬度都有著明顯的影響。

②SH 波缺陷模的中心頻率隨著雜質(zhì)厚度的增加而減小;Y 在0.33 ～0.5 范圍內(nèi)SH 波缺陷模的頻率寬度隨著雜質(zhì)厚度的增加而減小;Y 在0.5 ～0.68 范圍內(nèi)SH 波缺陷模的頻率寬度隨著雜質(zhì)厚度的增加而增大。

圖5 缺陷模頻率隨周期厚度的響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

前面利用SH 波在界面滿足的邊界條件，并引入二維位移波矢的概念，推導(dǎo)出SH 波在多層介質(zhì)系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)移矩陣，這一轉(zhuǎn)移矩陣方法的建立為研究SH 波在多層介質(zhì)系統(tǒng)中的傳輸規(guī)律提供了一種有效的方法。利用移矩陣法研究了SH波在一維聲子晶體中禁帶和缺陷模的特征。得出:SH 波的禁帶中心頻率隨入射角的增加而增大、隨周期厚度的增加而降低，SH 波的禁帶頻率寬度隨入射角的增加而減小、隨周期厚度的增加而減小;SH 波的缺陷模中心頻率隨入射角的增加而增大、隨雜質(zhì)厚度的增加而降低，SH 波的缺陷模頻率寬度隨入射角的增加而增大。

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