帶液體晃動(dòng)航天器的非線性自適應(yīng)反饋控制*

顧黃興 齊瑞云

南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210016

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)航天器的性能提出了更高的要求，液體燃料占航天器總重量的比值不斷增大，地球同步衛(wèi)星的燃料接近總質(zhì)量的40%[1]。當(dāng)貯箱部分充液時(shí)，由于航天器的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，會(huì)使液體燃料不斷晃動(dòng)，對(duì)航天器產(chǎn)生顯著的干擾力、干擾力矩和沖擊壓力，使航天器呈現(xiàn)非線性、參數(shù)時(shí)變等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)較低的晃動(dòng)頻率容易與航天器的結(jié)構(gòu)振動(dòng)和姿態(tài)控制系統(tǒng)相交耦，從而對(duì)航天器的姿態(tài)控制和穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響。如何抑制液體燃料晃動(dòng)對(duì)航天器的影響是一個(gè)難點(diǎn)，因而在航天器建模和控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，必須將液體燃料和剛體航天器加以綜合考慮。

帶液體晃動(dòng)航天器的姿態(tài)控制對(duì)航天器變軌、交會(huì)對(duì)接以及姿態(tài)跟蹤目標(biāo)的達(dá)成非常重要。目前針對(duì)此類問題的姿態(tài)控制方法主要有：文獻(xiàn)[2]針對(duì)帶液體晃動(dòng)航天器設(shè)計(jì)了自適應(yīng)極點(diǎn)配置姿態(tài)控制器；文獻(xiàn)[3]用一種分層滑?？刂品椒ㄡ槍?duì)帶液體晃動(dòng)航天器設(shè)計(jì)了姿態(tài)控制器；文獻(xiàn)[4]針對(duì)帶液體晃動(dòng)的月球著陸器提出了一種基于無源性的姿態(tài)控制方法；文獻(xiàn)[5-8]針對(duì)帶液體晃動(dòng)航天器提出了一種基于Lyapunov函數(shù)的非線性反饋控制器的設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)[9]對(duì)液體晃動(dòng)-航天器姿態(tài)耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)采用極點(diǎn)配置間接自校正控制策略，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)角的鎮(zhèn)定及跟蹤；文獻(xiàn)[10]針對(duì)一類帶液體晃動(dòng)欠驅(qū)動(dòng)航天器設(shè)計(jì)了非線性反饋控制器；文獻(xiàn)[11]提出了一種針對(duì)充液航天器姿態(tài)的自適應(yīng)非線性動(dòng)態(tài)逆控制。上述文獻(xiàn)提供的各種控制方法，大都是基于液體燃料的質(zhì)量等相關(guān)參數(shù)不變來設(shè)計(jì)控制器，沒有考慮到液體燃料的參數(shù)可變且難以測(cè)量。為此，本文提出了采用自適應(yīng)控制方法來解決這個(gè)問題。

針對(duì)有加速度條件下的帶有液體燃料晃動(dòng)的航天器，本文基于Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性分析，在文獻(xiàn)[5-8]提出的非線性反饋控制器的基礎(chǔ)上，考慮液體燃料參數(shù)的不確定性，提出了一種參數(shù)自適應(yīng)非線性反饋控制方法，來抑制航天器的橫向以及俯仰運(yùn)動(dòng)，同時(shí)抑制液體燃料的晃動(dòng)，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。仿真實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

本文研究的是零重力條件下，在有軸向加速度時(shí)，某固定平面內(nèi)帶單個(gè)貯箱的軸對(duì)稱剛體航天器的動(dòng)力學(xué)和姿態(tài)控制，液體燃料使用單個(gè)的彈簧-質(zhì)量塊模型來等效，如圖1所示。

圖1 帶液體晃動(dòng)航天器示意圖

建立航天器體坐標(biāo)系Oxyz和慣性坐標(biāo)系OXYZ，考慮航天器在X軸、Z軸平面上的運(yùn)動(dòng)。vx，vz分別為貯箱中心沿著x軸和z軸的速度分量；貯箱內(nèi)液體燃料等效為彈簧-質(zhì)量塊，質(zhì)量為mf，分為2部分：固定質(zhì)量m0，h0和I0分別為其相對(duì)貯箱中心的距離和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；振動(dòng)部分的液體質(zhì)量m1，h1和s分別為其相對(duì)貯箱中心的距離和振幅。k1為彈簧彈性系數(shù)；航天器姿態(tài)角θ為航天器相對(duì)于慣性坐標(biāo)系X軸的角度；航天器質(zhì)量為m，相對(duì)貯箱中心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I；末端推力為恒力F，推力角δ為F相對(duì)體坐標(biāo)系x軸的角度；M為作用于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，M和δ是控制輸入；質(zhì)心到貯箱中心距離為b，推力F作用點(diǎn)到質(zhì)心距離為d；c為彈簧振子阻尼系數(shù)。

由文獻(xiàn)[7]可知，帶液體晃動(dòng)航天器動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

M+F(b+d)sinδ

(3)

(4)

從上述方程可以看出，液體燃料與剛體航天器的耦合作用強(qiáng)烈，系統(tǒng)呈現(xiàn)很強(qiáng)的非線性。方程(1)～(3)中包含了剛體航天器和液體燃料之間力和力矩的作用，同時(shí)，控制力和力矩又都是直接作用于剛體航天器外部，因此對(duì)液體晃動(dòng)的抑制只能通過內(nèi)部的耦合作用來實(shí)現(xiàn)，使得航天器整體表現(xiàn)為一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。方程(4)體現(xiàn)了液體晃動(dòng)的耗散作用，阻尼系數(shù)c的存在，使得液體每個(gè)周期的晃動(dòng)都會(huì)帶來小部分能量的消耗。

在航天器做機(jī)動(dòng)動(dòng)作時(shí)，若推力角度、姿態(tài)角變化幅度較小，且液體晃動(dòng)為小幅晃動(dòng)時(shí)，軸向加速度不會(huì)顯著變化，因此方程(1)可以近似為：

(5)

令

(6)

(7)

(8)

設(shè)計(jì)目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)參數(shù)自適應(yīng)非線性反饋控制器，使航天器完成給定的平面機(jī)動(dòng)動(dòng)作，即控制航天器的姿態(tài)角和橫向速度達(dá)到預(yù)定目標(biāo)，并同時(shí)抑制液體燃料的晃動(dòng)，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

2 非線性自適應(yīng)反饋控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)前文的分析可知，帶液體晃動(dòng)的航天器系統(tǒng)為固液耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)的基于線性化模型的控制方案很難取得好的控制效果。本文采用基于Lyapunov函數(shù)的非線性設(shè)計(jì)方法，直接對(duì)非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)，并據(jù)此設(shè)計(jì)控制器，使系統(tǒng)能得到很好的收斂性能，使用間接自適應(yīng)控制的方法保證參數(shù)估計(jì)值的收斂，同時(shí)使用參數(shù)映射等手段保證參數(shù)估計(jì)值在合理的取值范圍內(nèi)，最終針對(duì)帶液體晃動(dòng)的航天器系統(tǒng)設(shè)計(jì)了參數(shù)自適應(yīng)非線性反饋控制器。

在上文建立系統(tǒng)模型時(shí)，采用彈簧-質(zhì)量塊模型對(duì)液體燃料進(jìn)行建模，而在實(shí)際的航天器任務(wù)中，由于傳感器的精度以及建模時(shí)的誤差，很難精確測(cè)量得到等效模型的各項(xiàng)參數(shù)。因此對(duì)于此非線性系統(tǒng)，考慮液體燃料的具體參數(shù)的不確定性，將方程(8)改寫為如下的形式：

(9)

實(shí)際的航天器系統(tǒng)中，液體燃料的各項(xiàng)參數(shù)必定有界，因此等效模型的各參數(shù)也有界，故可對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)一步作如下假設(shè)：

假設(shè)1：h∈Ω1，而Ω1={h|hmin≤h≤hmax}，即h有上下界；β>0；α∈Ω2，而Ω2={α|0<αmin≤α≤αmax}，即α有上下界，且大于0。

假設(shè)2：存在Ωα，使得α>0,?α∈Ωα。Ωα為R上凸子集，且Ω2?Ωα。

假設(shè)3：可以適當(dāng)選擇正常量r3,r4，使得μ=r3-r4h2>0，?h∈Ωh。其中Ωh為R上凸子集，Ω1?Ωh；r3,r4為可以選擇的Lyapunov函數(shù)的系數(shù)。

下面先給出控制器以及投影算子，后面證明基于投影算子的自適應(yīng)律的選取保證了參數(shù)估計(jì)值的有界性。定義如下的公式：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

定義如下的投影算子[12]：

(15)

δ1,δ2為選定的較小的正數(shù)，分別使Ω1?Ω1δ?Ωh，Ω2?Ω2δ?Ωα成立，其中Ω1δ={h|hmin-δ1≤h≤hmax+δ1},Ω2δ={α|αmin-δ2≤α≤αmax+δ2}。

下面通過對(duì)定理的證明來說明控制器的設(shè)計(jì)。

定理：給定正常數(shù)r1～r7,l1,l2，采用控制律式(10)及(11)和參數(shù)自適應(yīng)律式(12)～(14)，能保證系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定。其中，r3，r4滿足如下條件：可以選定r3，r4，使得μ=r3-r4h2>0，?h∈Ωh。

證明：取Lyapunov函數(shù)為：

對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)可得：

將控制律式(10)和(11)代入，整理后得到：

(17)

由參數(shù)自適應(yīng)律式(13)可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

將式(18)代入式(17)，再由投影算子性質(zhì)式(19)和(21)，可得

根據(jù)投影算子性質(zhì)式(20)和(22)可知，Lyapunov函數(shù)V為正定函數(shù)。由LaSalle 不變集定理[1-3]可知，對(duì)系統(tǒng)(6)～(8)施加控制律(10)和(11)，以及參數(shù)自適應(yīng)律(12)～(14)時(shí)，可以使得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定。

3 仿真

針對(duì)本文提出的參數(shù)自適應(yīng)非線性反饋控制方案，本節(jié)采用數(shù)字仿真來研究其對(duì)帶液體晃動(dòng)航天器的控制效果。

表1 航天器及燃料的物理參數(shù)[7]

考慮液體燃料參數(shù)的可變性，時(shí)間t為600s時(shí)，參數(shù)變動(dòng)為：m1=20kg，h1=0.12m，k=80N/m，c=3.2N·s/m。

參數(shù)映射中各參數(shù)為：αmin=0.01，αmax=15，hmin=0.01，hmax=15，δ1=0.001，δ2=0.001，Ωα={α|α≥0.001}，Ωh={h|0.001≤h≤20}。

綜合考慮系統(tǒng)的響應(yīng)速度，調(diào)節(jié)時(shí)間以及輸出曲線等因素，一組較合適的控制律及自適應(yīng)律參數(shù)為：r1=1×10-6，r2=100，r3=10，r4=0.02，r5=0.006，r6=5×10-5，r7=5×10-5，l1=4000，l2=2000。其中，l1，l2的取值較大，是為了保證系統(tǒng)的總體收斂速度。r1對(duì)仿真結(jié)果中各狀態(tài)量和控制輸入的超調(diào)量影響較大，因此取值較小。r2,r4同樣對(duì)系統(tǒng)的收斂性有影響，同時(shí)會(huì)對(duì)仿真曲線的平滑性和上升時(shí)間有較大的影響。r5,r6,r7等與r4相關(guān)，影響各參數(shù)的收斂性。綜合考慮以上各種因素，適當(dāng)?shù)倪x取各個(gè)參數(shù)，可以得到較好的仿真結(jié)果，如圖(2)～(5)所示。

圖2 vx,vz的響應(yīng)曲線

圖3 θ,s的響應(yīng)曲線

圖4 參數(shù)α,β,h的估計(jì)值

圖5 控制輸入δ,M

從圖(2)和(3)中可以看出，航天器的橫向速度，姿態(tài)角和彈簧振子振幅都能最終達(dá)到平衡點(diǎn)，同時(shí)系統(tǒng)的軸向加速度基本保持不變，符合上面簡化模型時(shí)的分析。圖(4)給出的各參數(shù)的估計(jì)值很快的收斂。從圖(5)中可看出，航天器的控制輸出，即控制力矩和推力角度曲線平滑，參數(shù)在合理的范圍內(nèi)。在600s時(shí)，液體晃動(dòng)的參數(shù)發(fā)生變動(dòng)，系統(tǒng)仍能最終達(dá)到平衡?？梢钥闯?，采用本文提出的控制器，系統(tǒng)能夠最終達(dá)到平衡，同時(shí)控制器輸出很平滑，沒有抖動(dòng)。

4 總結(jié)

針對(duì)帶液體晃動(dòng)的航天器，在給定整體系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，本文針對(duì)系統(tǒng)的非線性性以及液體燃料晃動(dòng)參數(shù)未知且難以精確測(cè)量等特點(diǎn)，基于Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性分析，設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自適應(yīng)非線性反饋控制器，按照這種方法設(shè)計(jì)的控制器可以保證系統(tǒng)最終達(dá)到漸近穩(wěn)定。這種控制方法抑制了航天器的橫向及俯仰運(yùn)動(dòng)，并且有效抑制了液體的晃動(dòng)，達(dá)到了控制目標(biāo)。最后給出的仿真實(shí)例說明了該方法的有效性和可行性。

參 考 文 獻(xiàn)

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