一種具有跳躍能力的自平衡兩輪機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模與越障控制

肖 寒，孫漢旭，張延恒，賈慶軒

（北京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京100876）

0 引言

移動(dòng)機(jī)器人作為機(jī)器人的一種重要類型，因其相對(duì)于固定機(jī)器人在功能和應(yīng)用范圍上具有明顯優(yōu)勢(shì)[1～4]，為了擴(kuò)大星際漫游車的活動(dòng)范圍，NASA曾推出了一系列彈跳機(jī)器人[5～8]。美國(guó)明尼蘇達(dá)大學(xué)推出一種彈跳機(jī)器人UNM Scout[9]，可實(shí)現(xiàn)跳躍、滾動(dòng)、停止等動(dòng)作，哈爾濱工業(yè)大學(xué)的韓慶虎等人曾研制出一款小型兩輪彈跳機(jī)器人[10]，當(dāng)其運(yùn)動(dòng)時(shí)彈跳機(jī)構(gòu)以輔助輪形式拖于地面，需要越障時(shí)彈跳機(jī)構(gòu)撞擊地面，使兩輪機(jī)器人越障，取得了不錯(cuò)的越障效果。

自平衡兩輪機(jī)器人較普通移動(dòng)機(jī)器人具有轉(zhuǎn)彎靈活、無(wú)剎車系統(tǒng)及體積小巧[11]等特點(diǎn)，而具備跳躍能力后將會(huì)解決其越障能力不足的缺陷。本文針對(duì)所研制出的一種具有跳躍能力的自平衡兩輪車。本文針對(duì)該兩輪機(jī)器人，建立了其在彈跳準(zhǔn)備階段的動(dòng)力學(xué)模型，并給出了一種模糊滑?？刂破鲗?shí)現(xiàn)其自平衡與越障的控制。分析了兩輪機(jī)器人的最大可控角、起跳條件以及越障條件。規(guī)劃出機(jī)器人在騰空階段的彈跳軌跡，并給出了落地恢復(fù)方案。最后將所設(shè)計(jì)彈跳控制方案用于兩輪機(jī)器人彈跳控制中，實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了所用控制方案的有效性。

1 跳躍準(zhǔn)備階段動(dòng)力學(xué)建模

1.1 機(jī)器人越障流程

具有跳躍能力的自平衡兩輪機(jī)器人見(jiàn)圖1，其彈跳越障流程：①根據(jù)障礙物外形尺寸規(guī)劃出機(jī)器人跳躍越障的最佳軌跡，確定機(jī)器人的起跳速度和角度；②根據(jù)確定的起跳角度和速度計(jì)算出機(jī)器人起跳瞬間所需的水平移動(dòng)速度和豎直彈跳速度；③設(shè)計(jì)模糊滑?？刂破骺刂破渌揭苿?dòng)速度與彈跳腿角度；④根據(jù)所確定的機(jī)器人起跳瞬間豎直方向速度控制彈簧的壓縮量，實(shí)現(xiàn)對(duì)豎直速度的控制。

圖1 機(jī)器人參數(shù)定義Fig.1 Robot parameter definition

1.2 動(dòng)力學(xué)建模

由于機(jī)器人的彈跳運(yùn)動(dòng)過(guò)程轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)會(huì)增加系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，而機(jī)器人又具有零半徑轉(zhuǎn)彎功能，因此在彈跳準(zhǔn)備階段的控制為直線運(yùn)動(dòng)控制。機(jī)器人的參數(shù)定義如圖1所示。機(jī)器人在地面的直線運(yùn)動(dòng)具有兩個(gè)自由度，分別為車輪滾動(dòng)角θ，彈跳腿擺角φ，系統(tǒng)輸入為長(zhǎng)軸電機(jī)作用于輪上輸入轉(zhuǎn)矩。兩輪機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)任意位置處動(dòng)能計(jì)算如下：

其中，mt—彈跳腿上重塊質(zhì)量；mb—機(jī)器人底盤質(zhì)量；mw—機(jī)器人兩個(gè)車輪的質(zhì)量；r—車輪半徑；l—彈跳腿上重塊質(zhì)心到車輪軸線的距離；Jw，Jb，Jt分別為車輪，底盤，上重塊相對(duì)于車輪軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將式 （1）代入拉格朗日方程化簡(jiǎn)得到：

1 .3最大可控角分析

針對(duì)所設(shè)計(jì)機(jī)器人，分兩種情況分析其最大可控角的影響因素。當(dāng)機(jī)器人處在臨界驅(qū)動(dòng)擺角時(shí)，電機(jī)輸入力矩達(dá)到最大輸入時(shí)有：

式中：Mw—此時(shí)電機(jī)輸入力矩，計(jì)算可得：

式（4）為此種情況下計(jì)算出的最大驅(qū)動(dòng)擺角。而當(dāng)機(jī)器人處在臨界驅(qū)動(dòng)擺角時(shí)，地面摩擦力為最大滑動(dòng)摩擦力時(shí)有：

式（5）為此種情況下計(jì)算出的最大驅(qū)動(dòng)擺角，其中M為機(jī)器人整體質(zhì)量。則機(jī)器人的最大可控角為：

由上式看出，可以通過(guò)提高電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩，增大車輪與地面的摩擦系數(shù)，減小偏心質(zhì)量占機(jī)器人總質(zhì)量比重的辦法來(lái)增大機(jī)器人的最大可控角。

2 跳躍準(zhǔn)備階段模糊滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

將式（2）化為如下的非線性狀態(tài)空間形式（化簡(jiǎn)過(guò)程略）：

其中，Df1，Df2為未知參數(shù)攝動(dòng)與環(huán)境擾動(dòng)。

其中：λ2—滑模面S2的系數(shù)，也即總滑模面的斜率，通過(guò)調(diào)整λ2的大小，可以改變總滑模面中兩級(jí)分滑模面的權(quán)重，從而實(shí)現(xiàn)了控制優(yōu)先級(jí)的調(diào)整。

由于固定不變的λ1，λ2，僅適用于初始條件不變的情況，同時(shí)，環(huán)境的變化也會(huì)造成控制效果的不理想，因此，本文采用模糊在線調(diào)整的辦法，實(shí)現(xiàn)對(duì)λ1，λ2的最優(yōu)配置。將λ1，λ2分別取值如下：

其中，λ1'，λ2'—針對(duì)系統(tǒng)控制目標(biāo)，通過(guò)遺傳算法優(yōu)化參數(shù)所得到的初始值；△λ1，△λ2—模糊控制器輸出調(diào)整值。

對(duì)λ1在線調(diào)整構(gòu)造模糊控制器，輸入為彈跳腿擺角φ，輸出為△λ1，通過(guò)對(duì)機(jī)器人實(shí)物參數(shù)的計(jì)算可知機(jī)器人最大可控角，設(shè)為a rad，則取輸入論域?yàn)椋?a,a），輸出論域?yàn)椋?0.3,0.3），隸屬度函數(shù)取為三角型，模糊控制規(guī)則為一一對(duì)應(yīng)。

對(duì)λ2在線調(diào)整構(gòu)造模糊控制器，輸入為滑模面S1，輸出為△λ2，通過(guò)對(duì)機(jī)器人越障參數(shù)的計(jì)算可知，設(shè)定的水平速度為b rad/s，則取輸入論域?yàn)椋?,b），輸出論域?yàn)椋?,0.3），隸屬度函數(shù)取為三角型，模糊控制規(guī)則為一一對(duì)應(yīng)。

所設(shè)計(jì)模糊滑模控制器最終輸出為電機(jī)的輸入力矩U，此模糊控制器的輸入為系統(tǒng)總滑模面函數(shù)S及其導(dǎo)數(shù)S˙，在此，對(duì)傳統(tǒng)模糊控制器做一定改進(jìn)，使其輸入輸出論域范圍可以隨當(dāng)前輸入誤差做相應(yīng)調(diào)整，以提高模糊控制器的控制精度，我們?nèi)』Ｃ鍿的輸入論域?yàn)閇-c,c]，S˙輸入論域?yàn)閇-d,d]，輸出力矩 U 的論域?yàn)閇-c,c]，其中 c=1/｜2S｜，d=1/｜2S˙｜，相應(yīng)的隸屬度函數(shù)取三角型， 模糊控制規(guī)則如表1所示。從表中模糊規(guī)則的設(shè)計(jì)可以看出，當(dāng)S與S˙的取值同號(hào)時(shí)，模糊規(guī)則的控制輸出為使S S˙取值減小趨于0，當(dāng)S與S˙的取值異號(hào)時(shí)，模糊規(guī)則的控制為0，因此SS˙＜0時(shí)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，且狀態(tài)量誤差趨于0，由此可見(jiàn)此模糊規(guī)則的設(shè)計(jì)可以滿足滑模控制穩(wěn)定性要求。

表1 模糊規(guī)則表

3 起跳階段動(dòng)力學(xué)分析

通過(guò)控制機(jī)器人水平方向與豎直方向運(yùn)動(dòng)速度的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人彈跳角度與速度的控制，彈跳腿維持豎直狀態(tài)保證系統(tǒng)穩(wěn)定。機(jī)器人在起跳階段，系統(tǒng)能量守恒：

式中：vty—彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)彈跳腿以上部分豎直方向的速度；ht—此時(shí)上部質(zhì)心豎直方向上升高度；x—彈簧初始?jí)嚎s量；k—彈簧勁度系數(shù)，由上式可以得出機(jī)器人的離地條件為vty＞0，計(jì)算可得機(jī)器人的離地條件為：

彈簧在恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，機(jī)器人整體鎖定，上下部分以相同的速度向上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)由動(dòng)量守恒有：

v0即為起跳瞬間，機(jī)器人的豎直速度，而水平速度為在準(zhǔn)備階段機(jī)器人移動(dòng)速度vx=θ˙r。

4 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及軌跡規(guī)劃

要確定機(jī)器人在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡，首先需要根據(jù)障礙物外形確定空中運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)，設(shè)機(jī)器人在空中運(yùn)動(dòng)軌跡拋物線的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（xm，ym），可以解得：

根據(jù)機(jī)器人所選電機(jī)可以確定其最大運(yùn)動(dòng)速度為3m/s，由式（14）可以計(jì)算出機(jī)器人在騰空階段質(zhì)心最高點(diǎn)的集合為一實(shí)心拋物線。當(dāng)機(jī)器人水平方向速度為最大值，在不同的彈簧壓縮量下，機(jī)器人質(zhì)心最高點(diǎn)的軌跡集合為上述實(shí)心拋物線的最外層拋物線，而當(dāng)水平速度不為最大時(shí)，則拋物線內(nèi)的任何一點(diǎn)都可能是跳躍軌跡的最高點(diǎn)。

根據(jù)障礙物的類型不同，可以分為溝渠、豎直障礙物以及平臺(tái)類型障礙物三種，但越障條件均為機(jī)器人最低點(diǎn)軌跡高于障礙物。以越過(guò)豎直類型障礙物為例，做出如圖2所示越障軌跡規(guī)劃。其中兩實(shí)心拋物線的相交區(qū)域?yàn)闄C(jī)器人質(zhì)心可越障的最高點(diǎn)集合，區(qū)域越大，可供選擇的越障軌跡方案也就越多，不相交則不可越障。越障軌跡最高點(diǎn)橫坐標(biāo)取0，然后根據(jù)起跳點(diǎn)與落地點(diǎn)關(guān)于障礙中線對(duì)稱且保證軌跡與障礙物相離的原則，三點(diǎn)確定出其越障軌跡的拋物線方程。

圖2 越障軌跡規(guī)劃Fig.2 Obstacle navigation trajectory planning

其中起跳點(diǎn)與落地點(diǎn)的選擇根據(jù)實(shí)驗(yàn)所用障礙物所確定的越障軌跡的坐標(biāo)，實(shí)驗(yàn)所選障礙為豎直障礙，高度為15cm，越障軌跡取為距離障礙物最外側(cè)5cm的距離，則由起跳點(diǎn)與最高點(diǎn)坐標(biāo)可得機(jī)器人越障軌跡：

其中最高點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），起跳點(diǎn)坐標(biāo)為（w,0）， w=2r+d/2，d—障礙物寬度。而機(jī)器人在水平與豎直方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：

化簡(jiǎn)可得運(yùn)動(dòng)方程為：

由上式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可以得到：

至此，分析得到了機(jī)器人在準(zhǔn)備階段與起跳階段的兩個(gè)控制目標(biāo)值，水平速度vx與豎直速度v0。

5 實(shí)驗(yàn)

兩輪機(jī)器人實(shí)物的物理參數(shù)為mt=1.2kg，mb=0.45kg，mw=0.2kg，r=0.08m，l=0.05m，Jw=0.00064kg·m2，Jb=0.000141kg·m2，Jt=0.003kg·m2， a=0.64rad， b=3rad/s。

實(shí)驗(yàn)所用豎直障礙物高度為15cm，設(shè)定彈跳高度為20cm，根據(jù)前述軌跡規(guī)劃方法可得規(guī)劃軌跡方程為：

兩輪機(jī)器人越障實(shí)驗(yàn)過(guò)程如圖3所示。其實(shí)物物理參數(shù)與動(dòng)力學(xué)建模參數(shù)相同。越障實(shí)驗(yàn)機(jī)器人水平滾動(dòng)角速度實(shí)驗(yàn)曲線如圖4所示，擺角角度曲線如圖5所示，從圖中可以看出兩輪機(jī)器人水平速度可以在較短的時(shí)間內(nèi)收斂到期望值，穩(wěn)態(tài)誤差極小，擺角及擺角速度也在很短的時(shí)間內(nèi)收斂到0，震蕩很小，電機(jī)輸入力矩?zé)o抖振，力矩值在電機(jī)最大力矩范圍之內(nèi)，越障運(yùn)動(dòng)軌跡符合預(yù)期。機(jī)器人水平速度、擺角等控制量均可以在較短時(shí)間內(nèi)收斂到期望值，控制效果達(dá)到預(yù)期，驗(yàn)證了所用控制方法的有效性。

圖3 機(jī)器人越障實(shí)驗(yàn)Fig.3 The robot obstacle navigation experiment

圖4 兩輪機(jī)器人滾動(dòng)角速度實(shí)驗(yàn)曲線Fig.4 Robot rolling angular velocity curves

圖5 機(jī)器人擺角角度實(shí)驗(yàn)曲線Fig.5 Robot swinging angle curve

6 結(jié)論

本文針對(duì)一種具有跳躍能力的兩輪機(jī)器人的越障控制問(wèn)題，建立了其動(dòng)力學(xué)模型；利用模糊滑?？刂谱隽藱C(jī)器人彈跳準(zhǔn)備階段的控制；根據(jù)障礙物的外形，做了越障軌跡規(guī)劃，計(jì)算得到機(jī)器人準(zhǔn)備階段與起跳階段的控制目標(biāo)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所用控制方法具有較好的控制效果，實(shí)現(xiàn)了兩輪機(jī)器人的跳躍越障。

[1]M.H.Kaplan,H.Seifert.Hopping transporters for lunar exploration.Journal of Spacecraft and Rockets.1969，3.

[2]劉壯志，席文明，等.彈跳式機(jī)器人研究[J].機(jī)器人，2003，6.

[3]劉壯志，朱劍英，吳洪濤.間歇性單足彈跳機(jī)器人落地穩(wěn)定性分析[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2004，9.

[4]劉壯志.彈跳機(jī)器人若干關(guān)鍵技術(shù)研究[D].南京航空航天大學(xué)， 2000，1～5.

[5]Paolo Fiorini,Samad Hayati,Matt Heverly,et al.A Hopping Robot for Planetary Exploration[J].In Proc.of IEEE Aerospace Conf.,March 1999.

[6]E.Hale,N.Schara,J.Burdick,et al.A minimally actuated hopping rover for exploration of celestial bodies[J].In ICRA’2000.

[7]Paolo Fiorini,Joel Burdick.The Development of Hopping Capabilities for Small Robots[J].Auto-nomous Robots,14,2003.

[8]Mirko Confente,Claudio Cosma,Paolo Fiorini,et al.Planetary Exploration Using Hopping Robots[A].7th ESA Workshop on Advanced Space Technologies for Robotics and Automation'ASTRA2002'ESTEC,Noordwijk,the Netherlands,November 19～21,2002.

[9]J.L.Pearce,P.E.Rybski,S.A.Stoeter,N.Papani-kolopoulos.Dispersionbehaviorsforateamofmultipleminiaturerobots.IEEEConferenceonRoboticsandAutomation,Taipei,Taiwan,September,2003.

[10]韓慶虎.小型兩輪彈跳機(jī)器人的研究[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué),2007.