基于灰色系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡的鐘差預報

雷雨，趙丹寧，高玉平

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基于灰色系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡的鐘差預報

雷雨1,2,3，趙丹寧1,3,4，高玉平1,2

（1. 中國科學院國家授時中心，西安 710600；2. 中國科學院時間頻率基準重點實驗室，西安 710600； 3. 中國科學院大學，北京 100039；4. 中國科學院精密導航定位與定時技術重點實驗室，西安 710600）

灰色系統(tǒng)；神經(jīng)網(wǎng)絡；鐘差預報

0 引言

鐘差預報在導航定位、守時和GPS不完整星座定位和接收機自主完好性監(jiān)測（receiver autonomous integrity monitoring，RAIM）等方面具有非常廣泛的用途。在衛(wèi)星導航定位中，導航電文實時發(fā)播衛(wèi)星鐘改正數(shù)，以滿足實時導航定位的需要[1]；在守時實驗室中，控制守時參數(shù)，以輸出高精度的時間同步信號[2-3]；在不完整星座（衛(wèi)星數(shù)小于4顆）條件下，接收機鐘差可作為一顆可視衛(wèi)星輔助定位[4-5]；在RAIM中，接收機鐘差可作為一個輔助量參與故障衛(wèi)星的檢測與識別[6-7]。較常用的鐘差預報模型為多項式模型，該模型計算簡單、參數(shù)易估計，但很難用于復雜時間序列的處理。無論是星載鐘、地面原子鐘還是普通晶體振蕩器，都是非常敏感的，極易受到外界環(huán)境及自身因素的影響，很難掌握其復雜細致的變化規(guī)律，因此可將鐘差的變化過程視為灰色系統(tǒng)。GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)中最常用的鐘差預報模型，許多學者對其進行了研究，并取得了顯著的效果[8-9]。GM（1，1）模型可以基于較少的歷史數(shù)據(jù)建立預報模型，與一般的外推預報不同點在于它不用原始數(shù)據(jù)建模，而用一階累加生成模塊建模，一定程度上弱化了數(shù)據(jù)的隨機噪聲，從而更好地反映有用信息。

GM（1，1）模型在預報中，對歷史數(shù)據(jù)作不同的取舍時，因其所建模型不同，鐘差預報值也不相同，即這種預報結(jié)果將是一個預報值的區(qū)間，究竟哪個值是最準確的？應該采用何種模型預報？為了減少模型選擇的盲目性，一種可行的辦法是將不同的預報模型結(jié)合起來。鑒于此，本文將GM模型與神經(jīng)網(wǎng)絡（neural network，NN）結(jié)合起來，提出了基于灰色系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡的鐘差預報模型。

1 基本思想

為了克服上述困難，一種可行的辦法是將不同的預報模型結(jié)合起來。較簡單、常規(guī)的方法是加權線性組合方法。這種組合方法是單一方法的凸組合，并且要求參加預報的GM（1，1）模型的誤差能保持穩(wěn)定，但鐘差預報誤差往往是非均勻性的，因而此方法就存在不足[10]。為此，有必要考慮用非線性的方法來組合單一方法的結(jié)果，而神經(jīng)網(wǎng)絡是解決非線性問題的有效工具[11]。

神經(jīng)網(wǎng)絡能夠通過訓練學習以任意精度逼近任意函數(shù)，特別適用于非線性系統(tǒng)的預報[12]。神經(jīng)網(wǎng)絡模型對樣本數(shù)據(jù)的依賴性強，要求訓練樣本能較好地覆蓋系統(tǒng)的變化特征。而GM（1，1）模型能夠提取鐘差變化的趨勢項，一定程度上濾去或減弱噪音或干擾，從而更加客觀地反映有用信息，因此將GM（1，1）模型的預報值及對應的實際值作為網(wǎng)絡的樣本能更好地反映鐘差序列內(nèi)部規(guī)律，增強網(wǎng)絡的映射能力。

圖1 基于灰色系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡的鐘差預報模型

該模型可理解成灰色系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡的“串聯(lián)”，實質(zhì)上是將不同GM模型作為網(wǎng)絡的輸入，借助神經(jīng)網(wǎng)絡強大的非線性映射能力，對其進行非線性組合，得到一個組合預報值。文獻[9]采用了此模型對電力系統(tǒng)負荷進行預測。

2 具體實現(xiàn)

2.1 鐘差序列灰色建模

式（3）中，

需要說明的是，在建模前，必須保證原始序列中各項符號一致，若不一致，則給每個元素都加上1個常數(shù)，使序列的符號一致，然后在此基礎上建立GM（1，1）模型并進行預報，最后再從預報值中減去所加常數(shù)即為最終值。常數(shù)的取值原則是，該常數(shù)的符號與原始序列中絕對值最大的數(shù)的符號一致，且其絕對值要大于原始序列中絕對值最大數(shù)的絕對值。

2.2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡的非線性組合

常用的神經(jīng)網(wǎng)絡算法有反向傳播（back propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡、徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡和廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡（generalized regression neural network，GRNN）。GRNN是一種新型的神經(jīng)網(wǎng)絡，建立在核回歸數(shù)理統(tǒng)計的基礎上，能夠根據(jù)樣本數(shù)據(jù)逼近其中隱含的映射關系[13]。即使樣本數(shù)據(jù)稀少，網(wǎng)絡的輸出結(jié)果也能夠收斂于最優(yōu)回歸表面[14]。其數(shù)學模型為[14]

選用多元的高斯分布作為核函數(shù)：

采用上述訓練樣本對網(wǎng)絡進行訓練，在訓練之前需對樣本數(shù)據(jù)歸一化預處理，即變換到[-1，1]范圍內(nèi)，這樣處理的好處在于可以加快收斂速度、防止大樣本吞并小樣本以及奇異樣本數(shù)據(jù)的影響。

2.3 鐘差預報步驟

根據(jù)以上分析，鐘差預報的實施步驟可簡述為：

2）將步驟1的預報值和對應的觀測值組成訓練樣本，并對其歸一化處理；

4）對網(wǎng)絡輸出值作逆歸一化處理，即將輸出變量還原到原來單位。

3 算例分析

為了驗證本文模型效果，從http://igscb.jpl.nasa.gov/components/prods.html網(wǎng)站上下載了2010年12月12日的IGS精密GPS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，采樣間隔為5 min，選取PRN08和PRN20衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)進行實驗，并與線性組合模型的預報精度進行對比分析。需要說明的是，這2顆衛(wèi)星攜帶的原子鐘分別為Cs鐘和Rb鐘，其當天的鐘差變化如圖2所示。線性組合預報模型為

圖2 原始鐘差數(shù)據(jù)

當對初始值作不同的取舍時，所建GM（1，1）模型也就不同，因此，3.1節(jié)分析了不同初始歷元個數(shù)對灰色系統(tǒng)模型預報精度的影響，3.2節(jié)對線性組合模型與本文模型的預報精度進行了比對分析。通過上述分析，驗證本文提出的混合預報模型在鐘差預報時的可行性和有效性。

3.1 單純GM（1，1）模型預報

分別取12個歷元（01:00:00～01:55:00）、18個歷元（00:25:00～01:55:00）和24個歷元（00:00:00～01:55:00）的鐘差值建立GM（1，1）模型，分別記為GM12、GM18和GM24，并分別用上述3個模型對2組鐘差序列進行6 h的預報（02:00:00～07:55:00），其預報誤差（預報值與觀測值的差值）如圖3所示。

從圖3可以看出，不同GM（1，1）模型的預報精度存在一定差別，對于PRN08衛(wèi)星鐘差而言，灰色模型的預報精度從高到低依次為GM12、GM24、GM18；而對于PRN20衛(wèi)星鐘差，從高到低依次為GM24、GM18、GM12，這就是說參與建模的初始值歷元個數(shù)對預報精度有重要影響，而實際應用時往往不清楚選取多少個初始值建模最為合適，即哪個模型是最優(yōu)的事先并不知道。

圖3 灰色系統(tǒng)模型預報誤差

3.2 線性組合模型與本文模型預報精度對比分析

結(jié)合圖1，分析表1可以看出，線性組合模型和本文模型都能有效地組合單一灰色系統(tǒng)模型的預報結(jié)果，但預報精度存在一定的差別。對于2種組合模型的具體特征總結(jié)如下：

1）線性組合模型至少是一種非劣組合，即組合預報的各項誤差統(tǒng)計指標，包括最大值、平均值和均方根誤差，均不大于由單一模型預報得到的對應項的最大值。該方法較為容易實現(xiàn)，簡單實用；

2）無論是預報誤差的最大值、平均值還是均方根誤差，灰色神經(jīng)網(wǎng)絡模型的統(tǒng)計結(jié)果均優(yōu)于單一的灰色系統(tǒng)模型，也優(yōu)于線性組合模型，這說明灰色神經(jīng)網(wǎng)絡模型是一種優(yōu)組合，即預報結(jié)果好于任一種單一模型。該模型對樣本數(shù)據(jù)的依賴性高，要求樣本數(shù)據(jù)能覆蓋鐘差序列的系統(tǒng)特征。

圖4 灰色系統(tǒng)及其線性組合與本文模型預報誤差

表1 預報誤差統(tǒng)計 ns

4 結(jié)語

本文所提出的基于灰色系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡組合的鐘差預報模型，利用了灰色模型GM（1，1）要求原始數(shù)據(jù)少，方法簡單的特點，構造了多個不同的GM（1，1）模型，同時借助神經(jīng)網(wǎng)絡強大的非線性映射能力，將這些不同的模型進行非線性組合，不僅避免了模型選擇的盲目性，也提高了鐘差預報的精度。另外，試驗表明該模型優(yōu)于基于經(jīng)典加權方法的線性組合灰色模型。

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Clock bias predicting based on grey system and neural network

LEI Yu1,2,3, ZHAO Dan-ning1,3,4, GAO Yu-ping1,2

(1. National Time Service Centre, Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China;2. Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards, National Time Service Center,Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039, China; 4. Key Laboratory of Precision Navigation and Timing Technology, National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China)

For avoiding the weakness of single model in predicting clock bias, a hybrid method combining the grey model(GM) and neural network(NN) for predicting clock bias is proposed. The basic idea, prediction model and practical process of clock bias predicting based on GM(1,1) and GRNN(generalized regression neural network) are presented. In view of the defects of traditional NN, the-fold cross-validation algorithm is employed for improving the generalization ability of GRNN. For verifying the feasibility and validity of the hybrid method, the clock bias predictions are carried out by using the real data of GPS satellites clock bias and the prediction precisions for different methods are compared. The results show that the prediction precision for the proposed method is better than those for the GM(1,1) and the weighted combination of GM(1,1).

grey system; neural network; clock bias prediction

P228.4

A

1674-0637(2013)03-0156-08

2012-10-15

國家自然科學基金資助項目（10573019）

雷雨，男，博士研究生，主要從事GNSS時間傳遞方面研究。