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    “0”與“1”的妙用

    2013-04-29 11:02:15寇海燕
    新課程·上旬 2013年5期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)式妙用式子

    寇海燕

    摘 要:“0”與“1”是日常生活中最常見的兩個數(shù)字,但在數(shù)學(xué)運算中,若能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用,就能起到事半功倍的效果.

    關(guān)鍵詞:“0”;“1”;妙用

    “0”與“1”是我們在日常生活中最常見的兩個數(shù)字,很是一般,但在數(shù)學(xué)運算中,若能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用,就能起到事半功倍的效果。例如,求條件代數(shù)式的值,是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種常見的題型,一般從已知式中不能確定代數(shù)式中字母的值,或雖確定,但計算繁冗,這時若讓“0”或“1”出場,問題就會迅速求解;又如,在學(xué)習(xí)三角函數(shù)這一部分內(nèi)容的時候,我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)把“1”用一些三角函數(shù)代換,問題就會迎刃而解.下面我就自己在教學(xué)中,利用“0”與“1”進行解題的體會結(jié)合具體實例,與大家共同探討.

    一、將“0”值代數(shù)式或已知式構(gòu)成一個“0”值代數(shù)式,再將所求式分離出含有“0”值的代數(shù)式,然后代入求值

    例1.已知x2+3x-1=0,求x5+3x4-3x3-6x2+2x+8的值.

    解:∵x2+3x-1=0,∴x5+3x4-3x3-6x2+2x+8

    =x3(x2+3x-1)-2x(x2+3x-1)+8=8.

    例2.已知x=■-1,求x3+2x2-9x-5的值.

    解:由已知得x+1=■,兩邊平方,整理得x2+2x-9=0,

    ∴x3+2x2-9x-5=x(x2+2x-9)-5=-5

    例3.已知二次函數(shù)y=x2-2011x+2013圖象與x軸的交點是(a,0)、(b,0),求(a2-2012a+2013)(b2-2012b+2013)的值.

    解:由題意得a2-2011a+2013=0,b2-2011b+2013=0.且當(dāng)y=0時,由根與系數(shù)的關(guān)系,得ab=2013.

    ∴(a2-2012a+2013)(b2-2012b+2013)

    = [(a2-2011a+2013)-a][(b2-2011b+2013)-b ]=(-a)(-b)=ab=2013.

    二、將題目中的“1”用適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示或構(gòu)造一個值為“1”的代數(shù)式來解決問題

    例4.若n滿足(2009-n)2+(n-2008)2=1,求(2009-n)(n-2008)的值.

    解:∵(2009-n)+(n-2008)=1,∴[(2009-n)+(n-2008)]2=1,

    (2009-n)2+2(2009-n)(n-2008)+(n-2008)2=1.

    由已知條件(2009-n)2+(n-2008)2=1,得2(2009-n)(n-2008)=0.

    即(2009-n)(n-2008)=0.

    例5.求cos■cos■cos■的值.

    解:∵■=1,∴cos■cos■cos■=■ =■=■=■=■=-■.

    三、把某一式子看作分母為“1”的式子,再將1=sin2θ+cos2θ代入,根據(jù)題目要解決的要求進行運算

    例6.已知tanθ=2,求sin2θ-sinθcosθ+2的值.

    解:sin2θ-sinθcosθ+2=■

    =■=■

    =■=■=■.

    四、利用1=tan45°同時借助正切公式tan(α+β)=■解決問題

    例7.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan45°)的值.

    解:∵1=tan45°,∴1+tan45°=2.

    再令θ+φ=45°,則1=tan45°=tan(θ+φ)=■,

    ∴tanθ+tanφ+tanθtanφ=1,則(1+tanθ)(1+tanφ)=2,

    于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=…=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.

    ∴原式=222·2=223.

    總之,以上各例都有多種解法,但利用“0”或“1”代換較為簡捷.

    (作者單位 甘肅省渭源職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校)

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