變換群與若干哲學(xué)范疇的廣譜分析

郭少磊

（華北水利水電大學(xué) 水利學(xué)院，鄭州 450011）

【經(jīng)管索微】

變換群與若干哲學(xué)范疇的廣譜分析

郭少磊

（華北水利水電大學(xué) 水利學(xué)院，鄭州 450011）

從廣譜哲學(xué)的視角出發(fā)，可把變換群看成人的一種觀控方式，從而把變換群、不變性與事物客觀性三者聯(lián)系起來(lái)；分析變換群與分類的內(nèi)在聯(lián)系，可引出差異與同一、共性與個(gè)性的變換群描述；運(yùn)用廣譜哲學(xué)的類變理論，可揭示變換群與量變質(zhì)變規(guī)律、可推測(cè)與不可推測(cè)的數(shù)學(xué)機(jī)理。

變換群；哲學(xué)范疇；廣譜分析

通常對(duì)變換群概念的理解主要限定在純數(shù)學(xué)意義上，很少涉及到其事理和哲理。本文依據(jù)廣譜哲學(xué)對(duì)變換群概念和方法的分析，探討變換群與人的觀控方式和事物的客觀性，以及變換群誘導(dǎo)的差異與同一、共性與個(gè)性、量變與質(zhì)變、可推測(cè)與不可推測(cè)等重要關(guān)系的意義。

一、變換群與觀控方式

變換群是以變換為元素的群，通常的抽象群是滿足4個(gè)條件（封閉性、結(jié)合性、單位元、逆元）的集合，但由于變換作為元素的特殊性，因此由變換構(gòu)成群的條件僅需要2個(gè)。設(shè)G是變換的集合，*是變換之間的運(yùn)算。若滿足：（1）G中任兩個(gè)變換的復(fù)合變換存在，且仍是G中的一個(gè)變換；（2）G中每個(gè)變換的逆變換存在，且仍是G中的一個(gè)變換；則（G，*）是一個(gè)變換群。

在廣譜哲學(xué)中，變換被看成一類特殊的觀控方式。［1］30－31觀控方式即人們觀察和控制事物的方式（角度、層次、方法、手段、條件等）。例如通常做實(shí)驗(yàn)就是先控后觀，即把實(shí)驗(yàn)對(duì)象置于一個(gè)典型環(huán)境下進(jìn)行觀察。數(shù)學(xué)上的變換在操作意義上也表現(xiàn)為一定觀控方式下的觀察。例如解析幾何中的坐標(biāo)變換可以看做先旋轉(zhuǎn)再平移的操作；給定一個(gè)幾何對(duì)象（如三角形、圓等），看它在上述操作下，哪些性質(zhì)變化，哪些性質(zhì)不變，這就是先控后觀的方式。此外，像仿射幾何中的仿射變換、射影幾何中的射影變換、拓?fù)鋵W(xué)中的拓?fù)渥儞Q等，均可如是觀。在經(jīng)典力學(xué)中，伽利略變換代表了宏觀低速條件下的觀察方式，而狹義相對(duì)論的洛倫茲變換，代表了微觀、高速條件下的觀控方式。［1］41－42此外，廣義相對(duì)論中任意參照系之間的變換、規(guī)范場(chǎng)論中的位相變換等，均有確切的觀控意義。

把變換群的元素（變換）視為一定觀控方式的觀點(diǎn)，將為分析一般事物的機(jī)理打開(kāi)新的視野。

二、變換群與事物的客觀性

在廣譜哲學(xué)中，研究對(duì)象的客觀性被定義為：在一定的觀控條件下，n個(gè)人或n次（n在理論上可以為無(wú)窮大）獨(dú)立的觀控結(jié)果具有一致性或不變性。進(jìn)一步簡(jiǎn)化、抽象后，客觀性即一定觀控方式下n重觀控結(jié)果的等價(jià)性。［1］當(dāng)變換群的元素即變換被看成是一定的觀控方式時(shí)，則變換群下的不變性便與研究對(duì)象的客觀性聯(lián)系起來(lái)了。例如，由形如（1）的所有變換構(gòu)成一個(gè)變換群，稱為運(yùn)動(dòng)群。容易驗(yàn)證，在變換（1）的作用下，一個(gè)平面圖形的長(zhǎng)度、角度均不變，因此該幾何圖形的形狀和大小均保持不變。換言之，在旋轉(zhuǎn)和平移的操作下，物體（這里是幾何圖形）的剛性不變。

這時(shí)，剛性就是旋轉(zhuǎn)平移這種觀控方式下的客觀屬性。又如伽利略變換構(gòu)成一個(gè)變換群，稱為伽利略變換群。不難驗(yàn)證，在伽利略變換下，時(shí)間間隔，空間間隔 （一物體的長(zhǎng)度）以及牛頓力學(xué)定律都是不變的。換言之，在伽利略變換（反映宏觀低速運(yùn)動(dòng)）這種觀控方式下，時(shí)間不變、空間不變是自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的客觀屬性，牛頓力學(xué)定律（如）是自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的客觀規(guī)律。同樣，洛倫茲變換也構(gòu)成一個(gè)變換群，稱為洛倫茲變換群?？梢宰C明，在洛倫茲變換下，上述的時(shí)間間隔、空間間隔要改變，但時(shí)空間隔不變，它反映了在洛倫茲變換（反映微觀高速運(yùn)動(dòng)）這種觀控方式下，時(shí)空相互聯(lián)系的屬性是一個(gè)客觀屬性。此外還可以證明，在洛倫茲變換下，在不同的慣性系，麥克斯韋方程組的形式是不變的，它反映了高速運(yùn)動(dòng)（電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)）下電磁場(chǎng)規(guī)律的客觀性。

把變換群、不變性、客觀性這三個(gè)表面上不相關(guān)的概念聯(lián)系起來(lái)，我們就能在科學(xué)觀上得到一個(gè)深化：既然變換群下的不變性反映了事物的客觀性，而一切科學(xué)都是研究一定事物一定層面的客觀性的，因此，一切科學(xué)都是研究一定觀控方式下一定事物一定層面的不變性的。［2］顯然，這一結(jié)論給我們提供了透視各門(mén)科學(xué)的一個(gè)重要側(cè)面。

三、由變換群誘導(dǎo)的若干重要關(guān)系

在數(shù)學(xué)上可以證明，給定集合X上的一個(gè)變換群G，可以誘導(dǎo)一個(gè)等價(jià)關(guān)系，從而決定了X的一個(gè)分類；反之，給定X上的一個(gè)分類，可以誘導(dǎo)X上的一個(gè)變換群G，即分類與變換群有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。［3］由這種聯(lián)系，我們可以引出對(duì)認(rèn)識(shí)論、本體論有重要價(jià)值的若干關(guān)系的廣義量化模型。

（一）差異與同一的關(guān)系。

按照廣譜哲學(xué)的觀點(diǎn)，等價(jià)關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)，也反映了一定的觀控水平。例如，設(shè)A是人的集合，按“同性別關(guān)系”（等價(jià)關(guān)系），可以把A分成“男人類”和“女人類”；按照“同品德關(guān)系”（等價(jià)關(guān)系），可以把A分成“好人類”和“壞人類”，等等。顯然，從性別上和品德上看人，代表兩種不同的觀控水平。當(dāng)我們選定一種觀控水平時(shí)，一個(gè)集合A就被分成若干個(gè)等價(jià)類，在同一個(gè)等價(jià)類內(nèi)，所有的事物在等價(jià)關(guān)系（同一性關(guān)系）［4］的意義上視為無(wú)差別。但在不同的等價(jià)類之間，分處兩個(gè)等價(jià)類的事物，視為有質(zhì)的差別，這就引出了差異與同一的關(guān)系。

從數(shù)學(xué)上看，分類是一個(gè)映射fδ：→A／δ，其中A／δ＝｛A1｜i＝1，2…，n｝，且當(dāng)i≠j時(shí)，A1∩AJ＝Φ（空集）。這時(shí)，所謂同一性是指，對(duì)?x，y∈Ai，有（x，y）。所謂差異性是指，對(duì)?x∈Ai，y∈Aj（i≠j），有（x，y）∈Ai×Aj，其中符號(hào)×表示笛卡爾直積。

圖1 等價(jià)類對(duì)應(yīng)變換群的軌道

上面講的變換群可以誘導(dǎo)一個(gè)等價(jià)關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是說(shuō)，對(duì)于集合A的任兩個(gè)元素x，y∈A，變換群的一個(gè)變換g∈G，把x變成y，即g（x）＝y(tǒng)，而這樣一個(gè)關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。原因在于變換群有恒等變換I∈G，它把任意的x∈A，變成x自身，即g（x）＝x，這就導(dǎo)致自返性。其次，變換群的每個(gè)變換g∈G，存在逆變換g－1，使得當(dāng)g（x）＝y(tǒng)時(shí)，有g(shù)－1（y）＝x，這就導(dǎo)致對(duì)稱性。最后，由變換的復(fù)合可導(dǎo)致傳遞性。這就誘導(dǎo)了一個(gè)等價(jià)關(guān)系。通常把集合Ωx＝｛g（x）｜g∈G，x∈A｝稱為A在G作用下的軌道。容易知道，變換群作用在集合A上的效果是：它把由δ劃分的每一類元素變成自己一類的元素，因此，變換群作用下的每一條軌道恰好是由δ劃分出來(lái)的一個(gè)等價(jià)類（圖1）。于是同一性與差異性轉(zhuǎn)化成變換群的語(yǔ)言，這時(shí)所謂同一性是指，對(duì)?x，y∈Ωx，有（x，y）∈；而差異性是指，對(duì)?x∈Ωx，y∈Ωy，有（x，y）∈Ωx×Ωy，即同一條軌道上的兩個(gè)事物具有同一性，不同軌道上的事物具有差異性。

（二）共性與個(gè)性的關(guān)系

當(dāng)?shù)葍r(jià)關(guān)系選定后，分類也可以從共性和個(gè)性的角度進(jìn)行分析。不同等價(jià)類內(nèi)的事物，在不具有等價(jià)關(guān)系的意義上沒(méi)有共性。例如男人類和女人類各取一個(gè)元素，在不具有同性別的意義上，沒(méi)有共性（雖然具有一般人的共性，那是另一種分類標(biāo)準(zhǔn)）。但在同一個(gè)等價(jià)類里，（x，y）∈A2（A1∈A／δ），它們?cè)诘葍r(jià)關(guān)系的意義上具有共性。這時(shí)任何x，y∈A1，有x≠y，這是各個(gè)事物的個(gè)性或特殊性。例如在男人類里，任何兩個(gè)男人在長(zhǎng)相、身高、膚色、體態(tài)等方面是各個(gè)不同的。顯然，把等價(jià)類看成是變換群的軌道，有類似的結(jié)論。不過(guò)，用變換群的軌道描述共性和個(gè)性，更適于描述同一個(gè)事物的變化過(guò)程，即一個(gè)事物由x態(tài)變到x＇態(tài)時(shí)，如果處在同一條軌道上，它們具有共性，但x≠x＇，又具有各自的特殊性。這就如同處在同一圓（旋轉(zhuǎn)群的一條軌道）上的兩點(diǎn)x和x＇，它們具有相同的半徑（共性），但它們位置不同（特殊性或個(gè)性）。

（三）量變與質(zhì)變的關(guān)系

如果考慮事物自身的發(fā)展變化可以劃分為若干個(gè)階段，則劃分的標(biāo)準(zhǔn)成為沿時(shí)間方向展開(kāi)的等價(jià)關(guān)系（廣譜哲學(xué)稱為自等價(jià)關(guān)系），它的實(shí)質(zhì)是在一定時(shí)段內(nèi)“保持事物的性質(zhì)不變”。例如，水在0℃到100℃之間保持液態(tài)水不變，就是廣義的量變，廣譜哲學(xué)稱為同類變，即在同一個(gè)等價(jià)類內(nèi)的變化。但當(dāng)達(dá)到100℃時(shí)，液態(tài)水變成汽態(tài)水，就是廣義的質(zhì)變，廣譜哲學(xué)稱為異類變，［2－5］即從一個(gè)自等價(jià)類躍遷到了另一個(gè)自等價(jià)類。

圖2 從變換群軌道上看量變和質(zhì)變關(guān)系

從變換群的角度看，上述按自等價(jià)關(guān)系的分類也對(duì)應(yīng)一個(gè)變換群，稱為自等價(jià)變換群，這個(gè)變換群的軌道生成諸自等價(jià)類。在圖2中，（（x，1），（x＇，t＇））∈是在同一條軌道內(nèi)變化，即廣義的量變，而（（x，t），（x＇，t＇））∈Ω1×Ω2是從一條軌道Ω1躍遷到了另一條軌道Ω2，即廣義的質(zhì)變。［2］

一個(gè)典型的例子是社會(huì)上的等級(jí)現(xiàn)象（權(quán)力等級(jí)、職稱等級(jí)、學(xué)歷等級(jí)等），可以看成一種劃分，其等價(jià)關(guān)系是“處在同一等級(jí)中”，這時(shí)每個(gè)等級(jí)是一個(gè)等價(jià)類，從而對(duì)應(yīng)變換群的一條軌道。當(dāng)一個(gè)人沒(méi)有得到提升，始終處在同一個(gè)等級(jí)時(shí)，表現(xiàn)在同一條軌道上“滑行”（如從一個(gè)科級(jí)崗移到另一個(gè)科級(jí)崗），這是廣義的量變。當(dāng)他得到了提升，從一個(gè)較低的軌道躍遷到較高的軌道，或者他被降級(jí)，從較高的軌道躍遷到較低的軌道，就是廣義的質(zhì)變，如圖3所示。

圖3 等級(jí)現(xiàn)象中的量變和質(zhì)變

（四）可推測(cè)與不可推測(cè)的關(guān)系

從認(rèn)識(shí)論角度看，上述量變質(zhì)變模型可用來(lái)研究人們?nèi)绾瓮茢噙^(guò)去和預(yù)測(cè)未來(lái)。推斷過(guò)去是從現(xiàn)在推測(cè)過(guò)去，即“向后看”，預(yù)測(cè)未來(lái)是從現(xiàn)在推測(cè)將來(lái)，即“向前看”。廣譜哲學(xué)認(rèn)為，無(wú)論“向后看”還是“向前看”都要依據(jù)某種不變性（不變的性狀或規(guī)律），稱為“等價(jià)遷移條件”。［1］在圖2中，由于（（x，t），（x＇，t＇））∈即t時(shí)刻x的性狀與t＇時(shí)刻x＇的性狀沒(méi)有本質(zhì)差別（處在同一條軌道即同一個(gè)等價(jià)類中），因此，可以從（x＇，t＇）的性狀推出（x，t）的性狀，反之亦然。例如，可以從人造地球衛(wèi)星現(xiàn)在的位置（x＇，t＇）推出以前某時(shí)刻的位置（x，t），也可以從現(xiàn)在的位置（x，t）推出未來(lái)某時(shí)刻的位置（x＇，t＇）。其原因在于衛(wèi)星處在同一條軌道（等價(jià)類）上。如果衛(wèi)星突然變軌就無(wú)法做上述推測(cè)，這是因?yàn)榈葍r(jià)遷移的條件遭到了破壞。

一般說(shuō)，當(dāng)事物的變化處在變換群的同一條軌道（同一個(gè)等價(jià)類內(nèi)）時(shí)，可以依據(jù)不變性推斷過(guò)去和預(yù)測(cè)未來(lái)，當(dāng)事物的變化是由一條軌道躍遷到另一條軌道時(shí)，由于兩條軌道之間不存在變換（注意前面講的變換群把由δ劃分的每一類元素變成自己一類的元素），因此上述推斷與預(yù)測(cè)就不可能了。

不過(guò)，換個(gè)角度看，不可推測(cè)是由分類造成的。如果分類標(biāo)準(zhǔn)變了，則等價(jià)類的劃分也變了，從而變換群的軌道也變了，如圖4所示。

圖4 從變換群軌道看可推測(cè)與不可推測(cè)關(guān)系

圖4中，對(duì)于原軌道Ω1和Ω2而言，由于（（x，t），（x＇，t＇））∈，故從（x，t）到（x＇，t＇）或者反過(guò)來(lái)是可推測(cè)的。但由于（（x，t），（x＇，t＇））∈Ω1×Ω2，故從（x，t）到（x＇，t＇）或者反過(guò)來(lái)不可推測(cè)。對(duì)于新軌道Ω＇1和Ω＇2而言，由于（（x＇，t＇），（x＇，t＇））∈，因此由（x＇，t＇）到（x＇，t＇）或者反過(guò)來(lái)是可推測(cè)的（注意對(duì)舊軌道不可推測(cè)）。這就是說(shuō)，當(dāng)分類標(biāo)準(zhǔn)改變時(shí)，可推測(cè)與不可推測(cè)具有相對(duì)性。

例如，我們從監(jiān)控錄相中鎖定了犯罪嫌疑人的相貌特征。一般情況下，人的相貌特征在一定時(shí)段內(nèi)是穩(wěn)定不變的，可以看成在一個(gè)自等價(jià)類中。但若該犯罪嫌疑人做了重大的整容手術(shù)，則破壞了等價(jià)遷移條件，就無(wú)法推斷該犯罪嫌疑人以前的相貌特征。不過(guò)，如果還提取了犯罪嫌疑人的DNA結(jié)構(gòu)，由于DNA結(jié)構(gòu)不會(huì)隨相貌的改變而改變，它會(huì)在很長(zhǎng)的時(shí)段（生前乃至死后）保持同構(gòu)性（一種等價(jià)關(guān)系），因此可推斷“此犯罪嫌疑人就是彼犯罪嫌疑人”。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所論，變換群的概念經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)分析（它與分類的聯(lián)系），事理分析（它與觀控方式、客觀性的聯(lián)系），哲理分析（它與異同關(guān)系、共性個(gè)性關(guān)系、量變質(zhì)變關(guān)系、可推測(cè)與不可推測(cè)關(guān)系等的內(nèi)在關(guān)聯(lián)），展現(xiàn)了極深刻的內(nèi)涵和廣泛的意義。當(dāng)把它的精髓概括為一定觀控下的不變性時(shí)，它已不限于是一個(gè)純數(shù)學(xué)的概念，而是成為我們觀察現(xiàn)實(shí)、分析現(xiàn)實(shí)的一種重要的觀控方式。

［1］張玉祥.廣譜存在論導(dǎo)引［M］.香港：香港天馬出版有限公司，2004.

［2］張玉祥.廣譜哲學(xué)在自然辯證法教學(xué)中的若干應(yīng)用［J］.華北水利水電學(xué)院學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2009，（1）：17－20.

［3］張堯庭.指標(biāo)量化、序化的理論和方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1999：41－43.

［4］張玉祥.結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)及其在廣譜分析中的應(yīng)用［J］.河南科學(xué)，2009，（5）：525－529.

［5］王曉崗.關(guān)于哲學(xué)數(shù)學(xué)化的一些思考——從廣譜哲學(xué)談起［J］.廣西社會(huì)科學(xué)，2012，（9）：32－35.

A Broad-spectrum Analysis on Transformation Group and Philosophical Catetories

GUO Shao-lei

（School of Water Conservancy，North China University of Water Conservancy and Hydroelectric Power，Zhengzhou 450011，China）

Based on broad-spectrum philosophy，transformation group is taken as ahuman observocontrol mode which connects transformation group with invariance and objectivity.An analysis on ingenerate connection between transformation group and classification makes expression of transformation group in terms of difference and identity，generality and individuality clear.The Class-change theory of broad-spectrum philosophy can reveal both the relationships between transformation group and qualitative and quantitative change and the mathematical mechanism of reference and non-reference.

transformation group；philosophical categories；broad-spectrum analysis

C02

：A

：1672－3910（2013）05－0084－04

2013－05－29

郭少磊（1982－），男，河北元氏人，北京林業(yè)大學(xué)博士生。