勾股定理常見錯(cuò)例剖

陳惠穎

勾股定理是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，應(yīng)用很廣泛. 由于勾股定理及其逆定理的形式都比較簡(jiǎn)單，不少同學(xué)在應(yīng)用時(shí)常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，現(xiàn)將這些錯(cuò)例歸類剖析，供同學(xué)們參考.

一、刻板地套用勾股定理

例1 在Rt△ABC中，∠A=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊， a=4，b=3，求c的長(zhǎng)度.

錯(cuò)解：由勾股定理，得c2=a2+b2=42+32=25，所以c=5.

剖析：錯(cuò)在對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)不正確，受勾股定理c2=a2+b2的影響，想當(dāng)然地套用勾股定理，認(rèn)為c是斜邊而導(dǎo)致錯(cuò)誤. 實(shí)際上，本題中∠A=90°，a是斜邊，故應(yīng)是a2=b2+c2.

正解：因?yàn)椤螦=90°，由勾股定理，得a2=b2+c2 .故有c2=a2-b2=42-32=7，所以c =.

點(diǎn)評(píng)：在使用勾股定理時(shí)，要注意直角所對(duì)的邊是斜邊，而c不一定是斜邊. 既要看是否滿足勾股定理的形式，又要看這個(gè)定理中a、b、c的實(shí)質(zhì).

二、忽略勾股定理存在的條件

例2 在邊長(zhǎng)都是整數(shù)的△ABC中，AB>AC，如果AC=4，BC=3，求AB的長(zhǎng).

錯(cuò)解：因?yàn)锳B>AC，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=42+32=25，所以 AB=5.

剖析：此題錯(cuò)在沒有明確是否為直角三角形，受“勾3股4弦5”的思維定勢(shì)的影響，誤認(rèn)為△ABC是直角三角形，忽略勾股定理存在的條件而盲目使用勾股定理.

正解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形任何一邊小于兩邊的和，得AC+BC>AB>AC，即4

點(diǎn)評(píng)：勾股定理揭示了直角三角形三邊的關(guān)系，但只有在直角三角形中才成立. 因此在非直角三角形或不確定是直角三角形的情況下，不能盲目使用勾股定理.

三、思考問題不全面

例3 在Rt△ABC中， a=8，b=6，求c的長(zhǎng)度.

錯(cuò)解：由勾股定理，得c2=a2+b2=82+62=100，所以c=10.

剖析：本題沒有給出對(duì)應(yīng)的圖形，上述解法誤認(rèn)為∠C是直角，將c當(dāng)作斜邊，思考問題不全面. 由于本題沒有明確哪個(gè)角是直角，所以需要分情況討論：∠A是直角或者∠C是直角.

正解：（1）當(dāng)∠C是直角時(shí)，

由勾股定理，得c2=a2+b2=82+62=100，所以c=10.

（2）當(dāng)∠A是直角時(shí)，

由勾股定理，得a2=b2+c2.故c2=a2-b2=82-62=28，所以c =2.

故c的長(zhǎng)度為10或者2.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題目給出直角三角形兩邊長(zhǎng)，并且沒有確定它們都是直角邊時(shí)，需要考慮到所有符合條件的圖形，明確第三邊既可以是直角邊，也可以是斜邊. 周密思考，防止漏解.

四、勾股定理與逆定理混淆不清

例4 在△ABC中，a=12，b=5，c=13，試判斷△ABC的形狀.

錯(cuò)解：因?yàn)閏2=132=169，a2+b2=122+52=169，所以a2+b2=c2.

根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形.

剖析：本題錯(cuò)在混淆了勾股定理與其逆定理，雖然最終判斷的結(jié)果正確的，但判斷的依據(jù)錯(cuò)誤. 勾股定理的前提是在直角三角形中，結(jié)論是a2+b2=c2，所以勾股定理是直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，而勾股定理的逆定理才是直角三角形的一個(gè)判定方法.

正解：因?yàn)閏2=132=169，a2+b2=122+52=169，所以a2+b2=c2.

根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.

點(diǎn)評(píng)：勾股定理是直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，可以用它來(lái)判斷直角三角形三邊的等量關(guān)系，而其逆定理是根據(jù)三邊的等量關(guān)系來(lái)判斷三角形的形狀.

五、推理錯(cuò)誤

例5 在△ABC中， a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊， a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1），求∠C的度數(shù).

錯(cuò)解：因?yàn)椋╪2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，即n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1.

所以a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知∠C=90°.

剖析：本題錯(cuò)在推理過程上，列出（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2這個(gè)等式就認(rèn)為a2+b2=c2成立.

正解：因?yàn)閍2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，所以a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理可知∠C=90°.

點(diǎn)評(píng)：在判斷所給的線段能否構(gòu)成直角三角形時(shí)，首先要確定最長(zhǎng)邊，然后再通過推理，只有計(jì)算出較短兩邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方時(shí)，才能說明此三角形是直角三角形.

通過對(duì)這些問題的剖析，希望同學(xué)們能仔細(xì)體會(huì)勾股定理及其逆定理的本質(zhì)意義，并加以靈活運(yùn)用.

練習(xí)：

1.在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且（a+b）（a-b）=c2，則（ ）.

A.∠C=90° B .∠B=90°

C.∠A=90° D.不是直角三角形

2.在△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，求BC的長(zhǎng).

參考答案： 1.C； 2.25或7.