古典概型與幾何概型辨析

蘇教版必修3第三章講了《概率》，包括古典概型與幾何概型，這兩種概型的共同點(diǎn)是在隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件發(fā)生是等可能的．可它們又是兩種不同的概型，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)常常把這兩種概型混淆，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．這兩種概型的區(qū)別到底在哪兒，我們又該如何區(qū)分這兩種概型，對(duì)這兩種概型如何求解？通過(guò)本文的分析，希望對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)．

一、古典概型與幾何概型的區(qū)別

例1 （1）在區(qū)間［0，10］上任意取一個(gè)整數(shù)x，則x不大于3的概率為_(kāi)____________；

（2）在區(qū)間［0，10］上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則x不大于3的概率為_(kāi)____________．

分析：本題中，問(wèn)題1因?yàn)榭偟幕臼录牵?，10］內(nèi)的全部整數(shù)，所以基本事件總數(shù)為有限個(gè)11，而不大于3的基本事件有4個(gè)，此問(wèn)題屬于古典概型，所以所求概率為411．問(wèn)題2中，因?yàn)榭偟幕臼录牵?，10］內(nèi)的全部實(shí)數(shù)，所以基本事件總數(shù)為無(wú)限個(gè)，此問(wèn)題屬于幾何概型，事件對(duì)應(yīng)的測(cè)度為區(qū)間的長(zhǎng)度，總的基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)間［0，10］長(zhǎng)度為10，而事件“不大于3”對(duì)應(yīng)區(qū)間［0，3］長(zhǎng)度為3，所以所求概率為310．

小結(jié)：1．此題中的兩個(gè)問(wèn)題，每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生的，但是問(wèn)題1中的總基本事件是有限個(gè)，屬于古典概型；而問(wèn)題2中的總基本事件是無(wú)限個(gè)，屬于幾何概型.故在實(shí)際解決問(wèn)題中，關(guān)鍵要正確區(qū)分古典概型與幾何概型．

古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的，事件是可以數(shù)出個(gè)數(shù)的；而幾何概型中基本事件是無(wú)限的，事件是不可以數(shù)出有多少個(gè)的，這是這兩種概型的本質(zhì)區(qū)別．

2．兩種概型的概率公式．

古典概型的概率公式：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果都是等可能的，如果事件A包含m個(gè)結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=mn；幾何概型的概率公式：

P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（長(zhǎng)度或面積或體積或角度等）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（長(zhǎng)度或面積或體積或角度等）．

例2 判斷下列概率問(wèn)題中哪些屬于古典概型哪些屬于幾何概型：

（1）從一批產(chǎn)品中抽取30件進(jìn)行檢查，有5件次品，求正品的概率；

（2）隨機(jī)地向四方格里投擲硬幣50次，統(tǒng)計(jì)硬幣正面朝上的概率．

（3）箭靶的直徑為1m，其中，靶心的直徑只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率為多少？

（4）甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)才可離去，求兩人能會(huì)面的概率．

對(duì)比古典概型和幾何概型的特點(diǎn)，判斷得（1）、（2）屬于古典概型；（3）、（4）屬于幾何概型．

二、古典概型注意點(diǎn)

1．注意 “非等可能”與“等可能”

例3 擲兩枚骰子，求事件A為出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于3的概率．

錯(cuò)解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的可能數(shù)值為{2，3，4，…，12}，屬于事件A的結(jié)果只有3，故P（A）=111．

分析：公式P（A）=屬于事件A的基本事件數(shù)基本事件的總數(shù)

僅當(dāng)所述的試驗(yàn)結(jié)果是等可能時(shí)才成立，而取數(shù)值2和3不是等可能的，2只有這種情況（1，1）才出現(xiàn)，而3有兩種情況（1，2），（2，1）可出現(xiàn)，其它的情況可類(lèi)推．

正確答案 擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的情況：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），結(jié)果總數(shù)為6×6=36．

在這些結(jié)果中，事件A的含有兩種結(jié)果（1，2），（2，1）．

∴P（A）＝236=118．

2．注意“可辯認(rèn)”與“不可辨認(rèn)”

例4 將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)編號(hào)的盒子中去（每個(gè)盒子容納球的個(gè)數(shù)不限），求事件A：“某指定的n個(gè)盒子中恰好各有一球的概率”．

錯(cuò)解：將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)編號(hào)的盒子中，所有可能的結(jié)果數(shù)為Nn，而事件A含有n！種結(jié)果．

所以P（A）=n！Nn

分析：這種解法不全面，如果球是編號(hào)的（即可辨認(rèn)的），則答案是對(duì)的；若球是不可辯認(rèn)的，則答案完全錯(cuò)了．因?yàn)榍蚴遣豢赊q認(rèn)的，故只考慮盒子中球的個(gè)數(shù)，不考慮放的是哪幾個(gè)球．我們?cè)诖擞梅?hào)“□”表示一個(gè)盒子，“○”表示球，先將盒子按號(hào)碼排列起來(lái)

這樣的N個(gè)盒子由N+1個(gè)“|”構(gòu)成，然后把n個(gè)球任意放入N個(gè)盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在這樣的放法中，符號(hào)“|”和“○”共占有：N+1+n個(gè)位置，在這N+1+n個(gè)位置中，開(kāi)始和末了的位置上必須是“|”，其余的N+n-1個(gè)位置上“|”和“○”可以任意次序排列．則N-1個(gè)“1”和n個(gè)“○”在中間的N+n-1個(gè)位置上的可以區(qū)別的所有可能結(jié)果數(shù)是，將n個(gè)不可辨認(rèn)的球放入指定的n個(gè)盒子，使每盒恰有一球的放法只有1種，故事件A含1個(gè)結(jié)果，從而

P（A）=1CnN+n-1=n?。∟-1）?。∟+n-1）！.

正解：分兩種情況：

（1）當(dāng)球是可辯認(rèn)的，則P（A）=n！Nn；

（2）當(dāng)球是不可辨認(rèn)的，則P（A）=n?。∟-1）?。∟+n-1）?。?/p>

三、幾何概型中注意點(diǎn)

解幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分清幾何概型的測(cè)度．

例5 （1）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求∠CAM<30°的概率．

（2）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB內(nèi)作射線(xiàn)交線(xiàn)段BC于點(diǎn)M，求∠CAM<30°的概率．

分析：此題組中的兩個(gè)問(wèn)題，很顯然都是幾何概型的問(wèn)題，但是考察的測(cè)度不一樣．問(wèn)題1的測(cè)度定性為線(xiàn)段長(zhǎng)度，當(dāng)∠CAM0=30°時(shí)，CM0=33AC=33CB，符合條件的點(diǎn)M等可能的分布在線(xiàn)段CM0上，所以所求概率等于CM0CB=33．而問(wèn)題2的測(cè)度定性為角度，過(guò)點(diǎn)A作射線(xiàn)與線(xiàn)段CB相交，這樣的射線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，均勻分布在∠CAB內(nèi)，∠CAB=45°，所以所求概率等于∠CAM0∠CAB=30°45°=23．

此題中的兩個(gè)問(wèn)題都是幾何概型的問(wèn)題，但是選取的測(cè)度不一樣，在解決時(shí)考察和計(jì)算的結(jié)果也不一致．可見(jiàn)在解決幾何概型問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真審題，分清問(wèn)題考察的測(cè)度，從而正確解決問(wèn)題．

例6 某人午睡醒后，發(fā)現(xiàn)表停了，于是打開(kāi)收音機(jī)等候整點(diǎn)報(bào)時(shí)，那么等待時(shí)間不多于10分鐘的概率是多大？

解析：①這是什么概型，為什么？

②借助什么樣的幾何圖形來(lái)表示隨機(jī)事件與所有基本事件？（圓或線(xiàn)段）

③該如何建立數(shù)學(xué)模型？

解：設(shè)A=“等待時(shí)間不超過(guò)10分鐘”，則P（A）=CBAB=60－5060=16或P（A）=S扇形1S圓=16

（2）某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率．

分析：某人醒來(lái)在整點(diǎn)間即60分鐘是隨機(jī)的，等待的時(shí)間不多于10分鐘可以看作構(gòu)成事件的區(qū)域，整點(diǎn)即60分鐘可以看作所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，因此本題的變量可以看作是時(shí)間的長(zhǎng)度，于是可以通過(guò)長(zhǎng)度比公式計(jì)算其概率．

可設(shè)“等待的時(shí)間不多于10分鐘”這一事件記作事件A，則

P（A）=等待的時(shí)間不多于10分鐘時(shí)間長(zhǎng)度所有在60分鐘里醒來(lái)的時(shí)間長(zhǎng)度＝1060=16；

顯然這是一個(gè)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，學(xué)生也易于理解．

問(wèn)題拓展：某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，則表停的分鐘數(shù)和實(shí)際分鐘數(shù)差異不超過(guò)5分鐘的概率為多少？

分析：本題的特點(diǎn)在于學(xué)生易犯固定思維的錯(cuò)誤，習(xí)慣性的用上題中的時(shí)間長(zhǎng)度之比來(lái)解決，得到錯(cuò)誤的答案560=112．學(xué)生錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有科學(xué)的認(rèn)識(shí)題中的變量．本題中包含了兩個(gè)變量，一個(gè)是手表停的分鐘數(shù)，可以在［0，60］內(nèi)的任意時(shí)刻，另一個(gè)變量是實(shí)際分鐘數(shù)，也可以在［0，60］內(nèi)的任意時(shí)刻．所以本題的解決應(yīng)以x軸和y軸分別表示手表停的分鐘數(shù)和實(shí)際分鐘數(shù)，那么差異不超過(guò)5分鐘的充要條件是|x－y|≤5，從而可以繪制坐標(biāo)軸，數(shù)形結(jié)

合，得到結(jié)果．

由于（x，y）的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為60的正方形，差異不超過(guò)5分鐘由圖中陰影部分所表示，記“差異不超過(guò)5分鐘”為事件A

因此，差異不超過(guò)5分鐘的概率P（A）=602－552602=23144．

總之，如何解決概率問(wèn)題，得首先分清是古典概型與幾何概型，然后再用相應(yīng)的方法來(lái)解題，關(guān)注解決兩種概型的一些注意點(diǎn)．

（作者：汪云霞，如皋市第二中學(xué)）