變分不等式的應用

楊允利

(陜西省藍田縣教師進修學校， 陜西西安 710500)

1 序言

變分不等式起源于數(shù)學物理問題和非線性規(guī)劃問題。20世紀60年代中期，在非線性規(guī)劃的研究中出現(xiàn)了線性和非線性互補問題，它們進一步發(fā)展成了有限維空間中的變分不等式。20世紀70年代以來，作為現(xiàn)代偏微分方程理論的重要部分的變分不等式理論得到深入發(fā)展，至今已經(jīng)較為成熟[1]。

變分不等式在現(xiàn)實生活中有著非常重要和直觀的意義。在一般的工程技術(shù)領(lǐng)域、高新技術(shù)領(lǐng)域、科研探索以及日常生產(chǎn)和現(xiàn)實生活中，有些復雜問題，往往給人以變幻莫測的感覺，難以掌握其中的奧妙[2]。 隨著科學技術(shù)的飛速發(fā)展及信息時代的到來，有著十分抽象形式和嚴格邏輯體系且來源于實際需要的各種模型，對培養(yǎng)人的素質(zhì)、數(shù)學思維能力和進行數(shù)值計算能力方面具有不可替代的作用，變分不等式就是其中非常重要的一例[3]。

2 變分不等式的定義以及它的一些性質(zhì)

對于u∈M，我們來考慮最小值問題：F(u)=min!, 并且對于所有的v∈M和給定的u∈M，伴隨著變分不等式:δF(u;v-u)≥0, 對應到對于所有v∈M和給定的u∈M，〈F′(u),v-u〉≥0. 我們假設(shè):

(H1)M是實自反巴拿赫空間X的非空的、閉的凸子集。

(H3) 如果M是無界的，那么F就是弱強制的。

定理 假設(shè)(H1)到(H3)成立，那么下述成立：

(i)最小值問題F(u)=min!有解u，如果F是嚴格凸的，那么這個解是唯一的。

(ii)如果對所有v∈M和所有h∈X，一次變分δF(v;h)都存在，那么最小值問題F(u)=min!和變分不等式δF(u;v-u)≥0是等效的。

(iii)如果對所有的v∈M,導數(shù)F′(v)存在，那么最小值問題F(u)=min!和變分不等式〈F′(u)；v-u〉≥0是等效的。

證明：(ii)定義φ(t):=F(u+t(v-u)).

如果u是最小值問題F(u)=min!的解，那么對所有t∈[0,1],φ(t)≥φ(0). 因此,

反過來，讓u是變分不等式δF(u;v-u)≥0的解。那么，φ′(0)≥0，因此，φ在[0,1]上是凸的，導數(shù)φ′在[0,1]上是單調(diào)的。由均值定理可知，存在0<θ<1，使得

φ(1)-φ(0)=φ′(θ)≥φ(0)≥0.

因此，對任意v∈M,F(v)-F(u)≥0.就是說，u是最小值問題F(u)=min!的一個解[4].

3 變分不等式的應用——火箭最優(yōu)控制

我們要研究一個垂直上升的火箭到達某一給定高度h并且消耗最少燃料的方案?；鸺倪\動方程x=x(t)由下式確定：

mx″(t)=λ(t)-mg,0

x(0)=x′(0)=0,x(T)=h,

其中，m表示火箭的質(zhì)量，mg表示重力，λ(t)表示火箭的自身動力。我們忽略了消耗燃料的質(zhì)量。為了簡化表示方法，我們選擇物理單位m=g=1.

(a) 對于給定的高度h和固定的最終時間T>0，我們尋找一個解決方案F，這個方案是最小值問題min‖F(xiàn)‖=α(T)，F(xiàn)∈C[0,T]*的解,

(b) 我們用式子α(T)=min!決定最終時間T,

[參 考 文 獻]

[1] ABRAHAM R, MARSDEM J， RATIU T. Manifolds, TensorAnalysis, and Applications[M]. Addison-Wesley, Reading, MA, 1983.

[2] AMANN H. Ordinary Differential Equations:An Introduction to No nonlinear Analysis[M]. De Gruyter, Berlin, 1990.

[3] BAGGER L. Functional Analysis[M]. A Primer.Marcel Dekker, New York, 1992.

[4] COLLINS J. Renormalization[M]. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1984.