直線的“對(duì)稱問(wèn)題”

宋玉芳

摘 要：重點(diǎn)講述直線相關(guān)的四種對(duì)稱.

關(guān)鍵詞：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題；直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題；直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題

對(duì)稱問(wèn)題是直線部分的重要內(nèi)容。它既是前面學(xué)過(guò)的任意點(diǎn)關(guān)于特殊線（坐標(biāo)軸或象限的角平分線）的對(duì)稱問(wèn)題的延伸，也是今后學(xué)習(xí)曲線對(duì)稱問(wèn)題的基礎(chǔ)。在這里我將舉例說(shuō)明。

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題

例1.已知A（2，4），B（6，6），試求A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo).

分析：設(shè)C（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得C（10，8）.

二、直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題

求直線l1關(guān)于點(diǎn)P（x，y）的對(duì)稱直線.

解法一：在l1上任取兩點(diǎn)A，B.分別求A，B關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn) A′，B′，由兩點(diǎn)式得直線l2方程.

解法二（相關(guān)點(diǎn)法）：在直線l2上任取一點(diǎn)M（x，y），求點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).并把對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)帶入l1方程，即得直線l2方程.

例2.求直線3x-y-4=0關(guān)于點(diǎn)P（1，-1）的對(duì)稱直線L的方程.

解：設(shè)直線L上任意點(diǎn)M（x，y），點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)（2-x，-2-y）在直線3x-y-4=0上.

所以，3（2-x）-（-2-y）-4=0.

即3x-y-4=0.

所求直線L的方程為3x-y-4=0.

三、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題

分析：求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，主要利用垂直平分線的性質(zhì).

例3.求點(diǎn)A（2，2）關(guān)于直線2x-4y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)A′（a，b）坐標(biāo).

解：因?yàn)锳A′的中點(diǎn)M在直線上，且AA′與直線垂直.解方程組得a=1，b=4.

所以A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）.

四、直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題

求直線l1關(guān)于直線l2的對(duì)稱直線l3 .

相關(guān)點(diǎn)法：在直線l3上任取一點(diǎn)A（x，y），求出點(diǎn)A關(guān)于直線 l2的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，并將其代入直線l1方程，就得到了直線l3的方程。

例4.求直線2x-y+3=0關(guān)于直線3x-y+2=0的對(duì)稱直線方程.

解：解方程組2x-y+3=0 3x-y+2=0得x=1y=5

利用到角公式求直線斜率得k=■.

所以直線方程為11x-2y-1=0.

（作者單位 河南省濮陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)）