“0”與“1”的妙用

寇海燕

摘 要：“0”與“1”是日常生活中最常見的兩個數(shù)字，但在數(shù)學(xué)運算中，若能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用，就能起到事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞：“0”；“1”；妙用

“0”與“1”是我們在日常生活中最常見的兩個數(shù)字，很是一般，但在數(shù)學(xué)運算中，若能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用，就能起到事半功倍的效果。例如，求條件代數(shù)式的值，是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種常見的題型，一般從已知式中不能確定代數(shù)式中字母的值，或雖確定，但計算繁冗，這時若讓“0”或“1”出場，問題就會迅速求解；又如，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)這一部分內(nèi)容的時候，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)把“1”用一些三角函數(shù)代換，問題就會迎刃而解.下面我就自己在教學(xué)中，利用“0”與“1”進行解題的體會結(jié)合具體實例，與大家共同探討.

一、將“0”值代數(shù)式或已知式構(gòu)成一個“0”值代數(shù)式，再將所求式分離出含有“0”值的代數(shù)式，然后代入求值

例1.已知x2+3x-1=0，求x5+3x4-3x3-6x2+2x+8的值.

解：∵x2+3x-1=0，∴x5+3x4-3x3-6x2+2x+8

=x3（x2+3x-1）-2x（x2+3x-1）+8=8.

例2.已知x=■-1，求x3+2x2-9x-5的值.

解：由已知得x+1=■，兩邊平方，整理得x2+2x-9=0，

∴x3+2x2-9x-5=x（x2+2x-9）-5=-5

例3.已知二次函數(shù)y=x2-2011x+2013圖象與x軸的交點是（a，0）、（b，0），求（a2-2012a+2013）（b2-2012b+2013）的值.

解：由題意得a2-2011a+2013=0，b2-2011b+2013=0.且當(dāng)y=0時，由根與系數(shù)的關(guān)系，得ab=2013.

∴（a2-2012a+2013）（b2-2012b+2013）

= [（a2-2011a+2013）-a][（b2-2011b+2013）-b ]=（-a）（-b）=ab=2013.

二、將題目中的“1”用適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示或構(gòu)造一個值為“1”的代數(shù)式來解決問題

例4.若n滿足（2009-n）2+（n-2008）2=1，求（2009-n）（n-2008）的值.

解：∵（2009-n）+（n-2008）=1，∴[（2009-n）+（n-2008）]2=1，

（2009-n）2+2（2009-n）（n-2008）+（n-2008）2=1.

由已知條件（2009-n）2+（n-2008）2=1，得2（2009-n）（n-2008）=0.

即（2009-n）（n-2008）=0.

例5.求cos■cos■cos■的值.

解：∵■=1，∴cos■cos■cos■=■ =■=■=■=■=-■.

三、把某一式子看作分母為“1”的式子，再將1=sin2θ+cos2θ代入，根據(jù)題目要解決的要求進行運算

例6.已知tanθ=2，求sin2θ-sinθcosθ+2的值.

解：sin2θ-sinθcosθ+2=■

=■=■

=■=■=■.

四、利用1=tan45°同時借助正切公式tan（α+β）=■解決問題

例7.求（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan45°）的值.

解：∵1=tan45°，∴1+tan45°=2.

再令θ+φ=45°，則1=tan45°=tan（θ+φ）=■，

∴tanθ+tanφ+tanθtanφ=1，則（1+tanθ）（1+tanφ）=2，

于是（1+tan1°）（1+tan44°）=（1+tan2°）（1+tan43°）=…=（1+tan22°）（1+tan23°）=2.

∴原式=222·2=223.

總之，以上各例都有多種解法，但利用“0”或“1”代換較為簡捷.

（作者單位 甘肅省渭源職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校）