實物期權評估模型中波動率的計算及其敏感性分析

■ 劉小峰

存在不確定性的資產(chǎn)評估一直是評估理論與實務的難點，比如正在申請階段的專利、處于研制階段的藥品或技術、創(chuàng)作階段的文化作品和建設初期的在建工程等。對于這些不確定性程度較高的資產(chǎn)，傳統(tǒng)評估方法（成本法、市場法和收益法）遭遇到了極大挑戰(zhàn)，而期權理論，特別是實物期權理論，則為這類資產(chǎn)價值的評估提供了一種新的視角。實物期權是指附著于企業(yè)整體資產(chǎn)或者單項資產(chǎn)上的非人為設計的選擇權，即是現(xiàn)實中存在的發(fā)展或者增長機會、收縮或者退出機會等。擁有或控制相應企業(yè)或資產(chǎn)的個人或組織在未來可以執(zhí)行這種選擇權，并且預期通過執(zhí)行這種選擇權能帶來經(jīng)濟利益①該定義引自2011年12月31日中國資產(chǎn)評估協(xié)會發(fā)布的《實物期權評估指導意見（試行）》。。近年來，實物期權理論在資產(chǎn)評估中的應用得到了快速的發(fā)展，同時，實物期權理論在資產(chǎn)評估中的應用也逐步得到規(guī)范，2011年12月31日，中國資產(chǎn)評估協(xié)會發(fā)布《實物期權評估指導意見（試行）》，更是極大地推動了實物期權理論在資產(chǎn)評估中的應用與發(fā)展。

實物期權理論在應對不確定性資產(chǎn)價值的評估上具備優(yōu)勢，但模型中的參數(shù)取值通常是采取經(jīng)驗判斷、隨機模擬等方法得到，這使不少人對實物期權方法評估資產(chǎn)價值持謹慎甚至懷疑的態(tài)度。為此，本文以常用的B-S模型為例，探討實物期權模型中的波動率參數(shù)的計算與敏感性問題，試圖發(fā)現(xiàn)波動率取值的一些特點，為實物期權理論在資產(chǎn)評估中的運用提供借鑒。

一、波動率的內(nèi)涵與特點分析

針對無紅利流量情況下歐式期權的價值評估情況，依據(jù)B-S模型，共有5個參數(shù)需要確定，包括標的資產(chǎn)評估基準日的價值（s）及其波動率（σ）、期權行權價格（x）、行權期限（T）以及無風險收益率（r）。模型形式為：

其中，C和P分別代表歐式買方期權和賣方期權的價值，e-rT代表連續(xù)復利下的現(xiàn)值系數(shù)，N(d1)和N(d2)分別代表在標準正態(tài)分布下變量小于d1和d2時的累積概率，其函數(shù)表達式為：

選擇B-S模型估算實物期權價值的步驟為：（1）估計有關參數(shù)數(shù)據(jù)，核心是前文提及的5個參數(shù)s、σ、X、T和r；（2）計算d1和d2；（3）求解N(d1)和N(d2)；（4）計算買方期權或者賣方期權的價值。

在采用實物期權估算價值的過程中，估算有關參數(shù)是最為重要的步驟之一，其中，波動率是實物期權評估模型中非常重要卻又很難確定的一個參數(shù)。波動率表征的是標的資產(chǎn)對擁有或者控制相應企業(yè)或資產(chǎn)的個人或者組織所帶來的收益的不確定性。一般而言，對于金融期權評估模型，波動率可以直接根據(jù)股票的歷史價格數(shù)據(jù)，通過計算其歷史收益率的標準差求得，計算方法相對成熟。但對實物期權評估模型來說，其標的物大多為不確定非商業(yè)化的無形資產(chǎn)或其他投資項目等，既不存在期權的市場價格，也不存在歷史價格。此外，金融期權的波動率主要受市場變化的影響，而實物資產(chǎn)價值的變動不但受到市場變化和資產(chǎn)自身特性的影響，還受到相關主體（擁有者或控制者、競爭對手與供應鏈成員等）行為變化的影響，相關主體對于實物資產(chǎn)的態(tài)度、策略和判斷都會影響到標的資產(chǎn)價值的變化。這些特點使得波動率的估算成為實物期權評估模型的難點，也在某種程度上影響了實物期權理論在資產(chǎn)評估中的應用。

二、波動率的計算方法

波動率的內(nèi)涵與特性使得實物期權評估模型中對于波動率的確定更多地采用假設、隨機模擬或經(jīng)驗估值的方式。依據(jù)《實物期權評估指導意見（試行）》，波動率可以通過類比風險相近資產(chǎn)的波動率確定，也可以根據(jù)標的資產(chǎn)以往價格相對變動情況估計出歷史波動率，再根據(jù)未來風險變化情況進行調(diào)整確定。目前采用比較多的方法主要有以下三種：

1. 近似資產(chǎn)收益率法。主要是采用金融期權求波動率的方法，通過相關股票價格數(shù)據(jù)估算得到。即利用具有相同或類似項目的上市公司的歷史數(shù)據(jù)來近似得到評估標的物價值的標準差。由于證券市場數(shù)據(jù)較為容易獲得，此方法在現(xiàn)實中應用較為廣泛。但這種計算方法存在一個重要問題，即是相關股票的價格運動規(guī)律能否代表標的物價格的運動規(guī)律，即相關股票價格波動與其標的資產(chǎn)本身的價值波動的相關性問題。更重要的是，期權模型的波動率是指期權價格變化的波動率，而非對應資產(chǎn)價格的波動率。除了利用證券市場數(shù)據(jù)之外，還有學者提出采用相關產(chǎn)品價格變化來估算波動率。

2. 專家估算法，又稱Delphi法。Delphi法是對不確定性問題求解的一種重要方法，也是估算波動率的重要方法，其主要思路是依據(jù)專家對標的物的認識給出波動率的大小，然后取中間值或者加權平均值作為波動率。該方法較為方便，但主觀性較大，受專家專業(yè)能力和判斷態(tài)度的影響較大。

3. Monte Carlo模擬法。Monte Carlo一般被稱為概率統(tǒng)計技術，Monte Carlo模擬是一種通過設定隨機過程，反復生成時間序列，計算參數(shù)估計量和統(tǒng)計量，進而研究其分布特征的方法。該方法首先根據(jù)標的資產(chǎn)預期的現(xiàn)金流量表，分析影響標的資產(chǎn)價值的各個不確定性因素，再根據(jù)各個不確定性因素的概率分布，用Monte Carlo模擬得到標的資產(chǎn)在不同情景下的凈現(xiàn)值，最后計算其波動率。隨著計算機技術的普遍應用，Monte Carlo模擬法在一些無形資產(chǎn)評估方面的使用頻率越來越高。

三、敏感性分析

實物期權價值評估較為復雜，為確保評估結(jié)果的合理性，有必要對評估結(jié)果進行合理性檢驗，防止出現(xiàn)方向性的錯誤。敏感性分析可以判斷參數(shù)取值對期權價值的關系，是合理性判斷的重要工具。以買方期權為例，對公式（1）進行關于波動率σ的偏導數(shù)，得出：

同理可得，這說明波動率σ與買方期權價值C和賣方期權價值P都是正相關的，即在其他因素不變的情況下，波動率σ越大，期權價值越高，反之亦然，這也反映了因為不確定性而存在的期權價值所在。進一步分析，由公式（5）知，波動率對期權價值的影響是非線性的，具有復雜性。如果值越大，則期權價值對于波動率很小的變化就會很敏感，反之，如果值很小，則波動率的變化不會對期權價值產(chǎn)生太大影響。

下面以買方期權為例，數(shù)值模擬說明這一點，各參數(shù)取值分別為S=1000，X=800，T=6 ，r=0.02，σ的取值空間為[0.1, 3]，步長取0.01，由MATLAB軟件編程計算得到結(jié)果，見圖1和圖2。其中，圖1反映了波動率σ與參數(shù)d1及的非線性關系；圖2的左邊反映了波動率σ與期權價值C的變化是同向的，波動率σ越大，期權價值C越大，圖的右邊則刻畫了其波動率變化與期權價值C變化的關系，反映了波動率處在某一刻（σ=0.36）時，期權價值C的變化幅度最大（Diff(C)=6.4569），而當波動率值很小或者較大時，其在取值附近波動則對期權價值影響較小。因此，在對期權價值進行評估時，需要把握好這些規(guī)律，在敏感區(qū)域需要做適當?shù)拿舾行苑治觯η笫乖u估結(jié)果更加合理可靠。

圖1 波動率σ與參數(shù)d1及的關系

圖2 波動率σ與期權價值C之間的關系

四、結(jié)論

由上述分析可知，實物期權評估中的參數(shù)取值有較大的不確定性，如何正確認識這些不確定因素對實物期權價值評估非常重要。筆者闡述了B-S實物期權評估模型中波動率的特點及其計算方法，并對其取值敏感性進行了分析，發(fā)現(xiàn)了波動率取值對期權價值的影響規(guī)律，希望對實物期權評估提供一些借鑒。

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