游戲：設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的有效載體

孫朝仁　朱桂鳳

寫出結(jié)論并說(shuō)明理由。

【設(shè)計(jì)意圖】這一游戲的設(shè)計(jì)，能讓學(xué)生體驗(yàn)用方程思想解決問(wèn)題的優(yōu)越性，借用月歷驗(yàn)證問(wèn)題解決的合理性和正確性，加深了學(xué)生對(duì)方程模型的認(rèn)識(shí)。第一個(gè)活動(dòng)的過(guò)程開放，學(xué)生必須借助分類思想獲得滿足行或者列本應(yīng)存在的方程關(guān)系，在求解思維和判斷思維的幫助下，獲取問(wèn)題的解答方案，并可借助月歷驗(yàn)證其存在性；第二個(gè)活動(dòng)切入點(diǎn)開放，隨著設(shè)定未知數(shù)的視點(diǎn)不同，獲得的方程形式不同，但答案殊途同歸。能讓學(xué)生在操作的過(guò)程中自然生成用方程解決問(wèn)題的方法，解決了初始時(shí)不知道怎樣操作的問(wèn)題，這種豁然開朗的感受來(lái)自于學(xué)生的手邊，不是講授課堂背景下死記硬背的結(jié)果，因此想忘也難以忘記，在一定層面上助推了建模意識(shí)的形成。

創(chuàng)造與解釋：做一做

（1）你能根據(jù)上述游戲，再編一個(gè)你理解的游戲，列出方程并求解嗎？

（2）將上述操作中的某個(gè)數(shù)用字母表示，借助方程驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

【設(shè)計(jì)意圖】游戲的編制與解答能驗(yàn)證學(xué)生已經(jīng)內(nèi)化的方程建模的水準(zhǔn)，同時(shí)也能在嘗試操作和再編制的過(guò)程中糾正認(rèn)知偏差，縫合建模的空隙，熨平建模褶皺，豐富應(yīng)用方程的思想，創(chuàng)造性地提升方程的建模空間。“用字母表示數(shù)”，為方程的正確展現(xiàn)提供了必備的前提，將方程的解以及相關(guān)數(shù)據(jù)回歸月歷，能即時(shí)解釋結(jié)論的合理性，體現(xiàn)生活化的實(shí)證性，在一定層面上深化了方程的建模意識(shí)。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)游戲的理性思考

數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉、抽象為數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷模型的合理性驗(yàn)證，并用獲得模型的解答策略闡釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程。數(shù)學(xué)建模意識(shí)是把現(xiàn)實(shí)世界中有待解決或尚未解決的問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、理解問(wèn)題，借助練達(dá)和轉(zhuǎn)化的過(guò)程，將新問(wèn)題歸結(jié)于已經(jīng)解決或易于解決的問(wèn)題中，在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的幫助下獲取問(wèn)題解決方案的一種習(xí)慣化意念。

多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)顯示，大凡涉及應(yīng)用類問(wèn)題，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)總是底氣不足，有一種有意或無(wú)意的排斥感，這讓筆者在設(shè)計(jì)和執(zhí)教時(shí)常?！爸?jǐn)慎+小心”，會(huì)擔(dān)心學(xué)生那種毅然決然的排斥心理。尤其是初中階段首次直面實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，即“用一元一次方程解決問(wèn)題”的初始課，筆者更是百般注意，用全新的眼光審視現(xiàn)實(shí)的教學(xué)指向，設(shè)置符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和心理特征的“四組游戲+創(chuàng)造與解釋”，確定“月歷游戲”為學(xué)程的最大化學(xué)習(xí)載體，讓學(xué)生的思維在生趣的玩中不經(jīng)意間習(xí)得言語(yǔ)無(wú)法傳遞的建模意識(shí)，在正向和逆向的思維錘煉中獲得一種根深蒂固的建模思想。

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)游戲的穿插與行走，催生建模意識(shí)。

蘇科版教材七年級(jí)上冊(cè)“4.3用一元一次方程解決問(wèn)題”的內(nèi)容編排理念是以解決問(wèn)題的策略為主線，消解編排實(shí)際問(wèn)題類型的印跡。第一課時(shí)，用“月歷游戲”引動(dòng)方程，借助“桌子加工問(wèn)題”的解答過(guò)程，讓學(xué)生獲取用方程解決問(wèn)題的一般方法。教材的指向試圖讓學(xué)生在“閱題多數(shù)”中播種建模意識(shí)，考量效果甚微（從歷次考試的考情分析得到實(shí)證，試卷上應(yīng)用處皆留白）；筆者試圖改善這種低效學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀，融合教情、學(xué)情和人情，借助實(shí)物載體（月歷）設(shè)計(jì)了游戲一和游戲二（思維互逆），讓學(xué)生沒(méi)有壓力，自由自在地玩、輕輕松松地報(bào)數(shù)；借助實(shí)實(shí)在在的做、認(rèn)認(rèn)真真的觀察和分析，獲得摸不著的數(shù)感和一些特殊的數(shù)量關(guān)系，能為方程的建立提供必備的解設(shè)前提，否則用同一字母正確表示關(guān)聯(lián)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系就成了無(wú)源之水、無(wú)本之木。而這些真切感受的獲取不是膚淺地觸及素材、走過(guò)問(wèn)題、簡(jiǎn)單說(shuō)教就能實(shí)現(xiàn)的；數(shù)感的真正發(fā)展不是教師的理解和體悟能取代的。因此，實(shí)驗(yàn)游戲的穿插與行走能催生學(xué)生的建模意識(shí)。

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)游戲的延展與演繹，內(nèi)生建模意識(shí)。

在學(xué)生“玩數(shù)”和“圈數(shù)”的基礎(chǔ)上，學(xué)生習(xí)得月歷上相鄰各數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。筆者試圖將學(xué)生的現(xiàn)有“數(shù)感”引向“式感”鏈接方程，為方程的著床與發(fā)育提供必要的幫助。將原有的“月歷游戲”情境進(jìn)行了理性延展和知性加厚，創(chuàng)設(shè)了游戲三和游戲四。讓學(xué)生在同一載體下接受不同角度和不同層面的思維打磨，經(jīng)歷無(wú)序的而又滿足條件的圈數(shù)過(guò)程，借助已經(jīng)內(nèi)生的數(shù)量關(guān)系，在計(jì)算的幫助下和范例流程的指向下（課前學(xué)生預(yù)學(xué)課本，獲得方程應(yīng)用的初始能力），獲取個(gè)體解答方案。大部分學(xué)生是借助方程獲取老師希望的答案，理應(yīng)即時(shí)張揚(yáng)和表?yè)P(yáng)，因?yàn)檫@是知識(shí)的正向生長(zhǎng)和學(xué)力的螺旋上升；依然有少部分學(xué)生借用“數(shù)量之間的關(guān)系+算術(shù)的方法”，獲取特殊個(gè)體的正確答案，也應(yīng)給予認(rèn)可，這是對(duì)學(xué)生的理解，也是對(duì)生出知識(shí)的尊重，更是踐行課標(biāo)的實(shí)際表現(xiàn)（不同的人在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展），同時(shí)也要指出此處的方程“小用”將成為知識(shí)譜系中的“大用”（有些問(wèn)題算術(shù)方法是無(wú)能為力的，而方程卻能得心應(yīng)手），因此，采用方程的方法更優(yōu)越、更前瞻、更理性。在具體操作的過(guò)程中，筆者讓學(xué)生交流研討各組的思考過(guò)程，提煉方程解答問(wèn)題的一般方法。讓學(xué)生從特殊入手，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化和代數(shù)化”的過(guò)程，漸次靠近“方程化”，方程意識(shí)自然萌動(dòng)、生根、發(fā)芽和拔節(jié)，終歸于期待的開花與結(jié)果，方程思想在“做”中和“俯身拉車”中自然“胎生”，又在“抬頭看路”中自然凝練，終歸于問(wèn)題解決的一般習(xí)慣（通向通法）。因此，模型意識(shí)的內(nèi)生源于實(shí)驗(yàn)游戲的延展與演繹，絕不是“走讀生”（聽眾）能真正獲得的內(nèi)力。

3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)游戲的尋繹和釋繹，衍生建模意識(shí)。

“創(chuàng)造與解釋”這一模塊的呈現(xiàn)是游戲的繼續(xù)與尋繹，簡(jiǎn)短的兩行卻蘊(yùn)含著、傳遞著大量的豐富的方程信息，為學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供廣闊的探索時(shí)空。正如劉良華教授指出的游戲的基本秘密：其一，游戲讓所有參與游戲的人忘記自己在做游戲；其二，游戲永遠(yuǎn)讓人生活在希望中；其三，游戲總是為游戲者提供及時(shí)的反饋與矯正。筆者試圖追求這種傳統(tǒng)課永遠(yuǎn)也無(wú)法達(dá)到的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的休閑境界，增補(bǔ)了“創(chuàng)造與解釋欄”，割舍了“桌面加工項(xiàng)”，讓學(xué)生在反反復(fù)復(fù)把玩月歷的過(guò)程中，獲得方程模型意識(shí)的衍生和外溢。游戲的再編制，為學(xué)生提供廣袤的思考時(shí)空，每個(gè)生命個(gè)體都能在能力范圍內(nèi)和喜好層面上編制自己理解的游戲（可以是“T”型、“H”型、“Y”型等）。在編制與作答的過(guò)程中不經(jīng)意間經(jīng)歷了思維的雙磨練（正向與反向），加深了方程應(yīng)用版式的印跡，獲得了終身受用的方程思想?；赝麄€(gè)探索旅途，再度自我選擇“用字母表示數(shù)”的提升點(diǎn)，能補(bǔ)位活動(dòng)中初始能力夠不到的問(wèn)題或因時(shí)空所限引起思維留白的問(wèn)題，經(jīng)歷多層面的交互和思辨以及質(zhì)疑，讓建模意識(shí)完滿生長(zhǎng)，成為生命永遠(yuǎn)的經(jīng)歷和終身難忘的記憶。這些本質(zhì)性的模型意識(shí)的揭示和衍生，完全仰賴于游戲的尋繹和釋繹，是傳統(tǒng)課遙不可及的，也是“桌面加工項(xiàng)”不能帶來(lái)的理解福音。

三、后續(xù)的思考

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)游戲的穿插與鑲嵌是改善數(shù)學(xué)課堂“假性生成”現(xiàn)狀的一劑良藥，能讓學(xué)生的興趣外溢、思維著陸、知識(shí)通透、學(xué)力豐長(zhǎng)；游戲的行走源于模型意識(shí)，發(fā)端于學(xué)習(xí)需要，歸宿于人本理念。追求實(shí)效課堂是個(gè)永無(wú)止境的研究話題。值得注意的是，教學(xué)中，一般不可急于求成，尤其在前兩個(gè)游戲活動(dòng)中，最好不要過(guò)早地引入字母表示，應(yīng)僅限于具體的數(shù)的思考，到游戲三、四再引導(dǎo)學(xué)生用字母來(lái)表示，讓學(xué)生經(jīng)歷從“數(shù)”到“式”的過(guò)程，也即經(jīng)歷模型思想的建立過(guò)程，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。這里建立和求解模型的過(guò)程主要是借助月歷這一現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義，切實(shí)讓學(xué)生體會(huì)到用方程解決問(wèn)題的優(yōu)越性。

注：本文為全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2012年度單位資助課題——初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與實(shí)施策略研究（FHB120483）的階段性成果之一。

（作者單位：江蘇省連云港市教育科學(xué)研究所， 江蘇省連云港市幸福路中學(xué)）