亞純函數(shù)的正規(guī)族與重值

黃躍龍， 葉亞盛

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

亞純函數(shù)的正規(guī)族與重值

黃躍龍， 葉亞盛

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

設(shè)F是區(qū)域D上的一族亞純函數(shù)，ψ（0）是區(qū)域D上的全純函數(shù)，k為正整數(shù)，且對于任意的函數(shù)f∈F，都滿足條件：f不取零不取零；且零點重級大于等于（k+2）/k，且中括號內(nèi)的微分多項式與ψ（z）無公共零點；其中ai（z）與bi（z）是區(qū)域D上全純函數(shù)（i=0，1，…，k-1），則F在D內(nèi)正規(guī).

正規(guī)族；重級；亞純函數(shù)

1979年，Gu［1］證明了Hayman［2］關(guān)于正規(guī)族的一個著名的猜想，這一個結(jié)果被稱為顧永興定則，內(nèi)容為：

定理1設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的一族亞純函數(shù)，k為正整數(shù)，a為非零常數(shù).若對任意的f∈F都滿足f≠0，f（k）≠a，則F在D內(nèi)正規(guī).

Fang等［3］考慮了定理1中a=0的情況，適當(dāng)添加了條件，得到：

定理2設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的一族亞純函數(shù)，k為正整數(shù)，b為非零復(fù)數(shù).若對任意的f∈F滿足f≠0，f（k）≠0，且f（k）-b的零點重級不小于（k+ 2）/k，則F在D內(nèi)正規(guī).

徐焱等［4］考慮了可否將定理2中的非零復(fù)數(shù)b改為一般的不恒為零的全純函數(shù)，其證明了：

定理3設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的一族亞純函數(shù)，ψ（0）為D內(nèi)的全純函數(shù)，k為正整數(shù)，若對任意的f∈F都滿足：

a.f≠0，f（k）≠0；

b.f（k）（z）-ψ（z）的零點重級至少為（k+2）/k，則F在D內(nèi)正規(guī).

本文將定理3中的f（k）（z）推廣為一般的微分多項式，得到結(jié)論：

定理4設(shè)F是區(qū)域D上一族亞純函數(shù)，ψ（0）是區(qū)域D上全純函數(shù)，k∈N+.若?f∈F，滿足：

無公共零點，其中，ai（z）與bi（z）是區(qū)域D上全純函數(shù)（i=0，1，…，k-1），則F在D內(nèi)正規(guī).

1 一些引理

引理1［5-6］（Pang-Zalcman引理）設(shè)F是單位圓盤D內(nèi)的亞純函數(shù)族，F(xiàn)中的每個函數(shù)的零點重級至少是k，并且有：

a.f（z）=0，必有f（k）（z）≤A；

b.F在單位圓盤D內(nèi)不正規(guī)，那么對于每一個α，0≤α≤k，存在

（a）實數(shù)0＜r＜1；

（c）函數(shù)數(shù)列fn∈F；

（d）正數(shù)列ρn→0+，使函數(shù)列在C上按球面距離內(nèi)閉一致收斂到g（ζ），并且g#（ζ）≤g#（0）=k A+1.特別的g的級至多為2.

引理2［8］設(shè)k≥1，l≥0為兩個正整數(shù)，f是復(fù)平面C上有理函數(shù)，如果f≠0，f（k）≠0，則f（k）-zl至少有一個單零點.

引理3設(shè)k∈N+，F(xiàn)是區(qū)域D上的一族亞純函數(shù)，｛φn（z）｝為D上一列全純函數(shù)，且φn→φ（≠0）在D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂.若對?fn∈F，fn≠0，且的零點重級至少為（k+2）/k，其中ai（z）與bi（z）是區(qū)域D上全純函數(shù)（i=0，1，…，k-1），則F在D內(nèi)正規(guī).

得到矛盾，故g是有理函數(shù).又g≠0，g（k）≠0，由引理2，g（k）-φ（z0）至少有一個單零點，得出矛盾.故引理3得證.

引理4設(shè)k∈N+，F(xiàn)是區(qū)域D上一族全純函數(shù)，ψ（0）為D上全純函數(shù)，?f∈F，f≠0，且f（k）+ak-1f（k-1）+…+a1f′+a0f-ψ（z）零點重級≥2，其中ai（z）是區(qū)域D上全純函數(shù)（i=0，1，…，k-1），則F在D內(nèi)正規(guī).

證明由正規(guī)族的局部性質(zhì)，僅需要證明F在D內(nèi)每一點正規(guī)，設(shè)z0∈D.

情形1ψ（z0）≠0.若F在z0處不正規(guī)，則存在fn∈F，zn→z0，ρn→0+，使得gn（ξ）=fn（zn+ ρnξ）/ρkn→g（ξ）按球面距離內(nèi)閉一致地收斂，其中g(shù)是復(fù)平面上的非常數(shù)全純函數(shù)，且g（ξ）≠0，ρ（g）≤1.所以g（ξ）=eAξ+B，其中A（≠0）和B為常數(shù)，而

按球面距離內(nèi)閉一致地收斂.由于函數(shù)列的零點重級≥2，所以g（k）（ξ）-ψ（z0）的零點重級≥2.而g（k）（ξ）=AkeAξ+B，因為AkeAξ+B-ψ（z0）只有單零點，矛盾.

情形2ψ（z0）=0，則存在δ＞0，使得在D′δ（z0）上ψ（z）≠0.由情形1知F在D′δ（z0）內(nèi)正規(guī).設(shè)｛fn｝為F的一函數(shù)列，則存在｛fn｝子列（仍記為它本身），使得｛fn｝在D′δ（z0）上內(nèi)閉一致收斂到一解析函數(shù)或一致發(fā)散到∞.

若為第一種情況，由最大模原理，｛fn｝在Dδ（z0）上也內(nèi)閉一致收斂.

若為第二種情況，1/fn→0在D′δ（z0）上內(nèi)閉一致收斂，而fn≠0，1/fn全純，由最大模原理，1/fn→0在Dδ（z0）上內(nèi)閉一致收斂，從而｛fn｝在Dδ（z0）上也內(nèi)閉一致發(fā)散到∞.綜上F在z0正規(guī)，引理4得證.

證明注意到ψn（z）=zlφn（z）→zl=ψ（z），由正規(guī)族的局部性質(zhì)，僅需要證明F在D內(nèi)每一點正規(guī)，設(shè)z0∈D，分兩種情形來討論：

情形1ψ（z0）≠0.若F在z0不正規(guī)，則存在fn∈F，zn→z0，ρn→0+，使得按球面距離內(nèi)閉一致收斂，其中g(shù)是復(fù)平面上非常數(shù)全純函數(shù)，且g（ξ）≠0，ρ（g）≤1，所以g（ξ）=eAξ+B，其中A（≠0）和B為常數(shù)，而

按球面距離內(nèi)閉一致的收斂.由于函數(shù)列的零點重級≥2，所以g（k）（ξ）-ψ（z0）的零點重級≥2，而g（k）（ξ）=AkeAξ+B，故AkeAξ+B-ψ（z0）只有單零點，矛盾.

情形2ψ（z0）=0，即z0=0，即只需證明F在z0=0處正規(guī).因為存在δ＞0，使得在D′δ（z0）上ψ（z）=zl≠0，由情形1的證明知F在D′δ（z0）內(nèi)正規(guī)，下面的證明同引理4的情形2部分.

從證明中看到引理5中的條件：f（k）n+ak-1f（k-1）n+…+a1f′n+a0fn≠0可以省去.

2 定理4的證明

由正規(guī)族的局部性質(zhì)，僅需要證明F在D內(nèi)每一點正規(guī)，不失一般性，設(shè)D=Δ為單位圓盤.不妨設(shè)ψ（z）=zlφ（z），（z∈Δ），l是正整數(shù)，且φ（0）= 1，φ（z）≠0在，下證F在z= 0處正規(guī).

作G=｛g（z）=f（z）/ψ（z），f∈F，z∈Δ｝，因為f≠0，所以g（0）=∞.

先證明G在Δ內(nèi)正規(guī).若G在z0∈Δ不正規(guī)，則存gn∈G，zn→z0，ρn→0+，使得）按球面距離內(nèi)閉一致的收斂，G（ξ）是非常數(shù)亞純函數(shù)，因gn≠0，故G（ξ）≠0.下面分兩種情形來討論：

由條件式（2）左邊的分子零點重級≥（k+2）/k，又由條件式（2）左邊的分子與分母無公共零點，所以G（k）（ξ）-1零點重級≥（k+2）/k，綜上G（ξ）≠0，G（k）（ξ）≠0，G（k）（ξ）-1零點重級≥（k+2）/k，由引理2知G（ξ）為超越函數(shù)，所以

所以，ξ=0是G-（ξ）的極點，且其重數(shù)≥l.

［1］ Gu Y X.A normal criterion of meromorphic families［J］.Scientia Sinica Math，1979，1（1）：267-274.

［2］ Hayman W K.Research problems in function theory［M］.London：Athlone Perss，1967.

［3］ Fang M L.Chang J M.Normal families and multiple values［J］.Arch Math，2007（88）：560-568.

［4］ 徐焱，常建明.正規(guī)定則與重值［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2011，54（2）：265-270.

［5］ Pang X C，Zalcman L.Normal families and shared values［J］.Bull London Math Soc，2000，32（3）：325 -331.

［6］ Zalcman L.Normal families new perspectives［J］.Bull Amer Soc，1998，35：215-230.

［7］ Clunie J，Hayman W K.The sphereical derivative of integral and meromorphic functions［J］.Comment Math Helvet，1966，40（1）：117-148.

［8］ Xia J Y，Xu Y.Normal families of meromorphic functions with multiple values［J］.J Math Anal Appl，2009，354（1）：387-393.

Normal Families of Meromorphic Functions and Multiple Values

HUANGYuelong， YEYasheng
（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Let F be a family of meromorphic functions defined in a domain D，ψ（0）be a holomorphic function in D，k is a positive integer.If?f∈F，we haved oes not go to zero，all zeros ofhave multiplicities at least（k+2）/k，and the differential polynomiala nd the functionψ（z）have no common zeros，where ai（z）and bi（z）are holomorphic functions in D（i=0，1，…，k-1），then F is normal in D.

normal family；multiplicity；meromorphic function

O 174.52

A

1007-6735（2013）01-0060-05

2012-03-07

黃躍龍（1987-），男，碩士研究生.研究方向：復(fù)分析.E-mail：huangyuelong188@163.com

葉亞盛（1960-），男，副教授.研究方向：復(fù)分析.E-mail：yashengye@yahoo.com.cn