5x是一個“整體”嗎

張艷紅

摘 要：以往遇到解方程36÷5x=2，數(shù)學(xué)老師們毫無疑問地把5x看做一個整體。但是筆者在金陵晚報上看到了相關(guān)的討論，認(rèn)為5x是5×x的簡寫，按照四則運(yùn)算的順序應(yīng)該是先除后乘，引起筆者的思考，為什么要把5x看作一個整體。經(jīng)過多方求助，明確了把“5x”看作一個整體的原因。和“從左到右”和“先乘除、后加減”一樣，都是一種人為的關(guān)于數(shù)學(xué)符號語言的規(guī)定，目的在于盡可能減少算式中為說明各個運(yùn)算的順序所用的括號。通過對這一問題的探索，使筆者明白數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)留心有關(guān)數(shù)學(xué)史料，從而幫助學(xué)生盡可能的理解某一規(guī)定背后的原因，讓學(xué)生更好地認(rèn)識和理解這樣的規(guī)定，體會規(guī)定的合理性與必然性。

關(guān)鍵詞：約定俗成；四則運(yùn)算；括號；5x；整體

在數(shù)學(xué)六年級中解方程36÷5x=2，都是把5x看成除數(shù)，解答方法如下：36÷5x=2，5x=36÷2，5x=18，x=3.6；但是一次在金陵晚報上我看到過類似此題的解法，引發(fā)了小學(xué)、中學(xué)甚至大學(xué)老師們的爭論，說5x是5×x的簡寫，這道題完整的寫法應(yīng)該是36÷5×x=2，根據(jù)同級運(yùn)算應(yīng)該按照從左到右的順序，應(yīng)該先計算36÷5=7.2，然后是7.2x=2，x等于十八分之五。但是和同事交流的時候，沒有人同意報紙上的看法，大家還是說要把5x看作一個整體進(jìn)行計算，所以我很疑惑，到底誰對誰錯呢？

我首先想到的是向教研員求助，得到的回復(fù)是：對于這樣的寫法沒有明確的具體規(guī)定，按習(xí)慣是把5x看作一個數(shù)。在中學(xué)的方程中是不會出現(xiàn)這樣的形式的，有除法時都是寫成分?jǐn)?shù)形式，他建議回避，有除法直接寫成分?jǐn)?shù)形式?？戳嘶貜?fù)，我對如何在課堂上教學(xué)有了明確的思路，要把5x看作一個整體。

但為什么要把5x看作一個整體呢？我還是沒有找到明確的依據(jù)，接下來，我求助特級教師，特級老師告訴我，把5x看成一個整體，這在小學(xué)數(shù)學(xué)中是約定俗成的。約定俗成是指事物的名稱或社會習(xí)慣往往是由人民群眾經(jīng)過長期社會實踐而確定或形成的。 《荀子·正名》中說：“名無固宜，約之以命，約定俗成謂之宜，異于約則謂之不宜?！睘榱诉M(jìn)一步弄清為什么把5x看作一個整體是約定俗成的，我翻查資料，終于在《小學(xué)數(shù)學(xué)疑難問題研究》中“四則混合運(yùn)算為什么要規(guī)定從左到右、先乘除后加減？”一文中得到了啟示。

加減乘除四種運(yùn)算統(tǒng)稱“四則運(yùn)算”。如果一個算式中包含兩種或兩種以上的這些運(yùn)算，則稱為四則混合運(yùn)算算式。一般的，有了結(jié)合符號（如，各種括號），我們就可以根據(jù)需要，表達(dá)出四則混合運(yùn)算算式所要求的任何一種運(yùn)算順序。如下面的算式包含三個運(yùn)算15×4+16÷4，適當(dāng)運(yùn)用括號，可以表示出實施這三個運(yùn)算的任何一種順序。三個運(yùn)算共有六種不同的運(yùn)算順序。下面是其中的三種：先乘后加再除，[（15×4）+16]÷4，先除后加再乘，15×[4+（16÷4）]，先加再乘后除，[15×（4+16）]÷4。

在表達(dá)四則混合運(yùn)算的算式中各個運(yùn)算應(yīng)有的順序時，為了盡可能少用一些括號，人們對運(yùn)算順序做出了以下幾點規(guī)定：

（1）“從左到右”：在一個沒有括號的算式中，如果只有加減法，或者只有乘除法，則從左到右依次計算；

（2）“先乘除、后加減”：如果沒有括號的算式中既有加減法，又有乘除法，則先做乘除法，再做加減法；

（3）在一個有括號的算式中，先按上述規(guī)定計算括號里面的式子；

（4）有幾層括號時，從里到外依次計算。

由此，上述三個四則混合運(yùn)算的算式可以化簡為：先乘后除再加，（15×4+16）÷4，先除后加再乘，15×（4+16÷4），先加再乘后除，15×（4+16）÷4，另三種運(yùn)算順序可分別表達(dá)為：先除后乘再加，15×4+（16÷4）；先乘后除再加，15×4+16÷4；先加后除再乘，15×[（4+16）]÷4。這六種不同的運(yùn)算順序平均只需用一對括號就能表達(dá)清楚。如果沒有這些規(guī)定，平均就得用兩對括號才行。

至于為什么要規(guī)定“從左到右”，而不是“從右到左”，可能是為了使這種沒有括號并且只有加減法或者只有乘除法的算式的運(yùn)算順序與算式的書寫順序相同。于是，“{[（a+b）-c]+]}-e”中的括號可以全部省略，寫成a+b-c+d-e；但算式“a+{b-[c+（d+e）]}”要保持原定的運(yùn)算順序，其宗的三對括號一對也不能省。

規(guī)定了“先乘除，后加減”之后，（15×4）+（16÷4）中的括號可以省略，把它寫成15×4+16÷4；而（15+4）×（16-4）中的括號則不能省。如果當(dāng)初的規(guī)定不是“先乘除、后加減”，而是“先加減，后乘除”，則前一個算式中的括號不能省，后一算式中的括號可以省去。

“從左到右”和“先乘除、后加減”都不是以客觀規(guī)律為基礎(chǔ)的定理或定律，而是一種人為的關(guān)于數(shù)學(xué)符號語言的規(guī)定，目的在于盡可能減少算式中為說明各個運(yùn)算的順序所用的括號。

像“從左到右”和“先乘除、后加減”這樣人為規(guī)定的知識，在數(shù)學(xué)知識體系中占有一定的份額，教師也都因為其“規(guī)定性”，覺得沒有什么道理可講，就直接告訴學(xué)生了。這樣的教學(xué)，表面上看，學(xué)生也能接受教師的“告訴”，但時間長了，學(xué)生習(xí)慣了接受，就會產(chǎn)生這樣的想法：老師這樣告訴我們的，我們就這樣去記，記住了就能做對題目了。顯然，從促進(jìn)學(xué)生持續(xù)發(fā)展的角度來看，這樣的教學(xué)就遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠了。

其實，很多數(shù)學(xué)規(guī)定從產(chǎn)生到被普遍認(rèn)可都有一個曲折而漫長的過程，怎樣規(guī)定更合理都有其內(nèi)在的原因，并不是輕描淡寫的一句“數(shù)學(xué)上規(guī)定”就能解釋的。我們需要留心有關(guān)數(shù)學(xué)史料，提高自身文化專業(yè)知識，當(dāng)學(xué)生有可能理解某一規(guī)定背后的原因時，不妨給學(xué)生創(chuàng)造條件，讓學(xué)生更好地認(rèn)識和理解這樣的規(guī)定，體會規(guī)定的合理性與必然性。

參考文獻(xiàn)：

[1]方金秋.小學(xué)數(shù)學(xué)疑難問題解答[M].廣州：廣東人民出版社，1983.

[2]李曉亮.荀子[M].濟(jì)南：齊魯出版社，2006.

（作者單位 江蘇省南京市棲霞區(qū)實驗小學(xué)）