一類(lèi)橢圓曲線有正整數(shù)點(diǎn)的判別條件

楊海,付瑞琴

(1.西安工程大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710048;2.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西西安 710062)

一類(lèi)橢圓曲線有正整數(shù)點(diǎn)的判別條件

楊海1,2,付瑞琴2

(1.西安工程大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710048;2.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西西安 710062)

設(shè)p是適合p≡1(mod 8)的奇素?cái)?shù).本文主要利用初等方法證明了橢圓曲線y2=px(x2+1)在p≡9(mod 16)時(shí)沒(méi)有正整數(shù)點(diǎn)(x,y);并且對(duì)于p≡1(mod 16)的情況,給出了該橢圓曲線有整數(shù)點(diǎn)的兩個(gè)判別條件.

橢圓曲線;正整數(shù)點(diǎn);判別條件

1 引言

近年來(lái),橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)是數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何中引人關(guān)注的研究課題.設(shè)p是素?cái)?shù),對(duì)于橢圓曲線

文獻(xiàn)[1]證明了它至多有1組正整數(shù)點(diǎn)(x,y).此后,文獻(xiàn)[2]證明了:當(dāng)p=2時(shí),橢圓曲線(1)僅有正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(1,2);當(dāng)p是適合p/≡1(mod 8)的奇素?cái)?shù)時(shí),橢圓曲線(1)沒(méi)有正整數(shù)點(diǎn).由此可知,橢圓曲線(1)的正整數(shù)點(diǎn)的存在性只需考慮p≡1(m od 8)時(shí)的情況.最近,文獻(xiàn)[3]證明了:如果p=22m+1是Fermat素?cái)?shù),其中m是大于1的正整數(shù),那么(1)有正整數(shù)點(diǎn).本文將對(duì)一般的p給出(1)有正整數(shù)點(diǎn)的判別條件.

對(duì)于給定的正整數(shù)n,n可唯一地表示成n=dm2,其中d和m是正整數(shù),d是無(wú)平方因子.這樣的d稱為n的無(wú)平方因子部分,記作d(n).

設(shè)N是全體正整數(shù)的集合.由文獻(xiàn)[4]中第2.2節(jié)可知:當(dāng)p≡1(m od 4)時(shí),方程

此時(shí),(u,v)=(uk,vk)(k=1,3,5,…)是方程(2)的全部解.

本文利用初等數(shù)論方法證明了以下結(jié)論:

定理1.1當(dāng)p≡1(mod 8)時(shí),橢圓曲線(1)有正整數(shù)點(diǎn)的充要條件是2?d(u1)且ud(u1)是平方數(shù).其中(u1,v1)是方程(2)的基本解,(ud(u1),vd(u1))適合(3)式.當(dāng)此條件成立時(shí),橢圓曲線(1)僅有正整數(shù)點(diǎn)

定理1.2當(dāng)p≡9(mod 16)時(shí),橢圓曲線(1)沒(méi)有正整數(shù)點(diǎn).

定理1.3如果p=16r4+1時(shí),其中r是正整數(shù),那么方程(2)必有正整數(shù)點(diǎn).

顯然,定理1.2改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]的結(jié)果,定理1.3包含了文獻(xiàn)[3]的結(jié)論,并且由此可推知橢圓曲線(1)在p=2107等不是Fermat素?cái)?shù)的情況下也有正整數(shù)點(diǎn).

另外,由于文獻(xiàn)[5]已經(jīng)證明:當(dāng)3?d(u1)或者5?d(u1)時(shí),ud(u1)不是平方數(shù);并且猜測(cè):當(dāng)d(u1)是大于1的正奇數(shù)時(shí),ud(u1)都不是平方數(shù).因此本文提出以下猜想：

猜想當(dāng)p≡1(m od 16)時(shí),橢圓曲線(1)有正整數(shù)點(diǎn)的充要條件是u1為平方數(shù),這里(u1,v1)是方程(2)的基本解.

2 一個(gè)引理

3 定理的證明

定理1.1的證明由文獻(xiàn)[2]的分析可知:當(dāng)p≡1(mod 8)時(shí),橢圓曲線(1)有正整數(shù)點(diǎn)的充要條件是p滿足

當(dāng)條件(8)式成立時(shí),橢圓曲線(1)僅有正整數(shù)點(diǎn)

由于條件(8)式成立等價(jià)于方程

有解(X,Y),所以根據(jù)引理1.1即可得定理1.1.

定理1.2的證明當(dāng)p滿足(8)式時(shí),如果b=1,那么因?yàn)?|a,于是由(8)式可得

于是,根據(jù)Jacobi符號(hào)的性質(zhì)(參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]的定理3.6.3),由(12)式和(15)式可得b≡1(mod 8),因此b2≡1(mod 16),并且由(8)式可知此時(shí)p也滿足(11)式.由此可知:當(dāng)p≡9(m od 16)時(shí),橢圓曲線(1)沒(méi)有正整數(shù)點(diǎn).定理1.2證完.

定理1.3的證明當(dāng)p=16r4+1時(shí),因?yàn)闂l件(8)在a=2r且b=1時(shí)成立,故由文獻(xiàn)[2]可知此時(shí)橢圓曲線(1)必有正整數(shù)點(diǎn).定理1.3證完.

參考文獻(xiàn)

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[7]華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,1979.

The criterions for a kind of ellip tic cu rve has positive in teger poin ts

Yang Hai1,2,Fu Ruiqin2

(1.School of Science,X i′an Polytechnic University,Xi′an 710048,China;
2.College of Mathematics and In formation Science,Shaanxi Normal University,Xi′an 710062,China)

Let p is an odd p rim e w ith p≡1(m od 8).The m ain purpose of this paper is using the elem entary m ethods to p rove that if p≡9(m od 16),then the ellip tic cu rve y2=px(x2+1)has no positive integer point (x,y).Moreover,for p≡1(mod 16),two criterions for the elliptic curve has positive integer points are given. K ey w ords:elliptic curve,positive integer point,criterion

O156

A

1008-5513(2013)04-0338-04 DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.002

2013-05-27.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11226038);陜西省教育廳專項(xiàng)基金(11Jk0474,11Jk0472);西安工程大學(xué)博士科研基金(BS1016).

楊海(1979-),博士后,講師,研究方向：數(shù)論及其應(yīng)用.

2010 M SC:11D 25