有界變差連續(xù)函數(shù)族的綱性

王磊杰

（文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

有界變差連續(xù)函數(shù)族的綱性

王磊杰

（文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

利用Baire綱定理證明了連續(xù)函數(shù)空間C[a，b]上有界變差函數(shù)全體是第一綱集，多數(shù)連續(xù)函數(shù)的圖像是不可求長(zhǎng)曲線。

可求長(zhǎng)曲線；有界變差；第一綱集

1 預(yù)備知識(shí)和定理

符號(hào)C[a，b]表示閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)全體，定義

則C[a，b]成為一個(gè)完備度量空間。 熟知的事實(shí)是閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f(x)的圖像未必是可求長(zhǎng)曲線，它可求長(zhǎng)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)是有界變差函數(shù)［1］。關(guān)于有界變差函數(shù)較細(xì)致的研究可參看文獻(xiàn)［2］。

Baire定理［3］完備度量空間是第二綱集。

2 主要結(jié)論

Banach證明了處處不可微連續(xù)函數(shù)全體是第二綱集，見(jiàn)文獻(xiàn)［3］。 采用相似的做法可以證明不可求長(zhǎng)連續(xù)函數(shù)全體是第二綱集。

定理1空間C[a，b]上有界變差函數(shù)全體是第一綱集

證明：令A(yù)表示C[a，b]上有界變差函數(shù)全體所成集合。 設(shè)f(x)∈A，對(duì)f(x)的任意ε鄰域U，我們證明U中含有非有界變差函數(shù)。

則g(x)不是有界變差函數(shù)，且d(f，g)＜ε，所以U中含有非有界變差函數(shù)。

下證A是閉集。令A(yù)m表示全變差小于等于m的有界變差函數(shù)全體，則。

設(shè)f0(x)是Am的聚點(diǎn)，函數(shù)列fn(x)∈Am(n=1，2，…)收斂到f0(x)，因?yàn)楹瘮?shù)列fn(x)滿足

且一致收斂到f0(x)，所以f0(x)也是有界變差函數(shù)，即Am是閉集。

綜上所述，Am是疏集，所以A是C[a，b]中的第一綱集。

由這個(gè)定理及Baire定理可得如下重要結(jié)論

定理2連續(xù)函數(shù)空間C[a，b]中非有界變差函數(shù)全體是第二綱集，即多數(shù)連續(xù)函數(shù)的圖像不可求長(zhǎng)。

注：顯然，有界變差函數(shù)未必處處可導(dǎo)，例如折線函數(shù)；另外，可微函數(shù)也未必有界變差，函數(shù)

在[0，1]上全變差為無(wú)窮大［4］。 即使f(x)的導(dǎo)函數(shù)無(wú)界，也有可能有界變差，例如函數(shù)

這些例子也說(shuō)明非有界變差函數(shù)族的綱性無(wú)法從不可微函數(shù)族的綱性直接得到。

［1］周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論［M］. 北京：北京大學(xué)出版社，2001：246-247.

［2］包淑華.基于有界變差函數(shù)的研究［J］. 廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（2）：16-18.

［3］張恭慶，林源渠. 泛函分析講義(上冊(cè))［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1987：90-93.

［4］汪林. 實(shí)分析中的反例［M］. 北京：高等教育出版社，1989：308-309.

The Category of Continuous Functions of Bounded Variation

WANG Lei-jie
(Department of Mathematics and Physics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

This paper justifies that the set of functions of bounded vatiation in C[a,b] is nowhere dense set by using Baire theorem，and all most graph of continuous functions are not rectifiable.

Rectifiable curve; bounded variation; nowhere dense set.

O174.1

A

1674-9200（2013）03-0032-02

(責(zé)任編輯 李世云)

2013 - 04 - 26

王磊杰（1980 -），男，河北武安人，文山學(xué)院數(shù)理系助教，碩士，主要從事動(dòng)力系統(tǒng)研究。