倒向隨機方程期權(quán)定價模型的一類隨機算法

谷偉 許文濤

摘要 期權(quán)定價問題可以轉(zhuǎn)化為對倒向隨機微分方程的求解，進而轉(zhuǎn)化為對相應拋物型偏微分方程的求解.為了求解與倒向隨機微分方程相應的二階擬線性拋物型微分方程初值問題，引入一類新的隨機算法分層方法取代傳統(tǒng)的確定性數(shù)值算法.這種數(shù)值方法理論上是通過弱顯式歐拉法，離散其相應隨機系統(tǒng)解的概率表示而得到.該隨機算法的收斂性在文中得到證明，其穩(wěn)定性是自然的.并構(gòu)造了易于數(shù)值實現(xiàn)的基于插值的算法，實證研究說明這種算法能很好地提供期權(quán)定價模型的數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞期權(quán)定價；倒向隨機微分方程；擬線性拋物型法；概率表示；分層方法

中圖分類號F830.9， O241.81 文獻標識碼A

1引言

期權(quán)是金融衍生工具的一種基本形式，近年來，金融衍生工具變得越來越重要，主要是因為它可以作為保值和減小風險的工具，又可以被當做高風險和高收益的機會.金融衍生工具本身是一種證劵，其價值依賴于其他更基本的“標的資產(chǎn)”，在今天的國際金融市場上，金融衍生工具形形色色，多種多樣，且新產(chǎn)品層出不窮，但最基本的形式有期權(quán)（Option），期貨（Futures），遠期（Forwards）和掉期（Swaps）等等.

在金融經(jīng)濟學中，期權(quán)定價及其套期保值策略的構(gòu)造具有重要的地位，對于定價已有很多研究成果[1，2]，傳統(tǒng)的期權(quán)定價理論一般以隨機分析中的鞅表示定理和Gisanov定理作為研究工具，近年來，隨著倒向隨機微分方程理論的迅速發(fā)展，文獻[3，4]采用不同方法分別研究了期權(quán)定價問題，并得到相應的結(jié)果，即對期權(quán)定價模型的處理最終轉(zhuǎn)化為求解倒向隨機微分方程或偏微分方程，而對倒向隨機微分方程的離散也可轉(zhuǎn)化為求解相應的偏微分方程，故求解偏微分方程變得非常重要.然而，由于非線性偏微分方程的解析解一般很難給出，人們開始轉(zhuǎn)向?qū)で笃鋽?shù)值解，進行數(shù)值模擬.在相關(guān)的數(shù)值研究方面，關(guān)于確定性方法研究的文章和著作比較多[5]，通過不確定性的方法來構(gòu)造數(shù)值算法的研究成果相對較少[6-9].本文引入的分層方法就是通過隨機方法構(gòu)造一類求解偏微分方程的數(shù)值方法，進而給出求解期權(quán)定價模型的數(shù)值模擬方法.

經(jīng)濟數(shù)學第 29卷第4期

谷偉等：倒向隨機方程期權(quán)定價模型的一類隨機算法

2傳統(tǒng)期權(quán)定價模型

其中X為期權(quán)的執(zhí)行價格，式（2）中第一個條件是買入期權(quán)的終端支付條件；第二個條件是說當股票價值為零時，由于以后的股票價一直為零，故期權(quán)價值也為零；第三個條件是說當股票價格無限地遞增時，期權(quán)越來越可能執(zhí)行，且執(zhí)行價格的大小變得不太重要，此時，期權(quán)價值就變成了股票價值.引入記號

由以上對傳統(tǒng)歐式期權(quán)定價公式的介紹可見，歐式期權(quán)價格的求解最終轉(zhuǎn)化為對方程（1）的求解，這些拋物型方程只是線性形式的偏微分方程，容易求出其顯示解.而對于更復雜的期權(quán)模型的研究，很難找到其解析解，就需要通過其他辦法來處理，文獻[3，4]是其中代表性的研究成果，引入倒向隨機微分方程對期權(quán)進行定價研究.

3基于倒向隨機微分方程的期權(quán)定價模型

通過可以由解正倒向隨機微分方程得到BlackScholes公式這一事實，不僅說明了倒向隨機微分方程理論可以用來對期權(quán)定價問題進行更精確更合乎實際的計算和分析，更重要的是人們可以用它來幫助投資者進行回避風險的套期保值及其他各類風險分析.特別是倒向隨機微分方程理論可以用來對不完全市場中的各種派生證券的定價及套期保值問題提供有力的分析和近似計算方法.

4離散拋物型微分方程的分層方法

下面考慮如下稍復雜些的一維二階擬線性拋物型偏微分方程初值問題的離散方法：

方法（17）就是所構(gòu)造的分層方法，它是隱式格式.以上就是分層方法的基本思想.雖然在分層方法的構(gòu)造中采用了解的概率表示，但方法本身卻是確定性的，事實上，由于對數(shù)學期望的計算采用的一般是顯示方法，這種不確定性就不存在了.值得注意的是它和通常所見的差分方法的區(qū)別是這里僅需對時間區(qū)間進行離散，而和x沒有必然聯(lián)系，因此分層方法的優(yōu)越性就在于它的穩(wěn)定性是方法本身所固有的[6-9].后來盡管也對x進行了離散，那也只是為了減少計算量.

5算例分析

案例1設(shè)股票A現(xiàn)在價格為58.875元，年無風險利率為0.08，設(shè)股票年回報標準差為0.22，估計三個月后到期，求執(zhí)行價格為60元的歐式看漲期權(quán)的值？

從表1中可以看出，本文所提供的新的數(shù)值算法能夠很好的近似期權(quán)定價問題的真實解，說明這種新的數(shù)值算法在應用上的可行性.并且隨著步長h的變小，數(shù)值解會越來越接近真實解，并且不同算法獲得結(jié)果之間的差異也越來越小.本文的算法還適合于求解更為復雜的半線性和擬線性拋物型方程，進而可以用于求解更復雜的期權(quán)定價問題.所構(gòu)造的新算法具有相當?shù)木_性、實用性和可執(zhí)行性.

總之，自1973年Black和Scholes得到BlackScholes公式時還沒有倒向隨機微分的概念，而若干年后，人們又從倒向隨機微分方程理論再一次推導出來該公式，科學竟產(chǎn)生了如此美妙的共鳴.期權(quán)定價理論的發(fā)展在客觀上極大的促進了倒向隨機微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展，并進一步推動了偏微分方程在理論和計算技術(shù)上的發(fā)展，而倒向隨機微分方程和偏微分方程在期權(quán)定價問題中也發(fā)揮著越來越重要的作用.

隨著市場經(jīng)濟的深入發(fā)展，以及我國經(jīng)濟與國際經(jīng)濟的全面接軌，期權(quán)定價理論和倒向隨機微分方程理論以及偏微分方程計算技術(shù)在我國經(jīng)濟金融領(lǐng)域必將得到更加廣泛的應用，并且勢必對其他的理論產(chǎn)生更大的促進作用和深遠的影響.

參考文獻

[1]P WILMOTT， S HOWISON， J DEWYNNE. The mathematics of financial derivativesA student Introduction[M]. United Kingdom：Cambridge University Press， 1995.

[2]Y K KWOK. Derivative security： mathematical models[M]. Singapore ： Springer， 1998.

[3]彭實戈. 倒向隨機微分方程及其應用[J].數(shù)學進展，1997，2：97-112.

[4]雍烔敏. 數(shù)學金融中的若干問題[J]. 數(shù)學實踐與認識， 1999，2：97-108.

[5]A QUARTERONI， A VALLI. Numerical approximation of partial differential equations[M] Berlin：Springer， 1994.

[6]G N MILSTEIN. The probability approach to numerical solution of nonlinear parabolic equations[J]. Num. Methods Partial Differential Equations， 2002， 18：490-522.

[7]R N MAKAROV. Numerical solution of quasilinear parabolic equations and backward stochastic differential equations[J]. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling， 2003，18（5）：397-412.

[8]G N MILSTEIN， M V TRETYAKOV. Numerical algorithms for forwardbackward stochastic differential equations[J]. SIAM J. Sci. Comput， 2006，28：561-582.

[9]G N MILSTEIN， M V TRETYAKOV. Stochastic Numerics for Mathematical Physics[M]. Berlin：Springer， 2004.

[10]郁俊莉， 韓文秀， 李澤峰. 倒向隨機微分方程及其在證券投資組合中的應用[J]. 數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究， 2001，18（11）：90-93.

[11]J MA， P PROTTER， J YONG. Solving forwardbackward stochastic differential equations explicitlya four step scheme[J]. Probab Theory Rel Fields，1994， 98：339-359.

[12]谷偉， 張誠堅. 一類拋物型方程初值問題的隨機數(shù)值算法[J].應用數(shù)學， 2007， 20（4）：760-766.