概率與統(tǒng)計中的常見錯誤分析

很多同學們在剛剛學習概率統(tǒng)計時，由于對有些概念理解不清，有關思想方法靈活運用不夠或與其它知識聯(lián)系不到位，解題時常出現(xiàn)錯誤．現(xiàn)分析幾種常見錯誤供大家參考．

一、基本概念理解不深刻導致概念性錯誤

概率與統(tǒng)計試題主要考查基本概念和基本公式，如等可能性事件的概率；互斥事件的概率；獨立事件的概率；事件在n次獨立重復試驗中恰發(fā)生k次的概率及離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等．其中容易混淆的概念主要有以下幾個：

1．“非等可能”與“等可能”

例1 擲兩枚骰子，求所得的點數(shù)之和為6的概率．

錯解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和2，3，4，…，12共11種基本事件，所以概率為P=111．

分析：以上11種基本事件并不是等可能的，如點數(shù)和為2的只有（1，1），而點數(shù)和為6的有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5種．事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點數(shù)之和為6”的概率為P=536．

正解：擲兩枚骰子共有36種等可能的基本事件，而點數(shù)和為6的有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5種，所以“所得點數(shù)之和為6”的概率為P=536．

2．“互斥”與“對立”

例2 把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是：

A．對立事件_____________ B．不可能事件

C．互斥但不對立事件 D．以上均不對

錯解：A

分析：本題錯誤在于把“互斥”與“對立”混同，要準確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別：（1）兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；（2）互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；（3）兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生．

正解：事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發(fā)生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發(fā)生，也可能兩個都不發(fā)生，所以應選C．

3．“互斥”與“獨立”

例3 甲投籃命中率為80％，乙投籃命中率為70％，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？

錯解：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B， 則所求事件為A+B，P（A+B）=P（A）+P（B）

分析：本題錯誤原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當成了互斥事件．

正解：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨立，則兩人都恰好投中兩次為事件A·B，于是P（A·B）=P（A）×P（B）=0.169．

4．“條件概率”與“積事件的概率”

例4 袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率．

錯解：記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，”第二次才取到黃球”為事件C，所以P（C）=P（B|A）=23．

分析：本題錯誤在于P（B|A）與P（A×B）的含義沒有弄清， P（A×B）表示在樣本空間S中，A與B同時發(fā)生的概率；而P（B|A）表示在縮減的樣本空間SA中，作為條件的A已經發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率．

正解：P（C）=P（A×B）=P（A）×P（B|A）=410×69=415．

二、數(shù)學思想方法運用不靈活導致錯誤

概率是《新課程標準》 引入后的內容，在高中教學中，它以融入大量的數(shù)學思想方法著稱，如分類討論、等價轉化思想、整體思想、數(shù)形結合、數(shù)學建模思想等，因此熟練應用常見的數(shù)學思想方法是很有必要的．

1．數(shù)形結合思想

例4 如果事件A，B互斥，那么（ ）

A． A+B是必然事件 B． A+B是必然事件

C． A與B一定不互斥 D． A與B一定互斥

分析：互斥，對立，必然，獨立，這些概念一直都是學生容易混淆的，面對抽象的字母，我們可以借助集合圖形來解答．

正解：用集合的觀點發(fā)現(xiàn)A∪B不一定是全集，故A+B不一定是必然事件，從而可以檢驗出正確的選項是B．

2．補集思想

例5 設甲、乙、丙三人每次射擊命中目標的概率分別為0.7、0.6、0.5．若三人各向目標射擊一次，求至少有一人命中目標的概率及恰有兩人命中目標的概率；

錯解：記“甲命中目標”為事件A，“乙命中目標”為事件B，“丙命中目標”為事件C，“至少有一人命中目標”為事件D．所以P（D）=P（A+B+C）=0.7+0.6+0.5=1.8．

分析：本題錯誤在于沒有理解｛至少一人命中目標｝、｛至多0人命中目標｝、｛恰有2人命中目標｝的實際意義．

正解1：利用逆向思維考慮它的對立事件，E＝｛至多0個人命中目標｝＝｛全都沒有命中目標｝，再由概率公式P（D）=1－P（E）可得．

正解2：D＝｛至少一個命中目標｝，可按常規(guī)思路分類成｛恰有一人命中目標｝、｛恰有2人命中目標｝、｛恰有3人命中目標｝的和事件．

對策：概率與統(tǒng)計的思維方式有很多自身特點，與確定性數(shù)學思維方式有很大的差異，因此在教學過程中要注意引導學生善于轉變思維方式，從多種不同角度、多種途徑進行思考，用不同的知識解決問題，鼓勵解題策略的多樣性．一些比較復雜的概率問題，一般可以通過數(shù)形結合，分類討論，等價轉化，互補思想，方程思想等把它轉成熟悉常見的題型．

（作者：王慧娟，江蘇省如皋中學）