等分分層組合投影研究

任留成，呂泗洲

（1.空軍指揮學(xué)院，北京 100097）

地圖投影是用有限的平面表示地球曲面上的地理要素而進(jìn)行的拓?fù)渥儞Q。探求地圖投影的原理和方法一般有4種：按投影的變形性質(zhì)探求地圖投影方法，按投影的經(jīng)緯線形狀探求地圖投影方法，按投影的變形分布探求地圖投影方法，按投影的其他條件探求地圖投影方法[1]。這些方法都選擇單一的柱面、錐面或切（割）平面作為投影面，有的在某些地區(qū)變形較大，有的因?yàn)榉謳П硎径荒鼙ＷC全球地理數(shù)據(jù)的連續(xù)表達(dá)。為了“數(shù)字地球”和大型GIS的深入發(fā)展，必須為其建立較理想的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

本文針對中國地理格網(wǎng)（多級格網(wǎng)系統(tǒng)）的分割方法[1-4]，設(shè)計(jì)建立一種適合該格網(wǎng)系統(tǒng)的新型地圖投影——分層組合投影。本文選擇地球橢球模型為克拉索夫斯基橢球，采用微分幾何方法，把地球橢球分割成若干層圓臺，分別建立每個(gè)圓臺各不相同的分層組合投影模型。這種投影還可根據(jù)格網(wǎng)間隔的不同進(jìn)行細(xì)分，從而發(fā)展成為一種適合多分辨率格網(wǎng)模型的動態(tài)地圖投影，使之可以擴(kuò)展成為“數(shù)字地球”和大型GIS的理想的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

1 幾何模型

該投影的設(shè)計(jì)思路是：從赤道面開始，把地球南北半球按等緯度分成若干層，每一層對應(yīng)于地球橢球體的一個(gè)圓臺，頂層是一個(gè)球冠。為了計(jì)算簡單起見，在精度范圍內(nèi)，我們采用不等厚度分割，即近赤道地區(qū)分割帶要寬一些，高緯度地區(qū)變窄。對于每一個(gè)圓臺，假想有個(gè)圓柱在底圓與之相切，依此建立局部等角圓柱投影；對于頂層的球冠，可以設(shè)計(jì)等角方位投影。如圖1所示。

圖1 圓柱逼近圓臺

2 分層投影模型

設(shè)地球旋轉(zhuǎn)橢球方程為：

式中，a、b為地球橢球的長短半軸。按照緯度每i度分割為一層（如i=1,3,6,10等），把上下半球各分割成J=90/i層，每一層的地球表面都用一個(gè)柱面近似表示，此時(shí)地球的模擬實(shí)體如圖2所示。下面僅討論上半球。

圖2 地球模擬形狀

1）第1層，起層為赤道（緯度B11=0°），末層為緯度B12=i°，相應(yīng)的曲邊圓臺同胚于一個(gè)圓柱，如圖2所示，該圓柱體的方程為：

該圓臺與其相應(yīng)的圓柱之間的等角圓柱投影可采用Mercator投影，公式為：

式中，LB表示經(jīng)緯度；l代表經(jīng)差，l=L-L0；L0為中央經(jīng)線。

2）對于第2層，起層的緯度為B21=i°，末層為B22=2i°，如圖3所示，r=NcosB21，其中則第2層是圓柱體。

圖3 橢球截面圖

在B21=i°處與圓臺相切，則相應(yīng)于該層的等角圓柱投影公式為：

式中，U的表達(dá)式如式（5）所示，B21≤B≤B22。

3）對于第j層(j=3,4,…,J-1)，起層的緯度為Bj1=（j-1）·i°，末層為Bj2=j·i°，根據(jù)圖3，r=NcosBj1，其中則第j層是圓柱體。

然而，知識型員工作為知識存儲、傳遞、創(chuàng)造的主體在企業(yè)中獲得了更加主動的地位，這不僅體現(xiàn)在勞資雙方的博弈過程中，也同樣體現(xiàn)在企業(yè)的管理方式和企業(yè)文化的選擇中。由于知識型員工對某一具體企業(yè)的經(jīng)濟(jì)依附性下降，能夠憑借其擁有的技術(shù)、知識在勞動力市場中獲得更多的發(fā)展機(jī)會，因而，現(xiàn)代企業(yè)往往面臨著核心知識員工流失的困境。在知識密集、創(chuàng)新導(dǎo)向的企業(yè)中，知識員工的流失給企業(yè)造成的損失十分巨大，甚至?xí)魅跗髽I(yè)的核心競爭能力。

在Bj1=（j-1）·i°處與圓臺相切，則相應(yīng)于該層的等角圓柱投影公式為：

式中，U的表達(dá)式如式（5）所示，Bj1≤B≤Bj2。

4）對于頂層的球冠，起點(diǎn)的緯度為BJ1=（J-1）·i°，終點(diǎn)為BJ2=90°，可利用等角正方位投影模型來表述，公式為：

式中，ρ=2Rtan(z/2)；δ=l。

3 分層投影的整體組合

圖2中的每一個(gè)圓臺表面都是一個(gè)環(huán)形帶，把這個(gè)環(huán)形帶以某一條經(jīng)線（比如L=0）為基準(zhǔn)分割開，然后投影到平面上，就是一個(gè)矩形；再把每個(gè)矩形帶按照相鄰層次依次排列在同一平面內(nèi)，則合并成整個(gè)地球表面的一種條形投影，如圖4所示。

圖4 全球投影

為了保證各個(gè)條帶地圖投影坐標(biāo)的連續(xù)性，實(shí)現(xiàn)上下條帶之間的無縫銜接，本文提出一種新的無縫銜接變換方法，使得相鄰2條帶在分界線上每個(gè)點(diǎn)的位置坐標(biāo)完全一致。

下面構(gòu)造一種變換，該變換滿足以下特性：①把矩形ABCD變換為梯形DA1B1C（如圖5所示）；②把線段AB變換為A1B1;③保持CD不變;④保持CD平行于A1B1。

則該變換滿足上述特性，它把圖5的兩個(gè)相鄰矩形的其中一個(gè)變換為梯形。

圖5 相鄰兩層的銜接變換

依此類推，把圖4中除赤道兩側(cè)的其他矩形條都變成了梯形，就實(shí)現(xiàn)了分層坐標(biāo)的無縫銜接；再把第3部分得到的投影坐標(biāo)公式按分段函數(shù)的方法組合在一起，則得到整個(gè)地球表面的投影公式為：

4 變形分析

因?yàn)槭堑冉峭队?，所以只考慮長度變形和面積變形。

1)長度變形。子午線求法為：

最后，經(jīng)過整理可得到由赤道起算的子午線弧長：

對克拉索夫橢球，得：

利用此公式，可求得所需弧長。由子午線公式x2/a2+z2/b2=1可得：

考慮x與z的絕對值變化的情況：

在B?[0,π/2]范圍內(nèi)，隨著緯度越高，z隨x的變化就越慢；則緯線弧長隨緯度值的增大相對z就變化得越快。因此，子午線方向上，長度變形隨著緯度增加而增大。長度比公式為：

2）面積變形。面積比公式為：

所以，長度變形為μ-1，面積變形為P-1。經(jīng)計(jì)算得出變形結(jié)論如下：

1°分層：0°～88.9°之間的長度最大變形為 0.817 23，面積最大變形為2.304 844；而Mercator投影在0°～56.7°之間長度最大變形達(dá)到0.821 389，面積最大變形達(dá)到2.317 459，在88.9°處長度最大變形高達(dá)52.088 987，面積最大變形高達(dá)2 713.262 584。表1僅列出部分緯線上的長度變形和面積變形。

表1 1°分層部分緯線上的長度變形和面積變形

3°分層：0°～88.9°長度最大變形為1.726 192，面積最大變形為6.432 121，它幾乎是Mercator投影在68.5°附近的精度。表2列出部分長度變形和面積變形。

表2 3°分層部分長度變形和面積變形

10°分層：0°～85°長度最大變形為0.992 388，面積最大變形為2.969 610，它幾乎是Mercator投影在60°附近的精度。表3列出部分長度變形和面積變形。

表3 10°分層部分長度變形和面積變形

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