一種基于加權(quán)非負(fù)矩陣分解的礦產(chǎn)預(yù)測(cè)方法

余先川，任雅麗，初曉鳳，徐金東，劉石華，李鴻鎮(zhèn)，張 潔

(1.北京師范大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100875;2.廣東省地勘局722地質(zhì)大隊(duì)，廣東 汕頭 440500)

0 引言

礦產(chǎn)預(yù)測(cè)是在科學(xué)預(yù)測(cè)的理論指導(dǎo)下，通過(guò)分析成礦地質(zhì)條件，深入研究礦產(chǎn)與礦化信息，總結(jié)成礦規(guī)律，預(yù)測(cè)成礦區(qū)域(趙鵬大，2012)。礦床具有經(jīng)濟(jì)上的緊缺性、地質(zhì)上的特異性，人們對(duì)地質(zhì)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)有限，找尋礦床是一項(xiàng)非常復(fù)雜且具挑戰(zhàn)性的工作。Allis于1957年開創(chuàng)了礦產(chǎn)預(yù)測(cè)的先河(李隨民等，2007)，將數(shù)學(xué)方法引入到礦產(chǎn)資源預(yù)測(cè)。20世紀(jì)60年代，傳統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法被引入到礦產(chǎn)預(yù)測(cè)領(lǐng)域 (Harris，1997;Agterberg et al，1970)。20世紀(jì)70年代末，國(guó)際上采用了“礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)中計(jì)算機(jī)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)”，推出了6種標(biāo)準(zhǔn)的礦產(chǎn)資源定量評(píng)價(jià)方法，礦產(chǎn)資源定量評(píng)價(jià)進(jìn)入一個(gè)新的階段。隨著礦產(chǎn)預(yù)測(cè)難度的增 加及技術(shù)的發(fā)展，GIS被有效地運(yùn)用在礦產(chǎn)預(yù)測(cè)中。此后，美國(guó)學(xué)者提出的“三步式”礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)方法，已成為較完善的礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)體系(Singer，1997)。

我國(guó)學(xué)者在礦產(chǎn)預(yù)測(cè)領(lǐng)域也做出了突出貢獻(xiàn)，礦產(chǎn)預(yù)測(cè)理論、方法日趨成熟。我國(guó)對(duì)礦床預(yù)測(cè)的研究始于趙鵬大院士(2002)的“地質(zhì)異常致礦理論”和“三聯(lián)式”5P地質(zhì)異常定量評(píng)價(jià)方法;王世稱(2000)從地質(zhì)、物探、化探、遙感、礦產(chǎn)資料信息綜合出發(fā)，強(qiáng)調(diào)礦產(chǎn)定量預(yù)測(cè)與其他預(yù)測(cè)相結(jié)合，獨(dú)創(chuàng)了綜合信息礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)方法;以成秋明(2001)為代表的學(xué)者在礦床的分形模擬、多重分形與空間統(tǒng)計(jì)、多重分型異常分析及有關(guān)奇異性的研究成果具有重要的理論及實(shí)際意義;余先川(2011)的非線性空間信息統(tǒng)計(jì)分析、空間獨(dú)立成分分析等。近年興起的集計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)、神經(jīng)學(xué)等學(xué)科為一體的綜交叉學(xué)科，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在礦產(chǎn)預(yù)測(cè)中也取得了一定的成果。

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，對(duì)礦產(chǎn)資源的需求量越來(lái)越大，亟需研究新的經(jīng)濟(jì)高效的礦產(chǎn)預(yù)測(cè)方法。礦產(chǎn)數(shù)據(jù)具有非負(fù)性、數(shù)據(jù)量大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等特點(diǎn)，而非負(fù)矩陣分解(NMF)加入了非負(fù)約束條件，有數(shù)據(jù)降維的功能，可很好地處理大規(guī)模數(shù)據(jù)，且NMF具有分解形式簡(jiǎn)單、結(jié)果可解釋性強(qiáng)、數(shù)據(jù)量低等優(yōu)點(diǎn)，故NMF處理礦產(chǎn)數(shù)據(jù)具有先天的優(yōu)勢(shì)。Guillamet等(2001)提出的加權(quán)非負(fù)矩陣分解(WNMF)是根據(jù)變量相關(guān)程度決定加權(quán)矩陣，分解的基向量包含重要變量信息，同時(shí)包含其他相關(guān)變量信息，有利于提高礦產(chǎn)資源預(yù)測(cè)精度。為此，筆者將WNMF引入到礦產(chǎn)預(yù)測(cè)的領(lǐng)域，通過(guò)R型聚類分析，結(jié)合顯著性分析，將變量分為不同的群，將經(jīng)過(guò)預(yù)處理之后的數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)非負(fù)矩陣分解。實(shí)驗(yàn)以廣東省新寮崠銅多金屬礦區(qū)數(shù)據(jù)為例，運(yùn)用基于WNMF的方法進(jìn)行礦產(chǎn)預(yù)測(cè):對(duì)分解得到的基向量進(jìn)行回歸分析，討論了基向量的意義，通過(guò)基向量預(yù)測(cè)圈定異常，得到明顯的異常區(qū)域，論證了WNMF的有效性。

1 非負(fù)矩陣分解算法

1.1 非負(fù)矩陣分解數(shù)學(xué)模型

非負(fù)矩陣分解理論是在矩陣分解過(guò)程中加入非負(fù)約束條件的一種分解方法。非負(fù)矩陣分解可描述如下:對(duì)于任意原始矩V，非負(fù)矩陣分解算法能夠分解得到非負(fù)矩陣W、H，使得V=WH，從而達(dá)到將1個(gè)非負(fù)的矩陣分解得到2個(gè)非負(fù)矩陣的乘積。矩陣V的列向量可以理解為基向量的線性組合，其中矩陣W的每列為基向量，矩陣H為權(quán)重系數(shù)矩陣。非負(fù)矩陣分解理論的數(shù)學(xué)模型為:已知原始非負(fù)矩陣V，分解得到合適的非負(fù)矩陣W和H，使得:

矩陣W是數(shù)據(jù)矩陣V線性逼近的一組基，而H則是樣本集的投影系數(shù)。通常情況下，如果能夠找到較好的基向量組，就可以用較少數(shù)據(jù)表示海量數(shù)據(jù)，能夠得到數(shù)據(jù)潛在的關(guān)系，獲得較好的逼近效果。

1.2 加權(quán)非負(fù)矩陣分解

礦產(chǎn)預(yù)測(cè)中，可以對(duì)研究的變量賦予較大的權(quán)值，對(duì)相關(guān)性小的變量賦以較小的權(quán)值。權(quán)重矩陣為Q，Q中的每個(gè)元素代表元素所占的權(quán)值。目標(biāo)函數(shù)基于似然函數(shù)，加權(quán)非負(fù)矩陣分解目標(biāo)函數(shù)、迭代規(guī)則如下。目標(biāo)函數(shù)為:

迭代規(guī)則定義為:

經(jīng)過(guò)加權(quán)非矩陣分解，分解的基向量更能代表研究的重要變量信息，同時(shí)包含其他相關(guān)變量的信息，實(shí)驗(yàn)結(jié)果更利于應(yīng)用于礦產(chǎn)預(yù)測(cè)的領(lǐng)域，提高礦產(chǎn)資源預(yù)測(cè)精度。

2 回歸分析

回歸分析是研究因變量與自變量依賴關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法?；貧w分析要求因變量y滿足正態(tài)分布。因變量y對(duì)自變量x的依賴關(guān)系用數(shù)學(xué)模型表示:

(1)回歸方程的建立，對(duì)回歸的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，評(píng)價(jià)回歸效果;

(2)變量的貢獻(xiàn)，即對(duì)回歸效果的影響;

第Ⅱ簇包含了Nb，Y，La，Th， U元素組合，與F2因子一致。主要富集在了研究區(qū)中部肉紅色中細(xì)粒鉀長(zhǎng)花崗巖中，反映了中酸性巖分布特征以及中酸性巖漿巖有關(guān)的稀有元素的礦化因子的地球化學(xué)背景特征。

(3)根據(jù)回歸效果，選擇最優(yōu)回歸方程;

(4)根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)。

回歸效果的優(yōu)劣，通過(guò)因變量的總離差平方和被回歸估計(jì)值^y估計(jì)程度來(lái)衡量。y的離差平方和如下:

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

研究區(qū)為廣東新寮崠銅多金屬礦區(qū)，調(diào)查區(qū)內(nèi)分布地層較為單一，地層和巖漿巖自老到新分別如下。

下侏羅紀(jì)長(zhǎng)埔組:主要有2個(gè)巖性段，上段是泥質(zhì)砂巖、粉砂質(zhì)泥巖夾長(zhǎng)石石英砂巖()，下段是粉砂巖、泥質(zhì)粉砂巖夾長(zhǎng)石石英砂巖質(zhì)頁(yè)巖)。

礦區(qū)的侵入巖主要分為燕山三期、四期、五期侵入巖、此外還有時(shí)代不明的輝綠巖和英安玢巖。燕山三期侵入巖的巖性是黑云母花崗巖)，燕山四期侵入巖的巖性是石英閃長(zhǎng)巖)、燕山五期侵入巖的巖性是花崗閃長(zhǎng)巖)。

第四系蓮下組是礫石、礫砂及巖質(zhì)黏土(Ql)。

礦區(qū)內(nèi)以斷裂構(gòu)造為主，其走向是北東向斷裂和南北向斷裂。

新寮崠銅多金屬工作區(qū)位于廣東省揭陽(yáng)市揭東縣龍尾鎮(zhèn)北西方向3.8 km處。廣東地勘局722地質(zhì)隊(duì)在此做了大比例尺的礦產(chǎn)勘查工作，完成化探次生暈采樣 1 327 個(gè)，分析了 Au、Pb、Mo、Sn、Cu、Ag、Zn、Cr、Ti、Ni、As、Sb、Bi、W、Be 共 15 個(gè)元素;坑探揭露探槽8條，共1 765.18 m3;鉆孔4個(gè)，分別是ZK2-1，孔深 111.98 m;ZK5-1，孔深 150.80 m;ZK5-2，孔深 119.00 m;ZK4-1，孔深116.00 m。

如圖1所示，藍(lán)色邊框?yàn)閷?shí)際勘測(cè)區(qū)域，便于分析，實(shí)驗(yàn)中采用紅色邊框區(qū)域數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)V(1 066×15)，其中1 066為樣本個(gè)數(shù)，15為元素個(gè)數(shù)。數(shù)據(jù)分析了 Cu、Pb、Zn、Sn、Ag、Mo 計(jì)6 種元素，數(shù)據(jù)格式如表1。

3.2 加權(quán)非負(fù)矩陣分解進(jìn)行Cu預(yù)測(cè)及回歸分析

首先對(duì)原始的15類元素進(jìn)行R型聚類分析，連接點(diǎn)對(duì)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)得到R型聚類分析譜系圖(圖2)，進(jìn)行相關(guān)聚類后可將原始化探數(shù)據(jù)分3類分析處理。Pb、Ag、Zn 3個(gè)元素相關(guān)性較大，將其分為第一類。第二類:As、Sb、Au、Sn、Cu、W。第三類:Cr、Ni、Ti?；谙嚓P(guān)聚類分析結(jié)果及實(shí)際勘測(cè)區(qū)域分析元素，選擇 As、Sb、Au、Sn、Cu、W 6 種元素進(jìn)行NMF分解分析。

圖1 廣東省新寮崠銅多金屬礦區(qū)地形地質(zhì)圖

表1 樣品分析結(jié)果表

圖2 基向量回歸效果圖

實(shí)驗(yàn)中采用的權(quán)重系數(shù)矩陣Q=［0.04 0.04 0.04 0.8 0.04 0.04］，其中權(quán)重之和為1。取r=2，進(jìn)行加權(quán)NMF分解。第二基向量呈正態(tài)分布，對(duì)其進(jìn)行回歸分析，回歸效果顯著(圖3)，所以可以用第二基向量進(jìn)行Cu礦產(chǎn)預(yù)測(cè)。

在圖2中，默認(rèn)的置信度水平alpha為0.05，Coeff.分別對(duì)應(yīng)變量回歸方程的系數(shù)，t-stat為t-檢驗(yàn)顯著性值，p-val為與顯著性相關(guān)的值，Intercept為回歸方程的截距，R-square為復(fù)相關(guān)系數(shù)，越大越好。如圖3所示，回歸效果有效，回歸方程式為:

通過(guò)回歸方程式可見，基向量為原變量的組合信息，所以可以利用基向量進(jìn)行組合異常的圈定，進(jìn)而進(jìn)行礦產(chǎn)預(yù)測(cè)。

運(yùn)用基向量進(jìn)行Cu礦產(chǎn)預(yù)測(cè)，繪制等高線，加載地質(zhì)底圖做為基面圖，繪制Cu的礦產(chǎn)預(yù)測(cè)分布圖(圖4a)。

圖3 廣東省新寮崠銅多金屬礦區(qū)Cu原始分布圖及勘測(cè)區(qū)Cu原始數(shù)據(jù)

圖4 廣東省新寮崠銅多金屬礦區(qū)區(qū)域預(yù)測(cè)及實(shí)際勘測(cè)區(qū)預(yù)測(cè)

3.3 制圖及實(shí)驗(yàn)分析

通過(guò)對(duì)比圖3a、4a發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)NMF分解的基向量預(yù)測(cè)更為精準(zhǔn)，異常區(qū)域較為明顯(等值線密集區(qū)域)，能夠較好的消除單點(diǎn)值引起的異常。為了驗(yàn)證礦產(chǎn)預(yù)測(cè)的有效性，實(shí)際勘測(cè)區(qū)域的預(yù)測(cè)圖如圖4b所示?？辈閰^(qū)域ZK4-1(ZK4-1-1—ZK4-1-24)Cu元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)平均值高達(dá)2 247 g/t。基向量預(yù)測(cè)結(jié)果ZK4-1異常更加明顯，預(yù)測(cè)效果更好。

4 結(jié)論

提出了一種新穎的基于WNMF的礦產(chǎn)預(yù)測(cè)方法，通過(guò)R型聚類分析變量間的相關(guān)性，對(duì)相關(guān)性高的聚類結(jié)果進(jìn)行加權(quán)非負(fù)矩陣分解。選用廣東新寮崠銅多金屬礦區(qū)數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，以WNMF分解得到的基向量進(jìn)行預(yù)測(cè)，作分布圖，對(duì)比實(shí)際勘測(cè)區(qū)鉆孔、探槽數(shù)據(jù)，基于WNMF的礦產(chǎn)預(yù)測(cè)方法對(duì)實(shí)驗(yàn)區(qū)取得了較好的預(yù)測(cè)效果。

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