井壁穩(wěn)定問(wèn)題的不確定性分析方法探討

勝亞楠，管志川，許玉強(qiáng)，王慶，張波

（中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東 青島 266580）

井壁穩(wěn)定問(wèn)題的不確定性分析方法探討

勝亞楠，管志川，許玉強(qiáng)，王慶，張波

（中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東 青島 266580）

井壁穩(wěn)定性失效是鉆井工程中主要的復(fù)雜情況之一，給鉆井作業(yè)帶來(lái)了很大的困難和安全隱患。針對(duì)井壁穩(wěn)定性問(wèn)題，文中探討了4種不確定性分析方法：蒙特卡洛（Monte-Carlo）模擬法、統(tǒng)計(jì)誤差分析法、一次二階矩法及一次可靠度法。分析發(fā)現(xiàn)，基于蒙特卡洛模擬法得到的結(jié)果更為保守，更有利于保持井壁穩(wěn)定性。同時(shí)，對(duì)影響井壁問(wèn)題的各個(gè)因素進(jìn)行了敏感性分析，獲取了井壁穩(wěn)定性計(jì)算模型中最為敏感的因素：對(duì)于坍塌壓力最為敏感的因素是最大水平地應(yīng)力，對(duì)于破裂壓力最為敏感的因素是最小水平地應(yīng)力。研究結(jié)果有助于確定影響井壁穩(wěn)定可靠度最為敏感的因素，并運(yùn)用一定方法提高敏感因素的準(zhǔn)確程度，最終減少坍塌及破裂壓力預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性，從而提高井壁穩(wěn)定的可靠度。

井壁穩(wěn)定性；不確定性分析；蒙特卡洛模擬法；統(tǒng)計(jì)誤差分析法；一次二階矩法；一次可靠度分析法；敏感性分析

0 引言

油氣井工程是一項(xiàng)隱蔽的地下工程，存在著大量的隨機(jī)性、模糊性和不確定性，也是一項(xiàng)高風(fēng)險(xiǎn)作業(yè)，其中，井壁穩(wěn)定性失效是鉆井工程中主要的復(fù)雜情況與事故之一［1-3］。地層坍塌及破裂壓力是保持井壁穩(wěn)定的安全鉆井液密度窗口的上、下限，地質(zhì)環(huán)境的復(fù)雜性、測(cè)井及地震解釋資料的不完備性以及分析模型的區(qū)域適用性等，都會(huì)導(dǎo)致地層坍塌及破裂壓力預(yù)測(cè)結(jié)果存在著不確定性［4-6］?；诓淮_定性的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行鉆井設(shè)計(jì)，會(huì)導(dǎo)致不可預(yù)知的風(fēng)險(xiǎn)，如井壁失穩(wěn)，影響鉆井安全高效施工。因此，有必要對(duì)于井壁穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行不確定性分析。本文探討了4種常用的不確定性分析方法：蒙特卡洛模擬法（Monte-Carlo Method）、統(tǒng)計(jì)誤差分析法（S.E.A.M）、一次二階矩法（F.O.S.M）及一次可靠度分析方法（F.O.R.M）。分析發(fā)現(xiàn)，蒙特卡洛模擬法更適合用于分析井壁穩(wěn)定問(wèn)題。同時(shí)，對(duì)于影響井壁穩(wěn)定的各因素進(jìn)行了敏感性分析。

1 不確定性分析方法

1.1 蒙特卡洛模擬法

該方法是求解工程技術(shù)問(wèn)題近似解的一種數(shù)值計(jì)算方法。它以統(tǒng)計(jì)抽樣理論為基礎(chǔ)，利用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣實(shí)驗(yàn)或隨機(jī)模擬，通過(guò)統(tǒng)計(jì)有關(guān)隨機(jī)變量，求得統(tǒng)計(jì)特征值，作為待解問(wèn)題的數(shù)值解［7-8］?；谠摲椒ǖ牡貙悠屏鸭疤鷫毫Σ淮_定性量化表征主要分為3個(gè)步驟：

1）通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析已鉆井巖石地質(zhì)力學(xué)參數(shù)的測(cè)井解釋結(jié)果，由概率統(tǒng)計(jì)原理得到其概率分布擬合函數(shù)。

2）根據(jù)地質(zhì)力學(xué)參數(shù)的概率分布，運(yùn)用蒙特卡洛模擬方法，將模擬次數(shù)設(shè)定為N，生成N個(gè)符合地質(zhì)力學(xué)參數(shù)概率分布的隨機(jī)數(shù)，并代入地層坍塌壓力和地層破裂壓力計(jì)算模型中，得到N個(gè)計(jì)算結(jié)果。

3）統(tǒng)計(jì)分析計(jì)算結(jié)果，基于正態(tài)信息擴(kuò)散原理得到地層坍塌壓力和地層破裂壓力的概率分布，獲取其概率分布特征值：均值、方差及變異系數(shù)。

井漏與井壁坍塌風(fēng)險(xiǎn)概率計(jì)算公式如表1所示。表中：PRL為井漏風(fēng)險(xiǎn)概率；PRC為井壁坍塌風(fēng)險(xiǎn)概率；ρL為防井漏鉆井液密度上限；ρC為防井壁坍塌鉆井液密度下限；ρd為鉆井液密度；F（ρd＞ρL）為鉆井液密度大于防井漏鉆井液密度上限的概率；F（ρd＜ρC）為鉆井液密小于防井壁坍塌鉆井液密度下限的概率。

表1 井漏和井壁坍塌風(fēng)險(xiǎn)模型

1.2 統(tǒng)計(jì)誤差分析法

設(shè)pw為地層坍塌或地層破裂壓力，其不確定性的計(jì)算結(jié)果取決于n個(gè)不確定性的地質(zhì)力學(xué)參數(shù)X1，X2，X3，…，Xn，可以表示為

當(dāng)pw發(fā)生Δpw的變化時(shí)，可以用n個(gè)變量的變異函數(shù)表示為

假定各個(gè)變量之間相互獨(dú)立，并且均符合正態(tài)分布概率，則式（2）可寫(xiě)成：

式中：σ（pw），σ（Xi）分別為pw，Xi的標(biāo)準(zhǔn)差。

式（3）還可以寫(xiě)成用變異函數(shù)來(lái)表示的形式：

式中：Var（pw），Var（Xi）分別為pw，Xi的變異系數(shù)。

由式（3）和式（4）可知，地層坍塌壓力或破裂壓力計(jì)算的不確定性可以用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示，二者的均值和標(biāo)準(zhǔn)差是根據(jù)n個(gè)輸入?yún)?shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算獲得的。定義為當(dāng)輸入?yún)?shù)取值為均值加上一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差得到的地層坍塌壓力或破裂壓力計(jì)算結(jié)果，為當(dāng)輸入?yún)?shù)取值為均值減去一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差得到的地層坍塌壓力或破裂壓力計(jì)算結(jié)果，為輸入?yún)?shù)為均值時(shí)得到的地層坍塌壓力或破裂壓力計(jì)算結(jié)果。則地層坍塌壓力或破裂壓力的變異系數(shù)可以表示為

當(dāng)井底壓力為pa時(shí)，井壁穩(wěn)定可靠度系數(shù)Z為

1.3 一次二階矩法

該方法［9-10］是求解非時(shí)變荷載作用下結(jié)構(gòu)可靠度問(wèn)題的行之有效的近似方法，既有較高的精度，又有較高的計(jì)算效率。它是在基本變量 Xi（i=1，2，3，…，n）的概率分布尚不清楚時(shí)，采用只有均值（又稱為一階原點(diǎn)矩）和標(biāo)準(zhǔn)差（又稱為二階中心矩）的數(shù)學(xué)模型去求解結(jié)構(gòu)可靠度的方法。當(dāng)以一次二階矩法估算工程結(jié)構(gòu)可靠度時(shí)，可靠指標(biāo)直接和基本變量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)，故其基本概括了各有關(guān)變量的統(tǒng)計(jì)特性，比較全面地反映了各種影響因素的變異性，這是傳統(tǒng)的用安全系數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)工程結(jié)構(gòu)安全度的方法所不能做到的。同時(shí)，可靠指標(biāo)是從結(jié)構(gòu)功能函數(shù)求解的，綜合考慮了結(jié)構(gòu)上的荷載和結(jié)構(gòu)本身抗力的變異性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度的影響。

定義地層坍塌壓力和破裂壓力對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)：

式中：FSCR，F(xiàn)SFR分別為地層坍塌壓力、破裂壓力安全系數(shù)；pCR，pFR分別為地層坍塌壓力、破裂壓力，MPa。

定義一次二階矩功能函數(shù)G（X）為

式中：FS為地層坍塌或破裂壓力安全系數(shù)。

可靠性指標(biāo) β，定義為功能函數(shù)均值E（G （X））與標(biāo)準(zhǔn)差 σ（G （X））的比值：

式（9）也可用變異系數(shù)表示：

其中，安全系數(shù)的變異系數(shù)Var F（）S為

定義輸入?yún)?shù)的改變量為±δ（Xi），等于每個(gè)輸入?yún)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差的5%。定義為當(dāng)輸入?yún)?shù)取值為均值加上δ（Xi）時(shí)，得到的地層坍塌壓力或破裂壓力對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)：為當(dāng)輸入?yún)?shù)取值為均值減去δ（Xi）時(shí)，得到的地層坍塌壓力或破裂壓力對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)；為輸入?yún)?shù)為均值時(shí)得到的地層坍塌壓力或破裂壓力對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)。則地層坍塌壓力或破裂壓力對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)的變異系數(shù)可以表示為

井壁失效概率PR定義為

式中：Φ（β）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

1.4 一次可靠度分析方法

該方法的基本思路是［11-12］：首先將一次可靠度分析功能函數(shù) Z′=g（X1，X2，X3，…，Xn）展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)，忽略高階項(xiàng)，僅保留線性項(xiàng)，再根據(jù)隨機(jī)變量X=（X1，X2，X3，…，Xn）的一階矩求取功能函數(shù)Z′的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，從而確定結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)。根據(jù)功能函數(shù)線性化點(diǎn)的取法不同以及是否考慮基本隨機(jī)變量的分布類型。

將功能函數(shù)在 Xi（i=1，2，3，…，n ）的均值點(diǎn) μXi展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)，僅保留線性項(xiàng)，有：

因此，Z′的均值 μZ′、方差 σZ′為

井壁穩(wěn)定可靠性指標(biāo)為

由式（13）計(jì)算可得井壁失穩(wěn)概率。

2 敏感性分析

敏感性分析［13-15］是不確定性分析中重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。敏感性分析的目的是找出對(duì)于結(jié)果影響最為敏感的隨機(jī)變量，從而有針對(duì)性地提高敏感因素的準(zhǔn)確性，對(duì)于那些不敏感因素，為了提高計(jì)算效率，對(duì)于其準(zhǔn)確性的要求降低，最終目的是快速高效地得到較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。本文敏感性分析的思路是，對(duì)于n個(gè)隨機(jī)變量，每一次只把1個(gè)變量看作隨機(jī)值，其他變量保持定值；然后，通過(guò)分析每一個(gè)隨機(jī)變量與結(jié)果之間的相互關(guān)系，最終得到最為敏感的因素。

定義：R+為當(dāng)輸入?yún)?shù)在均值的基礎(chǔ)上增加時(shí)得到的輸出結(jié)果；R-為當(dāng)輸入?yún)?shù)在均值的基礎(chǔ)上減小時(shí)得到的輸出結(jié)果；Ro為輸入?yún)?shù)為均值時(shí)得到的輸出結(jié)果；Δ （R ，Xi）為Xi對(duì)輸出結(jié)果的影響大小。其關(guān)系表達(dá)式為

3 實(shí)例分析與結(jié)果討論

本文分析各個(gè)地質(zhì)力學(xué)參數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示，分布形式均為正態(tài)分布N （μ，σ2）。根據(jù)表2各個(gè)參數(shù)設(shè)定的概率分布，基于蒙特卡洛模擬，隨機(jī)生成4000個(gè)符合概率分布特征的隨機(jī)數(shù)，代入井壁穩(wěn)定性計(jì)算公式，得到地層坍塌及破裂壓力計(jì)算結(jié)果。統(tǒng)計(jì)分析計(jì)算結(jié)果，并基于正態(tài)信息擴(kuò)散原理得到坍塌壓力和破裂壓力的概率分布、均值、方差及變異系數(shù)。

由表1定義的風(fēng)險(xiǎn)模型，得到井漏和井壁坍塌風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)本文建立的其他3種不確定性分析模型的計(jì)算公式，結(jié)合各個(gè)參數(shù)的概率分布特征參數(shù)，得到不同不確定性分析方法下的井漏和井壁坍塌風(fēng)險(xiǎn)，結(jié)果如圖1所示。

表2 模型中各參數(shù)概率分布形式及特征參數(shù)

圖1 不同不確定性分析法得到的井壁坍塌和井漏風(fēng)險(xiǎn)概率

通過(guò)對(duì)比圖1中各種不確定性分析方法可知，基于蒙特卡洛模擬方法得到的井漏及井壁坍塌風(fēng)險(xiǎn)相比于其他3種方法得到的結(jié)果都偏大。也就是說(shuō)，基于蒙特卡洛得到的結(jié)果更為保守，更有利于保持井壁穩(wěn)定性。因此，推薦選用蒙特卡洛模擬方法對(duì)井壁問(wèn)題進(jìn)行不確定性分析。

通過(guò)蒙特卡洛模擬，分別得到不同地質(zhì)力學(xué)參數(shù)概率分布下的坍塌壓力和破裂壓力的概率分布，得到其均值、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)。定量計(jì)算結(jié)果表明，垂向應(yīng)力為最大主應(yīng)力，坍塌壓力、破裂壓力當(dāng)量鉆井液密度分別為1.0717，2.4210 g/m3。

對(duì)基于蒙特卡洛法的井壁穩(wěn)定可靠度隨機(jī)變量敏感性進(jìn)行分析，結(jié)果如圖2所示。敏感性分析結(jié)果如下：地層破裂壓力影響因素敏感性由大到小依次為最小水平地應(yīng)力、最大水平地應(yīng)力、孔隙壓力、巖石抗拉強(qiáng)度；地層坍塌壓力影響因素敏感性由大到小依次為最大水平地應(yīng)力、孔隙壓力、內(nèi)聚力、內(nèi)摩擦角、最小水平地應(yīng)力。

圖2 不同地質(zhì)力學(xué)參數(shù)對(duì)應(yīng)的地層坍塌、破裂壓力變異系數(shù)

4 結(jié)論

1）通過(guò)優(yōu)選4種不確定性分析方法，最終確定蒙特卡洛模擬方法更加適合于分析井壁穩(wěn)定問(wèn)題。

2）地層破裂壓力影響因素敏感性由大到小依次為最小水平地應(yīng)力、最大水平地應(yīng)力、孔隙壓力、巖石抗拉強(qiáng)度；地層坍塌壓力影響因素敏感性由大到小依次為最大水平地應(yīng)力、孔隙壓力、內(nèi)聚力、內(nèi)摩擦角、最小水平地應(yīng)力。

3）獲取了井壁穩(wěn)定性計(jì)算模型中最為敏感的因素，從而有助于通過(guò)一定的方法和手段提高敏感因素的準(zhǔn)確程度。而對(duì)于那些不敏感因素，則可以根據(jù)井眼或者已鉆井的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)其范圍，最終減少坍塌及破裂壓力預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性，提高井壁穩(wěn)定可靠度。

［1］陳庭根，管志川.鉆井工程理論與技術(shù)［M］.東營(yíng)：石油大學(xué)出版社，2000：251-254.

［2］蔣希文.鉆井事故與復(fù)雜問(wèn)題［M］.第2版．北京：石油工業(yè)出版社，2006：35-40.

［3］OTTESEN S，ZHENG R H，MCCANNR C.Borehole stability assessment using quantitative risk analysis［R］.SPE 52864，1999.

［4］羅黎敏，勝亞楠，劉曉坡，等.含可信度地層破裂壓力的鉆前預(yù)測(cè)方法［J］.斷塊油氣田，2017，24（1）：112-115.

［5］MOOS D，PESKA P，F(xiàn)INKBEINER T，et al.Comprehensive wellbore stability analysis utilizing quantitative risk assessment［J］.Journal of Petroleum Scienceamp;Engineering，2003，38（3）：97-109.

［6］MOSTAFAVI V，ADNOY B S，HARELAND G.Model-based uncertainty assessment of wellbore stability analyses and downhole pressure estimations［J］.Journal of American Rock Mechanics，2011，12（5）：60-65.

［7］宮鳳強(qiáng)，侯尚騫，巖小明.基于正態(tài)信息擴(kuò)散原理的Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)概率模型推斷方法［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2013，32（11）：2225-2234.

［8］茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京：高等教育出版社，2004：77-80.

［9］HARR M E.Reliability-based design in civil engineering［M］.New York：McGraw-Hill，1988：103-106.

［10］UDEGBUNAM J E ，AADNOY B S，F(xiàn)JELDE K K.Uncertainty evaluation of wellbore stability model predictions［J］.Journal of Petroleum Scienceamp;Engineering，2014，124（6）：254-263.

［11］ANG H S.Probability concepts in engineering planning and design：decision，risk，and reliability［M］.New Jersey ：Wiley，1975：91-94.

［12］SPIEGEL M R ，SCHILLER J J，SRINIVASAN A.Probability and statistics：based on Schaum′s outline of probability and statistics［M］.New York：McGraw-hill，2001：63-69.

［13］SHENG Y，REDDISH D，LU Z.Assessment of uncertainties in wellbore stability analysis［J］.Modern Trends in Geomechanics,2006，106（6）：541-557.

［14］PAYTEN W，LAW M.Estimating the plastic collapse of pressure vessels using plasticity contours［J］.International Journal of Pressure Vesselsamp;Piping，1998，75（7）：529-536.

［15］SANTOS H，PLACIDO JCR，WOLTER C.Consequences and relevance of drilling vibration on wellbore stability［R］.SPE 52820，1999.

（編輯 王淑玉）

Discussion on uncertainty analysis method for wellbore stability

SHENG Yanan,GUAN Zhichuan,XU Yuqiang,WANG Qing,ZHANG Bo
(College of Petroleum Engineering,China University of Petroleum,Qingdao 266580,China)

Failure of wellbore stability is one of the main complex situations in drilling engineering,which brings great difficulties and security risks to the drilling operation.In this paper,the wellbore stability reliability was analyzed based on the Monte-Carlo simulation,S.E.A.M,F.O.S.M,and F.O.R.M methods.The outcomes of this study show that wellbore instability risks based on Monte-Carlo simulation were more conservative.Therefore,the Monte Carlo simulation is more conducive to the wellbore stability reliability.In addition,sensitivity of random variables of wellbore stability reliability was analyzed based on the Monte-Carlo simulation method.The results show that the maximum horizontal stress is the most sensitive parameter for collapse pressure;the minimum horizontal stress has the largest effects on formation fracture pressure.The outcomes of this study made it possible for risk reducing analysis by focusing on the most sensitive parameters which are critical for the wellbore stability.The accuracy of sensitive parameters is improved to reduce the uncertainties of the collapse and fracture pressure prediction,and the reliability of wellbore stability is improved.

wellbore stability;uncertainty analysis;Monte-Carlo simulation;S.E.A.M;F.O.S.M;F.O.R.M;sensitivity analysis

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“隔水管內(nèi)氣液兩相流聲傳播特性與深水鉆井氣侵監(jiān)測(cè)方法”（51574275）；長(zhǎng)江學(xué)者及創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目（IRT_14R58）

TE21

A

10.6056/dkyqt201706025

2017-05-16；改回日期：2017-09-27。

勝亞楠，男，1989年生，在讀博士研究生，主要從事鉆井工程風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)、井身結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和油氣井井下信息控制等方面的研究工作。E-mail：shengyanan_upc@163.com。

管志川，1959年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事油氣井管柱力學(xué)、井下信息傳輸技術(shù)、深井超深井井身結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及提速工具的研發(fā)和深井風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)等方面的研究。電話：0532-86981764；E-mail：guanzhch@163.com。

勝亞楠，管志川，許玉強(qiáng)，等.井壁穩(wěn)定問(wèn)題的不確定性分析方法探討［J］.斷塊油氣田，2017，24（6）：847-850，866.

SHENG Yanan，GUAN Zhichuan，XU Yuqiang，et al.Discussion on uncertainty analysis method for wellbore stability［J］.Fault-Block Oilamp;Gas Field，2017，24（6）：847-850，866.