初中幾何分類討論解題的誘發(fā)因素

韋玉

分類討論是初中數(shù)學(xué)常用的重要思想方法，解答的關(guān)鍵在于正確認(rèn)識問題中的誘發(fā)因素，從而進(jìn)行正確的分類解答.引起分類討論的原因多種多樣，本文以一些幾何探究型題目為例，探討引發(fā)分類討論的若干因素.

一、所涉及的點(diǎn)的位置不確定

【例2】 如圖2，已知以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC邊于點(diǎn)E.

（1）求證：EB=EC=ED；

（2）試問在線段DC上是否存在點(diǎn)F，滿足BC2=4DF·DC.若存在，作出點(diǎn)F，并予以證明；若不存在，請說明理由.

解析：（1）連結(jié)BD、OE，易證EB=EC=ED.

（2）在△DEC中，由于ED=EC，因此∠C=∠CDE.

由三角形內(nèi)角和定理，有∠DEC=180°-2∠C.

據(jù)題意可知∠DEC的大小不確定，點(diǎn)F所在的位置也就無法確定，故需對∠DEC加以分類討論，才能解決這一問題.

①當(dāng)∠DEC>∠C時，有180°-2∠C>∠C，即當(dāng)0°<∠C<60°時，在線段DC上存在點(diǎn)F滿足條件.在∠DEC內(nèi)，以ED為一邊，作∠DEF，使∠DEF=∠C，且EF交DC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求.這是因?yàn)橛伞螩DE=∠EDF，∠C=∠DEF，則有△DEF∽△DCE，DE2=DF·DC，即（12BC ）2=DF·DC，因此BC2=4DF·DC.

②當(dāng)∠DEC=∠C時，即∠DEC=∠C=60°，此時C點(diǎn)即為滿足條件的F點(diǎn)，于是DF=DC=DE，仍有BC2=4DF·DC.

③當(dāng)∠DEC<∠C時，即60°<∠C<90°，所作的∠DEF>∠DEC，此時點(diǎn)F在DC的延長線上，故線段DC上不存在滿足條件的點(diǎn)F.

三、所涉及的等腰三角形的底邊不確定

【例3】 已知二次函數(shù)y=12x2-x+m的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，6），并與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊），P為它的頂點(diǎn).

（1）試確定m的值；

（2）設(shè)點(diǎn)D為線段OC上的一點(diǎn)，且滿足∠DPC=∠BAC，求直線AD的解析式；

（3）在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)M，使△PCM為等腰三角形.若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

所以，當(dāng)t=1.2秒或3秒時，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

通過分類討論，便于對各種錯綜復(fù)雜的情況完整清晰地進(jìn)行討論和研究，有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，有助于學(xué)生思維能力的培養(yǎng).由于分類討論題具有明顯的邏輯性、綜合性和探索性，體現(xiàn)了“考查數(shù)學(xué)能力的要求”，所以在中考中有重要的位置.因此教師必須有意識地給予引導(dǎo)，使學(xué)生能正確認(rèn)識分類討論的誘發(fā)因素，確定問題的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而正確地進(jìn)行分類討論.

（責(zé)任編輯 金 鈴）