試論高三數(shù)學恒成立問題的解法
2013-04-29 04:31:25阿依夏木古麗·夏爾皮
都市家教·下半月 2013年6期
阿依夏木古麗·夏爾皮
【摘 要】高三數(shù)學中的恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；⑤直接根據(jù)函數(shù)的圖象。
【關(guān)鍵詞】高三數(shù)學；恒成立；解題過程
一、一次函數(shù)型
給定一次函數(shù)y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]內(nèi)恒有f（x）>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價于
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同理，若在[m，n]內(nèi)恒有f（x）<0，則有
例1：對于滿足|p|≤2的所有實數(shù)p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。
分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及P，關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[-2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。
解略
二、二次函數(shù)型
若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，則有
若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數(shù)的分布知識求解。
例2：設f（x）=x2-2ax+2，當x∈[-1，+∞）時，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍。
分析：題目中要證明f（x）≥a恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[-1，+∞）時恒大于0的問題。
解：設F（x）= f（x）-a=x2-2ax+2-a.
?。┊敠?4（a-1）（a+2）<0時，即-2 ⅱ）當Δ=4（a-1）（a+2）≥0時由圖可得以下充要條件： 即得-3≤a≤-2； 綜合可得a的取值范圍為[-3，1]。 三、變量分離型 若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。 例3：已知當x∈R時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。 分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（x∈R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。 解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5 要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值問題。 f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3， ∴-a+5>3即>a+2 上式等價于 或 解得a<8. 注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx換元成t，則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。 另解：a+cos2x<5-4sinx+即 a+1-2sin2x<5-4sinx+，令sinx=t，則t∈[-1，1]， 整理得2t2-4t+4-a+>0，（ t∈[-1，1]）恒成立。 設f（t）= 2t2-4t+4-a+則二次函數(shù)的對稱軸為t=1， ∴f（x）在[-1，1]內(nèi)單調(diào)遞減。 ∴只需f（1）>0，即>a-2.（下同） 四、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì) 若函數(shù)f（x）是奇（偶）函數(shù)，則對一切定義域中的x ，f（-x）=-f（x） （f（-x）=f（x））恒成立；若函數(shù)y=f（x）的周期為T，則對一切定義域中的x，f（x）=f（x+T）恒成立。 例4：若f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）為偶函數(shù)，求α的值。 分析：告訴我們偶函數(shù)的條件，即相當于告訴我們一個恒成立問題。 解：由題得：f（-x）=f（x）對一切x∈R恒成立， ∴sin（-x+α）+cos（-x-α）=sin（x+α）+cos（x-α） 即sin（x+α）+sin（x-α）=cos（x+α）-cos（x-α） 2sinx·cosα=-2sinx·sinα ∴sinx（sinα+cosα）=0 ∵對一切x∈R恒成立，∴只需也必須sinα+cosα=0。 ∴α=k.（k∈Z） 五、直接根據(jù)圖象判斷 若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。 例5：當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2 分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。 解：設y1=（x-1）2，y2=logax，則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），y1 故loga2>1，a>1，∴1
