一道關于自感系數(shù)的習題求解引起的思考

陳小鳳 何曉燕 張正階

摘 要：從一道求解自感系數(shù)的習題出發(fā)，指出了學生常出現(xiàn)的錯誤解題方法。經(jīng)過對自感系數(shù)的定義進行分析，理清了全磁通與交鏈的電流的關系，并給出了兩種等效的求解全磁通的方法。

關鍵詞：自感系數(shù)；全磁通；電流

一、問題的引入

在一些大學物理教材中，出現(xiàn)過下面這道習題（或類似習題）：一同軸電纜由中心導體圓柱和外層導線圓筒組成，二者半徑分別為R1和R2，圓筒和圓柱之間充以電介質，電介質和金屬的μr均可取作1，求此電纜通過電流I（由中心圓柱流出，由圓筒流回）時，單位長度內(nèi)儲存的磁能，并通過和自感磁能的公式比較，求出單位長度電纜的自感系數(shù)。

首先，根據(jù)安培環(huán)路定理，可得到空間磁感應強度為：

文獻對這道題給出了簡略的解答。

由于Wm=■，所以有單位長度電纜的自感系數(shù)為：

從上面的解答過程我們可以看到，文獻給出的解題思路為：首先從磁場能量密度公式出發(fā)，得到單位長度同軸電纜所儲存的能量，然后再通過和自感磁能的公式Wm=■比較，得到單位長度同軸電纜的自感系數(shù)為L=■+■ln■，這樣思路清晰，結果明確。

但是對于自感系數(shù)的求解，有部分學生直接根據(jù)公式L=■，得到了另外一個結果。

下面給出詳細解答過程。

解：在導體內(nèi)部，選擇沿軸線方向長為單位長度，寬為dr構成的矩形面積元dS=1·dr

則該面積元的磁通為：

穿過單位長度內(nèi)導體的磁通量為：

同理，穿過單位長度內(nèi)外兩導體間的磁通量為：

因此，得到單位長度電纜的自感系數(shù)為：

這個結果和習題集給出的解答結果不一樣。問題出在哪里呢？

二、對問題的思考

通過對問題以及兩種解題思路進行分析得出，第一種解法，從能量密度公式出發(fā)，得到的結果具有普遍意義；第二種解法從自感系數(shù)的一般定義出發(fā)得到的結果與前一方法的結果不同，其原因是對自感系數(shù)定義的理解不準確。

我們來回顧一下什么是線圈的自感系數(shù)，大學物理教材給出的定義為：當一個回路通有電流I時，回路中的全磁通與電流成正比，這個比例系數(shù)叫回路的自感系數(shù)，即：L=■。

什么又是全磁通？文獻給出的定義是：實際上用到的線圈常常是許多匝串聯(lián)而成的，ψ=■Φi是穿過各匝線圈的磁通量的總和，叫穿過線圈的全磁通。當穿過各匝線圈的磁通量相等時，N匝線圈的全磁通為ψ=NΦ，叫做磁鏈。

從以上的定義中我們可以看到，回路中的全磁通Ψ與電流I緊密相連，因此，在計算導體回路的自感時，電流I和對應的全磁通Ψ的關系一定要搞清楚。

在本文的這個例題中，全磁通由兩部分組成，一部分是導體內(nèi)部區(qū)域的，一部分是兩導體間的。學生的做法中，對兩導體間的全磁通求解沒有問題。但是對導體內(nèi)部區(qū)域的全磁通的求解不正確。以下給出兩種求解導體內(nèi)部區(qū)域的全磁通方法。

1.第一種求全磁通的方法

在導體內(nèi)部，穿過沿軸線方向長為單位長度，寬為dr構成的矩形面積元dS=1·dr的磁通量為dΦ1=■·d■=■dr

但是注意，該磁通并不是由全部的電流I產(chǎn)生，而是在半徑為r內(nèi)的圓內(nèi)所包圍的電流產(chǎn)生的，也就是全部電流I的一部分，即：I′=■I，也就是說，與dΦI相對應的等效匝數(shù)為：N=■。

所以，與dΦI相對應的磁鏈應為：dΨ1=■dΦI=■dr

內(nèi)導體中單位長度的自感磁鏈總量為：

2.第二種求全磁通的方法

在導體內(nèi)部，半徑為r，寬為dr的電流元為：

di=■·2πrdr

與該電流元相關的單位長度的磁通量（如圖中陰影部分區(qū)域）為：

內(nèi)導體中單位長度的有效磁鏈總量為：ψ1=■■Φdi=■■（1-■）·■2πrdr=■。

可見，只要把全磁通是與交鏈的電流的關系搞清楚了，兩種方法都可以求出內(nèi)導體中單位長度的總磁通。

由于內(nèi)外導體之間的總磁鏈仍然為：ψ2=■dΦ2=■■dr=■ln■。因此，得到單位長度電纜的自感系數(shù)為：L=■=■+■ln■。

這樣，思路正確了，得到的結論也和從能量的角度出發(fā)計算出的結果完全吻合。

從以上分析可以看到，一般大學物理教材對線圈自感系數(shù)給出的定義比較粗略：當一個電流回路通有電流I時，回路中的全磁通與電流成正比，這個比例系數(shù)叫回路的自感系數(shù)，即：L=■。這個定義，對于導體是一維的，也就是說當可以忽略導體的橫截面積，只考慮有線電流流過導體時，這個定義很清晰。而對于教材中出現(xiàn)的自感系數(shù)的求解例題，一般給出的也多是一維情況，所以求出的磁通都是電流I全部產(chǎn)生的，線圈的匝數(shù)都是整數(shù)匝，沒有歧義。但是對于三維導體形成的回路，在導體內(nèi)部的磁場僅與部分電流有關，這時候匝數(shù)就出現(xiàn)了分數(shù)匝，而更準確地說，全磁通Ψ應該是磁感線與電流交鏈的物理量。因此，文獻給出的定義：設回路中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的自感磁鏈為Ψ，則磁鏈與回路中的電流成正比關系，其比值L=■稱作回路中的自感系數(shù)，簡稱自感。這個定義更為準確點。

其實，對于三維導體回路的自感系數(shù)的計算方法，已經(jīng)有文獻指出，有三種方法。

1.磁能法

利用了公式Wm=■■■dV，即本文中的第一種解法。

2.磁鏈法

L=■，其中，ψ=■■idΦ，其中dΦ是某個元磁力管L內(nèi)的磁通，i則為與此磁力管相鏈接的電流強度，積分遍及所有磁力管的橫截面。這和本文中的所指出的求解全磁通的第一種解法吻合。

3.平均磁通法

ψ=■Φdi，其中，di是某個元電流管L′內(nèi)的電流強度，Φ則為與此電流管相鏈接的磁通，積分遍及所有電流管的橫截面，這即為本文所指出的求解全磁通的第二種解法。

方法（1）可認為是最基本的，方法（2）（3）都從磁通與電流不完全鏈接的概念出發(fā)，對磁通匝數(shù)作了某種有權重的平均，只不過在計算中磁通與電流所處的地位對調，而且該文也證明了三種表達式是等價的。

參考文獻：

[1]張三慧.大學物理學.3版.清華大學出版社，2009-02.

[2]馬文蔚.物理學上冊.5版.高等教育出版社，2006-02.

[3]張三慧.大學物理學學習輔導與習題解答.清華大學出版社，2009-03.

[4]楊顯清.電磁場與電磁波.國防工業(yè)出版社，2003-07.

[5]趙凱華.也談“三維導體”的自感系數(shù).大學物理，1985（4）.

（作者單位 成都理工大學地球物理學院應用物理系）