對(duì)幾何概率的一點(diǎn)補(bǔ)充

彭國(guó)勇

摘 要：高中教材自改革以來(lái)，反映良好，其中主要一個(gè)方面就是更體現(xiàn)以學(xué)生為主體，更有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生的思維和潛能.幾何概率作為新加的內(nèi)容，就很好地印證了這一點(diǎn).為學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)開(kāi)拓了廣闊的空間.

關(guān)鍵詞：幾何概率；貝特朗問(wèn)題；不同角度

由于幾何概率被引入了高中教材，因此掌握一些基本的方法來(lái)構(gòu)建幾何概率的平面區(qū)域至關(guān)重要，此外，對(duì)師生的視野拓展也有裨益，但是，對(duì)有些幾何概率問(wèn)題，會(huì)出現(xiàn)意想不到的矛盾.例如：

問(wèn)題：在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上取一點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率.

分析1：點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB為試驗(yàn)所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域.如圖1，當(dāng)點(diǎn)M位于線段AC′上時(shí)，AM

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圖1 圖2

∴在AB上截取AC′=AC

∴P（AM

分析2：過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線，射線交AB于點(diǎn)M，則CM在∠ACB內(nèi)是等可能分布的，如圖2.

∴∠ACC′=■=■π

∴P（AM

由以上分析1與分析2看出，從不同的角度出發(fā)，所得出的結(jié)果就會(huì)不同，這是幾何概率中一個(gè)很有趣的問(wèn)題——貝特朗悖論.

（貝特朗問(wèn)題）：在圓內(nèi)任作一弦，其長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？

解：取單位圓O，其內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)是■，取圓O的任一弦AB，記“AB>■”的事件為A.

方法1：如圖3，作垂直于AB的直徑PQ，分別以P、Q為頂點(diǎn)作圓的內(nèi)接等邊三角形，這兩個(gè)三角形的邊與PQ交于M、N，當(dāng)AB與PQ的交點(diǎn)位于MN上時(shí)，AB>■；由于MN=■PQ，故P（A）=■.

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圖3 圖4

方法2：如圖4，連接AO，在AO兩側(cè)作∠MAO=∠NAO=30°，交圓O于M、N，當(dāng)B點(diǎn)落在∠MAO所夾弧MN上時(shí)，AB>■，

弧MN的長(zhǎng)度是圓周長(zhǎng)的■，故P（A）=■.

方法3：如圖5，在圓O內(nèi)任取一點(diǎn)M，若OM<■，則以M為中點(diǎn)的弦AB>■，故M點(diǎn)在以O(shè)為圓心，■為半徑的圓內(nèi)，而小圓的面積是大圓面積的■，故P（A）=■.

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圖5 圖6

方法4：如圖6，過(guò)A作直徑AD，在AD上取一點(diǎn)M，使AM=■，對(duì)于任一弦AB，在AD上取AB′=AB，當(dāng)B′落在MD上時(shí)，AB>■，由于MD=2-■，故P（A）=■.

以上問(wèn)題就是貝特朗問(wèn)題，它在1933年由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蚪鉀Q，他建立了在測(cè)度論基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng).有興趣的讀者可參閱高等教育出版社1984年版的高等學(xué)校試用教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》一書(shū)，作者周樹(shù)容.

（作者單位 江西省吉安縣第二中學(xué)）