幾種不同類(lèi)型的恒成立問(wèn)題的解法初探

李根

【摘 要】在指導(dǎo)高三學(xué)生復(fù)習(xí)備考的過(guò)程中，學(xué)生在面對(duì)各種不同的恒成立問(wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)感到很困惑，不知道用哪種方法好，本文針對(duì)幾種常見(jiàn)的恒成立問(wèn)題的解法進(jìn)行了總結(jié)，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了闡述。

【關(guān)鍵詞】恒成立；存在；最值；策略

類(lèi)型一、一邊是f（x）另一邊是常數(shù)a，即定義在區(qū)間a，b上的函數(shù)，f（x）≤a恒成立（或者f（x）≥a恒成立）策略：f（x）≥a恒成立?fmin（x）≥a，f（x）≤a恒成立?fmax，（x）≤a，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，若 f（x）不存在最值，可求出f（x）的范圍，問(wèn)題同樣可以解出。

例1.已知函數(shù)f（x）=ax41nx+bx4-c（x>0）在x=1處取得極值-3-c，其中a，b，c為常數(shù).（I）試確定a，b的值；（II）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（III）若對(duì)于任意x>0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求c的取值范圍。

分析：不等式f（x）≥-2c2恒成立，可以轉(zhuǎn)化為fmin（x）≥-2c2

解：（I）（過(guò)程略）a=12，b=-3.

（II）（過(guò)程略）函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）.

（III）由（II）可知，函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-3-c，此極小值也是最小值.要使 f（x）≥-2c2（x>0）恒成立，只需-3-c≤-2c2，解得 c≥或c≤-1.

綜上可得：c的取值范圍為（-∞，-1]∪[，+∞）

類(lèi)型二、一邊是f（x）另一邊是g（x），且x的范圍一致。即定義在區(qū)間a，b上的函數(shù)f（x），g（x），f（x）≤g（x）恒成立（或者f（x）≥g（x）恒成立）.

例2：已知函數(shù)f（x）=x21n（ax）（a>0）.若f（x）≤x2對(duì)任意的x>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：f'（x）=2x1n（ax）+x≤x2（a>0，x>0）即1n（ax）≤（x-1），即a≤，即a≤對(duì)任意x>0恒成立。令h（x）=（x>0），

則h（x）=x∈（0，2）時(shí)h'（x）<0，h（x），h（x）遞減∈（2，+∞）時(shí)h'（x）>0，h（x）遞增，故h（x）的最小值為h（2）=故a≤，又a>0，所以0

類(lèi)型三、一邊是f（x1），另一邊是g（x2），對(duì)任意的x1∈a，b，存在x∈c，b，使得f（x）≤g（x）恒成立。

解題策略：分別求出f（x）在區(qū)間a，b上的最大值f（x），g（x）在區(qū)間c，b上的最大值g（x），只需f（x）g（x）即可

例題：已知函數(shù)f（x）=1nx-ax+-1（a∈R）

（1）當(dāng)a≤時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性

（2）設(shè)g（x）=x2-2bx+4，當(dāng)a=時(shí)，若對(duì)任意的x1∈（0，2），存在x2∈1，2，使得f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)b的取值范圍。

解：（1）解法略。

（2）函數(shù)f（x）=1nx-x+-1（a∈R），（x>0），f（x）=--=，∴f（x）在（0，1）上遞減，在（1，2）上遞增，∴f（x）在（0，2）上的最小值為f（1）=-，∵對(duì)任意的x∈（0，2），存在x∈1，2，

使f（x1）≥g（x2）成立?f（x）在（0，2）上的最小值≥g（x）在1，2上的最小值，即-≥g（x）min，x∈1，2∵g（x）=x2-2bx+4

∴當(dāng)b≤1時(shí)g（x）min=g（1）=5-2b，由-≥5-2b得到b≥與b≤1矛盾

當(dāng)1

當(dāng)b>2時(shí)，g（x）min=g（2）=8-4b，由-≥8-4b得到b≥.

綜上，b的取值范圍是b≥。

【參考文獻(xiàn)】

[1]夏桂芳.不等式恒成立與有解問(wèn)題辨析.中學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2011，4.

[2]張亮.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.中學(xué)教研，2012，2.