基于非線性濾波算法的磁偶極子跟蹤

吳志東, 周穗華, 陳志毅

?

基于非線性濾波算法的磁偶極子跟蹤

吳志東, 周穗華, 陳志毅

(海軍工程大學(xué) 兵器工程系, 湖北 武漢, 430033)

為了實(shí)現(xiàn)具有高度非線性特點(diǎn)的磁偶極子跟蹤, 將磁偶極子的位置、速度和磁矩等參數(shù)的估計(jì)歸結(jié)為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的貝葉斯估計(jì)問(wèn)題, 提出了使用遞歸方法估計(jì)其狀態(tài)參數(shù)。在此基礎(chǔ)上應(yīng)用高斯混合采樣粒子濾波(GMSPPF)算法實(shí)現(xiàn)了磁偶極子跟蹤, 并通過(guò)實(shí)測(cè)試驗(yàn)檢驗(yàn)了算法的性能。結(jié)果表明, 與粒子濾波(PF)和Sigma點(diǎn)粒子濾波(SPPF)算法相比, GMSPPF算法具有更好的性能和較低的計(jì)算量。

磁偶極子跟蹤; 貝葉斯估計(jì); 高斯混合采樣粒子濾波算法

0 引言

磁性艦船目標(biāo)跟蹤具有隱蔽性好、磁場(chǎng)信號(hào)穿透性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn), 在自動(dòng)觀測(cè)系統(tǒng)中有重要價(jià)值。對(duì)磁性艦船目標(biāo)進(jìn)行遠(yuǎn)距離跟蹤時(shí), 經(jīng)常使用磁偶極子模型來(lái)描述艦船的磁場(chǎng)特征[1-2]。

磁偶極子跟蹤屬于被動(dòng)無(wú)源跟蹤問(wèn)題[3-6], 具有高度非線性的特點(diǎn), 無(wú)法通過(guò)解析方法得到其最優(yōu)解。文獻(xiàn)[3]~[6]均采用了非線性濾波方法解決磁偶極子跟蹤問(wèn)題。其中, 文獻(xiàn)[3]和[4]使用擴(kuò)展卡爾曼濾波(extend Kalman filter, EKF)方法和2個(gè)三分量磁傳感器實(shí)現(xiàn)了磁偶極子跟蹤, 但EKF方法需要求解觀測(cè)函數(shù)的雅克比矩陣計(jì)算量較大, 且只有1階近似精度對(duì)高階非線性問(wèn)題的優(yōu)化效果不理想[7-8]。文獻(xiàn)[5]使用不敏卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)方法解決磁偶極子跟蹤問(wèn)題, 但跟蹤的精度不高, 相對(duì)于EKF方法, 性能提升有限。相比文獻(xiàn)[5], 文獻(xiàn)[6]使用不敏粒子濾波(unscented particle filter, UPF)方法實(shí)現(xiàn)了曲線運(yùn)動(dòng)情況下的磁偶極子跟蹤, 跟蹤精度較高。該算法提高了標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波(particle filter, PF)算法的性能并可用于解決非線性、非高斯問(wèn)題, 但計(jì)算量較大。Rudolph M在文獻(xiàn)[9]中提出1種高斯混合采樣粒子濾波(Gaussian-mix- ture sigma-point particle filter, GMSPPF)算法, 該算法提高了Sigma點(diǎn)粒子濾波(sigma-point particle filter, SPPF)算法的性能并大大降低了計(jì)算量, 可以用于解決磁偶極子跟蹤問(wèn)題。

論文討論了如何通過(guò)測(cè)量磁偶極子的磁場(chǎng)特征來(lái)反演出偶極子的位置、速度和磁矩等參數(shù)的問(wèn)題; 提出了使用高斯混合采樣粒子濾波算法跟蹤磁偶極子的方法, 將跟蹤過(guò)程視為可以用狀態(tài)圖變換來(lái)描述的動(dòng)態(tài)模型, 并且利用遞歸貝葉斯估計(jì)理論和目標(biāo)狀態(tài)向量服從1階馬爾科過(guò)程的假設(shè)。論文還用狀態(tài)空間方法對(duì)跟蹤問(wèn)題的離散時(shí)間事件進(jìn)行了建模, 以達(dá)到使用測(cè)量值估計(jì)出隱藏的狀態(tài)參數(shù)的目的。同時(shí)使用磁通門(mén)傳感器和磁偶極子目標(biāo)進(jìn)行實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn), 以檢驗(yàn)算法的性能。

1 磁偶極子跟蹤的理論分析

1.1 算法原理

由于磁性偶極子觀測(cè)方程的高度非線性和自身運(yùn)動(dòng)方向的不確定性, 使其不能服從線性、高斯分布。對(duì)于一般的非線性、非高斯系統(tǒng), 上述濾波方法很難得到后驗(yàn)概率的封閉解析式。因此, 多使用非線性濾波方法以獲取待估計(jì)問(wèn)題的次優(yōu)解?，F(xiàn)有的非線性濾波方法主要有EKF、高斯濾波方法、UKF和PF等[11]。但前3種方法假設(shè)后驗(yàn)概率密度為高斯分布, 不適用于一些非線性、非高斯的情況。

基于序貫重要性采樣的粒子濾波方法在解決非線性、非高斯問(wèn)題上已得到成功應(yīng)用。但是PF算法存在著粒子退化和貧化等缺陷, 為了解決此問(wèn)題, 文獻(xiàn)[9]提出了GMSPPF用以提高PF算法的性能并降低SPPF算法的計(jì)算量。該算法利用有限高斯混合模型表征后驗(yàn)概率分布情況, 可以通過(guò)基于重要性采樣加權(quán)的后驗(yàn)粒子, 借助于加權(quán)的期望最大化算法替換標(biāo)準(zhǔn)重采樣步驟, 解決了粒子貧化問(wèn)題。算法實(shí)現(xiàn)的主要原理如下。

1.2 磁偶極子跟蹤的狀態(tài)和觀測(cè)模型

對(duì)于磁偶極子跟蹤問(wèn)題而言, 該問(wèn)題的狀態(tài)變量由以下2部分組成: 描述目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的速度、位置參數(shù); 描述目標(biāo)磁性特征的磁矩參數(shù)。假設(shè)偶極子目標(biāo)在水平面內(nèi)勻速直線運(yùn)動(dòng), 即目標(biāo)的垂直位置為常數(shù)且速度為零, 則系統(tǒng)的狀態(tài)向量是

式(3)對(duì)應(yīng)于狀態(tài)方程, 可以看出狀態(tài)方程是線性函數(shù), 式(8)對(duì)應(yīng)于觀測(cè)方程, 可以看出觀測(cè)方程是高度非線性函數(shù)。

2 實(shí)測(cè)試驗(yàn)與結(jié)果分析

表1 2個(gè)傳感器的噪聲均值

試驗(yàn)時(shí), 將2個(gè)傳感器安裝在距離200 cm的同一個(gè)水平面上, 設(shè)置2個(gè)傳感器的Z軸垂直指向上, X軸平行且指向一致。則建立1個(gè)以2個(gè)傳感器中心為原點(diǎn), Z軸垂直于水平面向上, X軸與傳感器X軸一致的直角坐標(biāo)系。試驗(yàn)所建立的坐標(biāo)系如圖1所示。圖中, 給出了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的3條軌跡, 出于篇幅限制這里給出目標(biāo)按照軌跡2運(yùn)動(dòng)時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果。軌跡2的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別是(150, 150, 23) cm, (-150, -150, 23) cm, 目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度, 。

圖2給出了試驗(yàn)的實(shí)物圖, 磁偶極子目標(biāo)被安裝在小車(chē)上并且小車(chē)按照地面所繪制的軌跡運(yùn)動(dòng)。另外, 2個(gè)磁通門(mén)傳感器的磁場(chǎng)通過(guò)電纜傳送到數(shù)據(jù)采集卡。表2給出了試驗(yàn)使用的磁偶極子目標(biāo)在坐標(biāo)系中的磁矩參數(shù)。

圖2 實(shí)測(cè)試驗(yàn)實(shí)物示意

表2 目標(biāo)磁偶極子的磁矩值

試驗(yàn)同時(shí)使用了PF, SPPF和GMSPPF算法處理獲取的數(shù)據(jù), 以對(duì)比算法的性能。圖3是目標(biāo)按照軌跡2運(yùn)動(dòng)時(shí), 2個(gè)磁通門(mén)傳感器獲取的磁場(chǎng)數(shù)據(jù), 圖中所示的波形是經(jīng)過(guò)濾波處理后的信號(hào)。其中, 上圖為1號(hào)傳感器第2條軌跡的測(cè)量值, 下圖為2號(hào)傳感器第2條軌跡的測(cè)量值。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行50次蒙特卡洛計(jì)算, 采用式(10)中的均方根誤差(root mean square error, RMSE)來(lái)反映估計(jì)的精度。

式中: 是實(shí)際狀態(tài)參數(shù)值; 是狀態(tài)估計(jì)參數(shù)值; 是計(jì)算數(shù)據(jù)的點(diǎn)數(shù)。

通過(guò)計(jì)算得到了圖4~圖11和表2所示的結(jié)果。圖4是算法估計(jì)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡和實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤圖?？梢钥闯? GMSPPF算法和SPPF算法均可準(zhǔn)確地跟蹤目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡, 但后者在軌跡的終端有些發(fā)散。圖5~圖11分別給出了系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)的跟蹤誤差圖, 誤差是由算法估計(jì)值和參數(shù)真實(shí)值做差得到的。從圖中可以看出: GMSPPF算法和SPPF算法的估計(jì)誤差均可以收斂到零值附近, 明顯優(yōu)于PF算法; SPPF算法的磁矩參數(shù)誤差大于GMSPPF算法, 并且SPPF算法的收斂速度不及GMSPPF算法; 另外, SPPF算法的執(zhí)行時(shí)間是GMSPPF算法的10倍以上, 說(shuō)明后者在降低前者計(jì)算量的前提下提高了前者的性能。從誤差的數(shù)值可看出, GMSPPF算法的位置參數(shù)誤差穩(wěn)定在0.03cm左右; 速度估計(jì)誤差為0.01cm/s左右; 磁矩參數(shù)的誤差在106量級(jí), 只有目標(biāo)實(shí)際磁矩參數(shù)的千分之一。

表3給出了GMSPPF算法估計(jì)參數(shù)的RMSE均值和方差。表中, 均值反映了算法估計(jì)的誤差大小, 而方差是算法估計(jì)誤差的波動(dòng)情況。

圖4 偶極子軌跡跟蹤結(jié)果

圖5 偶極子X(jué)軸位置的跟蹤誤差曲線

圖6 偶極子Y軸位置的跟蹤誤差曲線

Fig.6 Tracking error curves of dipole-axis position

圖7 偶極子X(jué)軸速度的跟蹤誤差曲線

圖8 偶極子Y軸速度的跟蹤誤差曲線

圖9 偶極子X(jué)軸磁矩的估計(jì)誤差曲線

圖10 偶極子Y軸磁矩的估計(jì)誤差曲線

圖11 偶極子Z軸磁矩的估計(jì)誤差曲線

表3 高斯混合采樣粒子濾波算法的均方根誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差

3 結(jié)束語(yǔ)

論文給出了如何使用磁偶極子的磁場(chǎng)特征測(cè)量值來(lái)反演該磁偶極子的位置、速度和磁性參數(shù)的問(wèn)題。應(yīng)用高斯混合采樣粒子濾波算法實(shí)現(xiàn)了磁偶極子目標(biāo)跟蹤。論文分析了偶極子跟蹤的理論本質(zhì)并建立了偶極子跟蹤的狀態(tài)方程模型。使用磁通門(mén)傳感器和磁偶極子目標(biāo)進(jìn)行實(shí)測(cè)試驗(yàn), 并使用了PF, SPPF, GMSPPF等算法對(duì)試驗(yàn)獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。對(duì)比PF, SPPF算法的計(jì)算結(jié)果表明, GMSPPF算法提高了SPPF算法的性能并且降低了計(jì)算量; 成功實(shí)現(xiàn)了偶極子跟蹤, 其位置參數(shù)誤差小于0.03 cm、速度參數(shù)誤差小于0.01 cm/s、磁矩參數(shù)的估計(jì)誤差小于0.01%。

[1] Wahlstom N．Target Tracking Using Maxwell′s Equations [D]．Linkoping, Sweden: Linkoping University, 2010．

[2] 林春生, 龔沈光．艦船物理場(chǎng)[M]. 北京: 兵器工業(yè)出版社, 2007.

[3] Wahlstrom N, Callmer J, Gustafsson F. Magnetometers for Tracking Metallic Targets[C]//Processing of 13th International Conference on Information Fusion, 2010．

[4] Wahlstom N．Target Tracking Using Maxwell′s Equations [D]．Linkoping , Sweden: Linkoping University, 2010．

[5] Birsan M．Non-linear Kalman Filters for Tracking a Magnetic Dipole[C]//Processing of InternationalConference on Maritime Electromagnetic, MARELEC, 2003.

[6] Birsan M. Unscented Particle Filter for Tracking a Magnetic Dipole Target[C]//Proceedings of MTS/IEEE, 18-23 Sept, 2005, USA, IEEE, 2005: 1-4．

[7] Wynn W M．Magnetic Dipole Localization with a Tensor Gradiometer[C]//Proceedings of theInternational Conference on Marine Electromagnetic MARELEC, Brest, 1999: 295- 304．

[8] Wynn W M．Magnetic Dipole Localization with a Gradiometer: Obtaining Unique Solutions[J]．Proceedings IEEE Symposium on Geosciences and Remote Sensing, Singapore, 1997(4): 1483-1485．

[9] Rudolph M．Gaussian Mixture Sigma-point Particle Filters for Sequential Probabilistic Inference in Dynamic State- space Models[C]//Proceedings of the InternationalConf- erence on Acoustics, Speech and Signal Processing, Hong- Kong,2003: 701-704．

[10] Gupta S, Gangopadhyay R, Prati G．Accurate BER Estimation of Optical DPSK Systems Using Sum of Gaussian Approximation[C]//Proceedings of the Joint International Conference on Optical Internet and Next Generation Network, South Korea, 2006: 46-48．

[11] Julier S J, Uhlmann J K, Durrant-Whyte H F．A New Approach for the Nonlinear Transformation of Means and Covariance in Filters and Estimators[J]．IEEE Transactions on Automatic Control, 2000, 45(3): 477-482．

Magnetic Dipole Tracking Based on Nonlinear Filtering Algorithm

WU Zhi-dong, ZHOU Sui-hua, CHEN Zhi-yi

(Department of Weaponry Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

To realize the magnetic dipole tracking with high nonlinearity characteristic, the estimation of magnetic dipole′s position, magnetic moment, and velocity is formulated as a Bayesian estimation problem for dynamic systems. A recursive approach is proposed to evaluate the state parameter of the target. Based on the proposed method, the Gaussian-mixture sigma-point particle filter(GMSPPF) is adopted to realize the magnetic dipole tracking. The performance of the proposed method is verified through experiment. The results indicate that the proposed method can achieve higher tracking performance, and GMSPPF performs better in both estimation and computational efficiency than the particle filtering and sigma-point particle filtering algorithms.

magnetic dipole tracking; Bayesian estimation; Gaussian-mixture sigma-point particle filter algorithm

TJ630.33

A

1673-1948(2013)04-0262-06

2013-03-20;

2013-04-22.

國(guó)家自然科學(xué)基金(51109215).

吳志東(1986-), 男, 在讀博士, 研究方向?yàn)榇判阅繕?biāo)探測(cè)與識(shí)別.

(責(zé)任編輯: 楊力軍)